第9讲图像变换——小波变换(一)

1、非紧支撑的非紧支撑的紧支撑的紧支撑的，因，因频谱频谱 F( () ) 的任一频率成份的值是由时域过程的任一频率成份的值是由时域过程 f(t) 在在 , + 上的贡献决定的，而过程上的贡献决定的，而过程 f(t) 在任在任一时刻的状态也是由一时刻的状态也是由 F( () ) 在整个频域在整个频域 , + 的贡献决定的。的贡献决定的。非平稳的突变成份往往被非平稳的突变成份往往被FourierFourier变换的积分作用平滑掉了。变换的积分作用平滑掉了。采用高斯采用高斯(Gauss)(Gauss)函数作窗的函数，相应的函数作窗的函数，相应的FourierFourier变换仍旧变换仍旧是是GaussG

2、auss函数，以保证窗口函数，以保证窗口FourierFourier变换在时域和频域内均有局变换在时域和频域内均有局部化功能。部化功能。Gabor变换变换ataea tg4/221)(a a决定窗口的宽度决定窗口的宽度(, )( )()jtff t g tedt G222244()( )1 =2 1 =2 1 =4 2 jtaatjtatjtaaaGgt edteedtaeedtaaeea22()441( )2 1( )2 1( )42( )( )tj tauj taj tj tf teeddtaf teedu dtaf t ea dtaf t edtF ( , )( )()( )() j t

3、aj taG fdf t g tedtdf teg tddt 重构公式重构公式能量守恒能量守恒:221( )( )2af tdtGd d ddetgGtftja)(),(21)( 信号信号f(t)的的Gabor变换按窗口宽度分解了变换按窗口宽度分解了f(t)的频谱的频谱 F() ,提取出它的局部信息。提取出它的局部信息。积分核积分核 对所有对所有和和 都有相同的支撑区，但周期都有相同的支撑区，但周期数随数随 而变化。而变化。( )j tg t eg t ( )2 如果把如果把 和和 作为窗口函数在时域和频域的作为窗口函数在时域和频域的重量分布，令重量分布，令 和和 分别表示时窗和频窗的分别表示

4、时窗和频窗的“重心重心”（中（中心），心）， 和和 表示表示 和和 的均方差的均方差（半径），则（半径），则t002( )G,( )G ,( )gt tgGHeisenbergHeisenberg测不准原理（测不准原理（窗口的选择）窗口的选择）2022021( )( )1( )( )tt g tdtg tGdG作归一化处理作归一化处理221( )()12g tG则则2020( )1( )2tt g tdtGd22202220222022201( -)( )( )( -)( )1(-)( )( )1(-)( )2tgGt tg tdtg tt tg tdtGdGGd ),(aG给出了给出了f f

5、 在时间窗（窗口中心在在时间窗（窗口中心在 ) ) 0tt ,00ttggtttt的局部信息的局部信息12tgG 测不准原理测不准原理时频窗口的选择：时频窗口的选择： 对于宽带信号，由于频率变化剧烈，对于宽带信号，由于频率变化剧烈，为了能准确提取为了能准确提取高频信息要有足够的时间分辨率，高频信息要有足够的时间分辨率， 应选小值，应选小值，可这样可这样会造成样本点多，计算量大，难于获得快速高效算法。会造成样本点多，计算量大，难于获得快速高效算法。0t 为了提取高频分量，时域窗口应尽量窄，频域窗口适当放为了提取高频分量，时域窗口应尽量窄，频域窗口适当放宽。宽。对于慢变的低频信号对于慢变的低频信号，时窗可适当加宽，而频窗应尽，时窗可适当加宽，而频窗应尽量缩小，保证有较高的频率分辨率和较小的测量误差。量缩小，保证有较高的频率分辨率和较小的测量误差。 GaborGabor变换的时频口是固定不变的，窗口没有自适应性，变换的时频口是固定不变的，窗口没有自适应性，不适于分析多尺度信号过程和突变过程，而且其离散形式不适于分析多尺度信号过程和突变过程，而且其离散形式没有正交展开，难于实现高效算法。没有正交展开，难于实现高效算法。总总小波小波,1( )a btbtaa其中其中a为尺度参数，为尺度参数，b是定位参数。是定位参数。 连续小波变换连续小波变换a1，函数