江苏省苏锡常镇四市2016届高三第二次模拟考试数学试卷

1、2016 届高三年级第二次模拟考试(一)数学本试卷满分 160 分，考试时间为 120 分钟一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分1. 已知集合 Ax|x1，xR，则 AB_2. 已知 i 为虚数单位，复数 z 满足zi43i，则复数 z 的模为_3. 一个容量为 n 的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为 40，0.125，则 n的值为_4. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知方程x24my22m1 表示双曲线，则实数 m 的取值范围为_5. 为强化安全意识，某校拟在周一至周五的五天中随机选择 2 天进行紧急疏散演练，则选择的 2 天恰好为连续 2 天的概

2、率是_6. 执行如图所示的程序框图，输出的 x 值为_(第 6 题图)(第 7 题图)7. 如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，P 是棱 BB1的中点，则四棱锥 PAA1C1C的体积为_8. 设数列an是首项为 1，公差不为零的等差数列，Sn为其前 n 项和，若 S1，S2，Sn成等比数列，则数列an的公差为_9. 在平面直角坐标系 xOy 中， 设 M 是函数 f(x)x24x(x0)的图象上任意一点， 过 M点向直线 yx 和 y 轴作垂线，垂足分别是 A，B，则MAMB_10. 若一个钝角三角形的三内角等差数列，且最大边与最小边之比为 m，则实数 m 的取值范围是_11.

3、 在平面直角坐标系 xOy 中，已知过原点 O 的动直线 l 与圆 C：x2y26x50 相交于不同的两点 A， B， 若点 A 恰为线段 OB 的中点， 则圆心 C 到直线 l 的距离为_12. 已知函数 f(x)x24x，0 x4，log2（x2）2，4x6，若存在 x1，x2R，当 0 x1OB.现设计师在支架 OB 上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为 M，且 M 与 OB 长成正比，比例系数为 k(k 为正常数)；在AOC 区域(阴影区域)内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为 N，且 N 与AOC 的面积成正比，比例系数为 4 3k.设 OAx，OBy.(1) 求 y 关于 x 的函数解析式

4、，并写出 x 的取值范围；(2) 求 NM 的最大值及相应的 x 的值(第 17 题图)18. (本小题满分 16 分)在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)过点 P1，32 ，离心率为12.(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 设直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点若直线 l 过椭圆 C 的右焦点，记ABP 三条边所在直线的斜率的乘积为 t，求 t 的最大值；若直线 l 的斜率为32，试探究 OA2OB2是否为定值？若是定值，则求出此定值；若不是定值，请说明理由19. (本小题满分 16 分)设函数 f(x)x2exk(x2lnx)(k 为实常数，e2.7

5、18 28是自然对数的底数)(1) 当 k1 时，求函数 f(x)的最小值；(2) 若函数 f(x)在区间(0，4)内至在三个极值点，求 k 的取值范围20. (本小题满分 16 分)已知首项为 1 的正项数列an满足 a2n1a2n52an1an，nN*.(1) 若 a232，a3x，a44，求 x 的取值范围；(2) 设数列an是公比为 q 的等比数列，Sn为数列an的前 n 项和若12SnSn1a 成立，求实数 a的取值范围【必做题】第 22 题，第 23 题，每题 10 分，共计 20 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22. (本小题满分 10 分)如图，在长方体 ABCDA

6、1B1C1D1中，AA1AB2AD2，E 为 AB 的中点，F 为 D1E上的一点，D1F2FE.(1) 证明：平面 DFC平面 D1EC；(2) 求二面角 ADFC 的大小(第 22 题图)23. (本小题满分 10 分)在杨辉三角形中， 从第 3 行开始， 除 1 以外， 其它每一个数值是它上面的二个数值之和，这三角形数阵开头几行如右图所示(1) 在杨辉三角形中是否存在某一行， 且该行中三个相邻的数之比为 345？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；(2) 已知 n，r 为正整数，且 nr3.求证：任何四个相邻的组合数 Crn，Cr1n，Cr2n，Cr3n不能构成等差数列(第 2

7、2 题图)2016 届高三年级第二次模拟考试(一)(苏锡常镇四市)数学参考答案一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分1. (1，3)2. 53. 3204. (2，4)5.256. 67.138. 29. 210. (2 ， )11.3 6412.3，2562713. ( ， 214，14. 2二、 解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. 解：(1) 由题意知，f(x) 3sin2x3 cos(2x3)2sin2x23，(4 分)所以 f(x)的最小正周期为 T22.(6 分)当22k2x2322k(kZ)时，f(x

8、)单调递增，解得 x712k，12k(kZ)，所以 f(x)的单调递增区间为712k，12k(kZ)(8 分)(2) 因为 x6，3 ，所以32x2343，(10 分)当 2x232，即 x12时，f(x)取得最大值 2，(12 分)当 2x2342，即 x3时，f(x)取得最小值 3.(14 分)16. 证明：(1) 取 PB 中点 E，连 EA，EN，PBC 中，ENBC 且 EN12BC，又 AM12AD，ADBC，ADBC，(3 分)得 ENAM，ENAM，四边形 ENMA 是平行四边形，(5 分)得 MNAE，MN平面 PAB，AE平面 PAB， MN平面 PAB(7 分)(2) 过

9、点 A 作 PM 的垂线，垂足为 H， 平面 PMC平面 PAD，平面 PMC平面 PADPM，AHPM，AH平面 PAD， AH平面 PMC， AHCM.(10 分) PA平面 ABCD，CM平面 ABCD， PACM.(12 分) PAAHA，PA，AH平面 PAD，CM平面 PAD， AD平面 PAD， CMAD.(14 分)17. 解：(1) 因为 OAx，OBx，ABy1，由余弦定理，x2y22xycos120(y1)2，解得 yx212x，(3 分)由 x0，y0 得 1xy，得 xx212x，解得 1x0，(5 分)所以 y1y26m3m24，y1y293m24，所以 kAPkB

10、Py132x11y232x21y132my1y232my21m2y1y232（y1y2）94y1y21m34，(7 分)所以 tkABkAPkBP1m234m1m382964，(9 分)所以当 m83时，t 有最大值964.(10 分)设直线 l 的方程为 y32xn，直线 l 与椭圆 C 的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，y32xn，x24y231，得 3x22 3nx2n260，(2 3n)243(2n26)0，即 6n0)，可得 f(x)（x2） （exx2）x3(2 分)因为当 x0 时，exx2.理由如下：要使 x0 时，exx2，只要 x2lnx，设(x)x2lnx，(

11、x)12xx2x，于是当 0 x2 时，(x)2 时，(x)0.即(x)x2lnx 在 x2 处取得最小值(2)22ln20，即 x0 时，x2lnx，所以 exx20，(5 分)于是当 0 x2 时，f(x)2 时，f(x)0.所以函数 f(x)在(0，2)上为减函数，(2，)上为增函数(6 分)所以 f(x)在 x2 处取得最小值 f(2)e2422ln2.(7 分)(2) 因为 f(x)（x2） （exkx2）x3（x2）exx2kx，当 k0 时，exx2k0，所以 f(x)在(0，2)上单调递减，(2，4)上单调递增，不存在三个极值点，所以 k0.(8 分)又 f(x)（x2） （e

12、xkx2）x3（x2）exx2kx，令 g(x)exx2，得 g(x)e2 （x2）x3，易知 g(x)在(0，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，在 x2 处取得极小值，得 g(2)e24，且 g(4)e416，(10 分)于是可得 yk 与 g(x)exx2在(0，4)内有两个不同的交点的条件是 ke24，e416 .(12 分)设 yk 与 g(x)exx2在(0， 4)内有两个不同交点的横坐标分别为 x1， x2， 则有 0 x12x24，下面列表分析导函数 f(x)及原函数 f(x)：x(0，x1)x1(x1，2)2(2，x2)x2(x2，4)4x202exx2k0e24k0e41

13、6kf(x)000f(x)递减极小值递增极大值递减极小值递增可知 f(x)在(0，x1)上单调递减，在(x1，2)上单调递增在(2，x2)上单调递减，在(x2，4)上单调递增，所以 f(x)在区间(0，4)上存在三个极值点(15 分)即函数 f(x)在(0，4)内存在三个极值点的 k 的取值范围是e24，e416 .(16 分)20. 解：(1) 由题意得，12anan12an，(2 分)所以34x3，x242x，解得 x(2，3)(4 分)(2) 由题意得，12anan12an，且数列an是等比数列，a11，12qn1qn0，qn1（q2）0， q12，2.(6 分)又12SnSn12Sn，

14、 而当 q1 时，S22S1不满足题意(7 分)当 q1 时，121qn1q1qn11q1，qn（2q1）1，q1（2q1）1解得 q12，1；(9 分)当 q(1，2)时，qn（q2）1，q1（q2）1，无解 q12，1.(11 分)(3) 12anan12an，且数列 a1，a2，ak成等差数列，a11，121(n1)d1nd1，d（2n）a 成立，等价于 f(x)g(x)的最大值大于 a，(2 分)因为 f(x)g(x) 3x6 14x 3 x21 14x，(4 分)由柯西不等式：( 3 x21 14x)2(31)(x214x)64，(7 分)所以 f(x)g(x) 3x6 14x8，当

15、且仅当 x10 时取“”，(9 分)故常数 a 的取值范围是(，8)(10 分)【必做题】第 22 题，第 23 题，每题 10 分，共计 20 分22. 解：(1) 以 D 为原点，分别以 DA、DC、DD1所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则 A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，2) E 为 AB 的中点， E 点坐标为 E(1，1，0)， D1F2FE， D1F23D1E23(1，1，2)(23，23，43)，DFDD1D1F(0，0，2)23，23，4323，23，23 .(2 分)设 n(x，y，z)是平面 DFC 的法向量

16、，则nDF0，nDC0，23x23y23z0，2y0，取 x1 得平面 FDC 的一个法向量 n(1，0，1)，(3 分)设 p(x，y，z)是平面 ED1C 的法向量，则pD1F0，pD1C0，23x23y43z0，2y2z0，取 y1 得平面 D1EC 的一个法向量 p(1，1，1)，(4 分) np(1，0，1)(1，1，1)0， 平面 DFC平面 D1EC.(5 分)(2) 设 q(x，y，z)是平面 ADF 的法向量，则qDF0，qDA0，23x23y23z0，x0，取 y1 得平面 ADF 的一个法向量 q(0，1，1)，(7 分)设二面角 ADFC 的平面角为，由题中条件可知2，

17、则 cos|nq|n|q|0012 212，(9 分) 二面角 ADFC 的大小为 120.(10 分)23. 解：(1) 杨辉三角形的第 n 行由二项式系数 Ckn，k0，1，2，n 组成如果第 n 行中有Ck1nCknknk134，CknCk1nk1nk45，即么 3n7k3，4n9k5，(2 分)解这个联立方程组，得 k27，n62.(3 分)即第 62 行有三个相邻的数 C2662，C2762，C2862的比为 345.(4 分)(2) 若有 n，r(nr3)，使得 Crn，Cr1n，Cr2n，Cr3n成等差数列，则 2Cr1nCrnCr2n，2Cr2nCr1nCr3n，即2n！（r1） ！ （nr1） ！n！r！ （nr） ！n！（r2） ！ （nr2） ！，2n！（r2） ！ （n