MATLAB数字滤波器优化设计方案

1、封面作者：PanHon glia ng仅供个人学习学 号 1009131050毕业设计课题基于 MATLAB 的数字滤波器的优化设计 学牛姓名舒怀院部电气工程学院专业班级 10 通信 2 班指导教师周旭胜二O四年五月目录插图清单 I 摘 要 I AbstractII 第 1 章 绪论 31.1 数字滤波器的研究背景与意义 31.2 数字滤波器的发展简况 31.3MATLAB 软件介绍 4第 2 章 数字滤波器 52.1 数字滤波器的定义 52.2 数字滤波器的分类 52.3 数字滤波器的设计与实现 52.4 数字滤波器的设计要求 62.4.1 幅频特性 62.4.2 相频特性 62.4.3 数

2、字滤波器的技术指标 72.5 数字滤波器的设计方法概述 7第 3 章 有限脉冲响应 (FIR) 数字滤波器的设计 93.1 窗函数法 93.1.1 窗函数的类型 93.1.2 窗函数法的基本思想 103.2 频率采样法 103.3FIR 数字滤波器的优化设计 113.3.1 等波纹切比雪夫逼近准则 113.3.2 仿真函数 12第 4 章 无限脉冲响应 (IIR) 数字滤波器的设计 144.1 脉冲响应不变法 144.2 双线性变换法 154.3IIR 数字滤波器的优化设计 16结 论 19参考文献 20致 谢 21附 录 22插图清单图 2-1IIR 低通滤波器的幅频特性 错误！未定义书签。

3、图 3-1 窗函数设计的 FIR 低通滤波器频率响应 错误！未定义书签。图 3-2 FIR 的单位取样响应 错误！未定义书签。图 3-3 FIR 的低通衰减幅频特性 错误！未定义书签。图 3-4 滤波器输出的幅频及相频响应特性 错误！未定义书签。图 4-1 S 平面到 Z 平面变换示意图 错误！未定义书签。图 4-2 数字域频率与模拟域频率的对应关系 错误！未定义书签。图 4-3 巴特沃思数字低通滤波器 错误！未定义书签。图 4-4 低通数字滤波器优化设计的幅频特性图 错误！未定义书签。图 4-5 Chebyshev I 型数字滤波器的幅频特性图 错误！未定义书签。基于 MATLAB 的数字滤

4、波器的优化设计摘要在数字信号处理领域，信号一般会和各种复杂的成分混合在一起，所以要利用这 些信号需要先对其进行滤波筛选，因此数字滤波器在数字信号处理中显得格外重要，在 众多科学领域，被广泛应用于信号处理。本文主要对有限脉冲（FIR）和无限脉冲（IIR）数字滤波器进行分析设计，首先介绍了 数字滤波器的概念、分类以及设计指标，然后详细阐述了几种典型的设计方法，对其编 程实现并在 MATLAB 中仿真。最后从仿真结果分析各种方法的优缺点，确定其最优化 设计的方法。仿真结果表明， 数字滤波器采用优化的方法设计出的结果有通带波纹较小、 过渡 带较平滑、阻带的旁瓣较小等优点，在实际应用中使用其处理信后的失

5、真和误差较小， 而且稳定，因此越来越受到广泛的重视。关键词： 数字滤波器；信号处理； MATLAB ；优化设计Optimal design of digital filter based on MATLABAbstractIn the field of digital signal processing, signal usually mixed and complex componentstogether, so take advantage of these signals need to carry on the filter screen, so the digitalfilter i

6、s very important in digital signal processing, in many areas of science, which is widelyused in signal processing.This paper focuses on the finite pulse (FIR) and infinite impulse (IIR) digital filter analysisand design, the paper first introduces the concept, classification and index of digital fil

7、terdesign, and then elaborates on the design of several typical methods, the programming andSimulation in MATLAB. The advantages and disadvantages of various methods for theanalysis of the simulation results, the method to determine optimum design.The simulation results show that the digital filter

8、optimization method was used in thedesign of pass band ripple is smaller, with smooth transition, the stopband sidelobes smalladvantages, used in practical applications the letter after the distortion and the error is small,but stable, so more and more extensive attention.Key Word: Digital filter。Si

9、gnal Processing。MATLAB。Optimized design第 1 章 绪论1.1数字滤波器的研究背景与意义数字信号处理技术正极速发展，它不但影响经济、国防建设，甚至影响我 们的生产和生活方式，正因为这样它受到了人们广泛的关注。现代信息技术的发展趋势是实现信息的数字化、智能化和网络化，而智能 化和网络化的基础以数字的形式实现。模拟信号一般是有多个参数的连续函 数，对其进行自变量的采样可得一维参数的模拟信号，一维模拟信号通过离散 或量化时间幅度后可以演变成一维数字信号。可以看出，模拟信号，实际上是 一个数字信号的数字序列表示，数字音频信号通过采样和量化是一维的离散时 间采样序列

10、，并且利用同样的处理立体、数字图像信号得到的是一个二维的数 字空间信号。数字信号处理方法是不同的处理的数字数值序列，该信号被转换 成这种形式是合适的。例如，数字信号被滤波以限制其线或带过滤掉噪声和干 扰，或将它们从其它信号中分离，频谱分析或信号的功率谱分析，这种方法方 便大家了解混杂信号的频谱，更容易辨别信号的组成部分，变换之后的信号， 更适合于传输、存储和应用和实现。在现代用的大部分电子化系统设备，基本上采用了最先进技术的数字滤波 器来计算。数字滤波器直接决定着产品的质量。1.2数字滤波器的发展简况数字信号处理是将信号波形用数字和符号序列的形式表达和处理，而这种 处理方式正符合当今社会的发展

11、的数字化趋势，在处理过程中我们可以很方便 地估计该信号的特征参数或改变信号成分。总而言之，利用数字滤波器来处理 信号，其调制，解调，均衡，增强，压缩，识别，生成等处理都在数字信号处 理的范围内。这是数字信号处理领域的一个显著的进步。对于数字滤波器，一些学者们在 20 世纪中期就有了关于其实现的相关讨 论。到了 60年代，逐渐形成有关数字滤波器相关规律的理论。同时，数字滤波 器的各种结构，操作误差和运算最高速度以及数字信号处理的各种相关方法和 理论也被相继提出。并对数字滤波器几种类型作了相对比较全的讨论。刚开 始，普遍认为具有较高阶的 FIR 滤波器效率要低，设计难度大，但后期的快速 傅立叶变换

12、（FFT）实现卷积这以理论很好地解决了这个问题使得高阶的FIR 滤波器也可以有很好的运算效率，这使得人们对 FIR 滤波器的实现方法有了更深入 的研究，以便可以跟上时代的步伐。然而在第 20 世纪 70 年代起，一些微处理 技术和高新技术的高速运行，也可以利用计算机辅助设计和计算，数字滤波器 的设计更加简单。利用间接法设计数字滤波器时，频率响应和脉冲响应一般来 说是难以实现的，但通过计算机辅助可以实现时域或频域的最佳逼近。从这些 科技发展的时代来看，数字滤波器的分析和设计方法会越来越丰富，数字信号 处理系统会被人们提出更多，这些都可以一个专用的数字硬件很好地实现。计算机与各种新兴的高新技术的广

13、泛应用直接地促进了这一技术的进步， 替代了以前模拟的线分立元件 L、C、R 线性网络，正因为这样计算机在数字信 号处理中的优势更加明显，电子技术应用系统趋向数字化、微型化、自动化和 多维化发展，使得它们更智能。按造这样的趋势必将使得某些领域有着飞跃性 的发展。1.3MATLAB 软件介绍MATLAB 是由美国 mathworks 公司开发并发行的高效计算软件，最初用于 矩阵运算，经过多年的发展成为主流软件高级技术计算算法1。包括软件系 统，现有的数据可视化，交互计算环境的语言和 MATLAB 数据分析和数值模 拟，包含了丰富的功能和工具库，既能实现一般的数学运算和分析， 也能实现 系统仿真、

14、信号处理、 图像处理等功能。MATLAB应用非常之广泛！ MATLAB 语言的特点：(1) 语言简单易懂，使用方便灵活。(2) 丰富的运算符、庞大的函数库和相应的扩展包， MATLAB 在工程运算、系 统仿真、信号处理等与其他软件相比高效快捷。(3) 程序设计自由度大且适应性强大，一般情况下可以不做修改就可以在大部分 计算机和操作系统上使用。(4) MATLAB 具有简单的数据可视化性能以及强大的图像编辑的能力。(5) MATLAB 的 学 科 性 工 具 箱 专 业 性 很 强 ， 比 如 controltoolbox 、signalprocessingtoolbox、 communicat

15、iontoolbox 等。(6) 源程序比较开放，除了 MATLA 内部函数外，核心文件和工具箱文件都是可 以阅读和修改的，以便加入用自己的文件构成新的工具箱。第 2 章 数字滤波器2.1数字滤波器的定义与模拟滤波器不同的是，数字滤波器的输入和输出都是数字信号，而且能 运用数值运算改变信号的频率，筛选特定频率的数字硬件或程序，是一个离散 线性时不变系统。可以表示为：(2-1)其中称为滤波器的幅频响应，称为滤波器的相频响应, 分别表示输入信号通过该滤波器后频率成分的衰减情况和时间上的延时情况2。2.2数字滤波器的分类数字滤波器可分为两种经典和现代滤波器。前者主要是利用有用的信号成 分和混杂的信号

16、成分的频率所占通带不一样，从而达到滤波的的效果。当信号 相互干扰和频谱重叠时，这就需要后者来解决，其主要功能是是尽可能地抑制 混杂信号成分。现代滤波器在实际应用中常见的有维纳滤波器、卡尔曼滤波器、线性预测 滤波器和自适应滤波器等。经典数字滤波器从滤波特性可以分为低通、高通、 带通和带阻滤波器3。它们的单位冲击响应都是非因果且无限长的， 这些都是 理想状态下的滤波器是难以实现的，但是我们可以再误差允许的范围内尽可能 地逼近理想状态。从信号处理的过滤器作用可分为选频滤波器和其他过滤器，包括低通，高 通，带通和带阻滤波器的上述四种选择滤波器，其他滤波器有微分器、希尔伯 特变换器、频谱校正等滤波器4。

17、根据网络或单位脉冲响应长度的结构，可分为无限长单位脉冲响应 (IIR) 滤 波器和有限长单位脉冲响应(FIR)滤波器5。2.3数字滤波器的设计与实现数字滤波器的实现方法有很多，一种是利用相关硬件来实现的方法，即采 取一种基于数字滤波器的数学模型或相关硬件，构成信号处理机，这种硬件是 延迟器、加法器和乘法器作为基本部件构成的数字信号处理系统6。另一种就 是计算机换编相关程序来执行的软调方法，它是借助计算机的各种汇编语言和 程序来作为数字滤波器的运算过程。MATLAB 拥有专门应用于信号处理的工具箱，它可以实现滤波器的设计与 仿真以及频谱分析。并且我们使用时可以直接调用工具箱中的库函数，减少了 不

18、必要的设计过程。使用非常方便。设计的大致步骤：根据过滤功能，首先需要提出了设计规范；然后建立一个稳定的因果模型的 H(z) 逼近指标；最后通过硬件或软件来仿真实现。2.4数字滤波器的设计要求2.4.1 幅频特性数字滤波器的频率特性可表示为：(2-2)上式中各参数的含义为： T 表示采样频率，表示幅频特性，表示相频特 性，表示数字滤波器的频率传递函数，决定数字滤波器的幅频特性与相频特 性。假设 T=1, 则可表示为：(2-3)函数在或的范围内求，可以得出数字滤波器的频率特性，又因：(2-4)则有，可以看出滤波器的设计时，只要考虑OWcKn范围。如果要求的幅频特性很高，还需考虑使用更高阶的 FIR

19、 滤波器或者 IIR 滤 波器，否则就可能得不到符合条件的结果。2.4.2 相频特性数字滤波器的设计，幅频特性和相频特性将影响设计结果。线性相位滤波 器的相位延迟不会导致波形的失真，这意味着如果滤波器的技术指标要求很 高，滤波器具有线性相位是至关重要的。设 FIR 滤波器的传递函数为(2-5)代入，得(2-6)若(k=O, 1,，N-1),为线性相位。可得：当 N 为奇数时(2-7)当 N 为偶数时(2-8)同理，若 , 也为线性相位。有：(2-9)或(2-1O)当数字滤波器的频率特性如下式时(2-11)由式(2-7)和(2-8)可以得到相频特性 :幅频特性：N 为奇数时，(2-12)N 为偶

20、数时，(2-13)由式(2-9)和(2-10)可以得到相频特性： (2-14)幅频特性：N 为奇数时，(2-15)N 为偶数时，(2-16)只有 FIR 滤波器可以实现完全的线性相位，但也可以设计出非常接近线性 相位的 IIR滤波器。2.4.3 数字滤波器的技术指标选频滤波器是工程应用中经常用的数字滤波器。其频率特性为：，幅频特性和相频特性同时决定着滤波器的效果，二者只要有一种不一样，虽然输入信号相 同，但经过筛选后的输出波形也会不一样。图 2-1IIR 低通滤波器的幅频特性IIR 低通滤波器的幅频特性指标参数如图 2-1 所示，图中各参数的含义为：s 1通带波纹3 2阻带波纹cop通带边界频

21、率3S阻带截止频率ap通带内允许的最大衰减(dB)as阻带内允许的最小衰减(dB)其中，要求，要求，为过渡带，过渡带的频率响应函数曲线图像是单调递减的。对于图 2-1 所示的单调递减幅频特性有：(2-17)(2-18)一般要求：当时,(2-19)当时，(2-20)2.5数字滤波器的设计方法概述IIR 滤波器设计方法有： 1、间接法：首先设计过渡的模拟滤波器，然后得到其系统传输函数，并将 转换成数字滤波器的系统函数 H(Z) 。对于模拟滤波器的设计，这种方法设计过 程比较完善、设计公式完整、参考内容丰富， MATLAB 仿真时可直接调用其中 的函数使用，效果不错；除此之外，还有若干的优良滤波器可

22、以直接使用。2、直接法：在频域或时域数字滤波器直接设计，设计过程需要计算机辅助 求解联立迭代方程。FIR 滤波器不能采用间接法。第 3 章 有限脉冲响应( (FIR)数字滤波器的设计FIR 滤波器结构并不复杂，并始终是稳定的。可以认为只有FIR 滤波器可以实现线性相位。考虑到这些特点，FIR 滤波器在使用上有许多优点。本章将介绍几种典型的 FIR 数字滤波器的设计方法，并用这些方法设计实例相比，总 结出各种设计方法的优缺点。设为 FIR 数字滤波器的冲激响应，长度为 M。其系统函数可表示为：(3-1)FIR 滤波器的设计方法是基于给定信号的幅度响应的逼近方法，其响应一般要有 线性相位。而与模拟

23、滤波器的设计无关，为了使设计出的滤波器是线性相位， 需要满足：h(n )=h(M-1-n)。FIR 滤波器的设计方法主要有窗函数法、频率取样法和基于切比雪夫等波纹逼近 的最优化设计方法。常用的方法是一和三。窗函数法设计时有比较全面的公 式可以直接使用，这种设计方法相对来说很容易、设计灵活，因此也很常见。 而最优化设计法设计程序比较丰富，效率不错，在实际设计中占有较大优势。FIR 滤波器是选取有限的冲击响应，这样可以让传输函数达到一定的幅度和 相位要求。那么 FIR 的设计思想是设计一个有限的脉冲响应 h(n)来逼近所要求的 频率响应。综上所述 FIR 滤波器的设计可归纳为：(1)确定数字滤波器

24、性能指标；(2)用一个因果稳定的系统函数去逼近这个理想性能指标；(3)用一个有限精度的运算去实现这个传输函数。3.1窗函数法3.1.1 窗函数的类型几种具有代表性的窗函数有矩形窗、三角窗、汉宁窗、哈明窗、布莱克曼 窗、凯塞-贝塞尔窗。常用的 6 种窗函数的基本参数如表 3-1 所示：表 3-1 6 种窗函数的基本参数窗函数类型旁瓣峰值/dB过渡带宽度阻带最小衰减/dB近似值精确值矩形窗134n/N1.8n/N21三角窗-258n/N6.1n/N25汉宁窗18n/N6.2n/N44哈宁窗-418n/N6.6n/N-53布莱克曼窗12n/N11n/N_74凯塞窗(3=7.865)-5710n/N3

25、.1.2 窗函数法的基本思想与其他两种设计方法相比较，窗函数法相对比较简单，窗函数法也叫傅立 叶级数法。设计首先通过对阻带衰减和过渡带的指标来确定要使用的窗函数类 型，其次设计一个 FIR数字滤波器，并将其频响逼近预期值。在时域中利用窗函 数法设计时，可以根据理想的频响计算出相应的采样响应，同时设计采样响应 去逼近。设计过程如下：(3-2)设窗函数为，将乘以，即其中称为加窗之后产生的截断的脉冲响应。窗函数可以减少设计过程中产生的吉布斯效应。使用矩形窗设计比其他窗 函数设计时产生的吉布斯效应明显，即使变化加大窗函数的长度，也没有很好 地改善。因此使用窗函数设计时应具有如下性质：(1)设计目标滤波

26、器幅频特性的主瓣宽度尽量窄，能量集中在主瓣；(2)窗函数频率特性的旁瓣3趋于n的过程中，其能量迅速减小为零。实际设计时通常采用 MATLAB 工具箱函数，调用工具箱函数 firl 实现窗函数 法设计。实验利用窗函数法设计 FIR 数字低通滤波器如图 3-1 所示：图 3-1 窗函数设计的 FIR 低通滤波器频率响应从仿真结果可以看出，采用特殊的汉明窗可以减小吉布斯效应的同时也会 增加滤波器的过度带宽。其振幅谱的旁瓣决定了图像的幅度以及波纹的数量。 这就是窗函数因截断单位取样相应在频域所产生的现象，这会直接影响设计效 果，所以降低截断效应也是非常重要的。3.2频率采样法此方法是根据频域采样定理，

27、将欲逼近的滤波器频响函数等间隔的抽样 得到：k=0,1,2,N-1(3-3)对进行 N 点离散傅里叶逆变换得到 FIR 的单位脉冲响应 h(n):(3-4)h(n)的系统函数 H(z)为：(3-5)H(z)的内插表示形式为：(3-6)再求得 FIR 滤波器的及频率响应(3-7)设计过程如下：(3-8)在每个采样点的频率响应等于H(z)的延伸累加。频率采样法设计无限长的序列时无法避免会产生逼近误差 , 理想频率响应的形状决定了误差的大小，若其 变换越平缓，内插函数值将会越更接近理想值 , 误差越小。在对应频率的过渡带 内插入连续的采样点，扩展过渡带的连续化，使通带和阻带之间变换缓慢，以 达到减少

28、逼近误差的目的，从而提高逼近的质量。在范围内的 N 个采样点的约束条件如式 (3-9)：(3-9)以下三种方法可以增大阻带衰减：(1) 采用加宽过渡带宽来增大阻带的衰减。(2) 获得过渡带最佳的采样点，从而得到最佳逼近。(3) 增加 N。提高阻带衰减确保过渡带宽不变，适当增加采样点数N。这样可以达到预期效果但是滤波器阶数和运算量增加。实验利用频率采样法设计 FIR 数字低通滤波器如图 3-2， 3-3 所示。图 3-2FIR 的单位取样响应图 3-3FIR 的低通衰减幅频特性在图 3-2FIR 滤波器的单位取样响应中可以看出在不连续点处增加过渡点后 h(n)的情形。从图 3-3 中可知带外衰减

29、改善的同时也影响着过渡带。因此，在阻 带和过渡带这两个因素之间，我们需要考虑优化设计的效果更好的衰减，减少 不必要的错误。可以看出频率采样法的采样点都在 2n/N 上，如果通带和阻带截止频率固定 时，频率采样法就会受到限制，显得不太灵活。当然也可以增大N，接近给定的频率，但设计会更加复杂化。这种方法设计结果很容易偏离固定指标，阻带 衰减小，因此要想有很好的衰耗特性可以适当选择过渡带的取样点的值。3.3FIR 数字滤波器的优化设计FIR 数字滤波器最优化设计的最优化准则一般分为两种均方误差最小化准 则和等波纹切比雪夫逼近 (最大误差最小化 )9。但在实际应用中，只有矩形窗函 数设计可用于最小化平

30、均平方误差准则，但由于吉布斯效应和影响不能满足设 计要求。为了解决这个问题，我们可以考虑使用其他的窗函数，但是这就无法 使用这一优化准则。所以 FIR 的最优化设计，可以用第二种优化方法来实现。3.3.1 等波纹切比雪夫逼近准则窗函数法与频率采样法的实际应用很多，但它们只是通过减小误差的接近 指标的设计方法并不是最优化的设计，这一缺点已被等波纹切比雪夫逼近法克 服，它可以实现在逼近频段上分布均匀，基于这种方法设计出的幅频响应的通带和阻带都是可以控制幅度的等波纹。为了满足滤波器的设计目标，同时最大误差最小化，使用不同的权重函数，通过加权误差带和停在不同的频带的最大值一致，加权误差在不同频段最大值

31、一样，从而达到优化目的。其设计理念是 使和的最大绝对误差最小化。采用加权逼近误差，可以表示为式(3-10)：(3-10) 式(3.10)中，表示逼近误差，根据误差的要求频段的高低加权函数的大小也 和其对应。前面说到数字滤波器的频率响应可以表示为：(3-11),H(CL)为幅度函数，式(3-11)也可表示为：(3-12)是固定函数，是 M 个余弦函数的线性组合。3.3.2 仿真函数FIR 数字滤波器最优化设计的编写程序可以调用remez 和 remezord 函数，下面将介绍这两种函数：1、remez 函数此函数的功能是设计具有线性相位性质的 FIR 选频滤波器的等波纹最佳逼近，调用形式为。此函

32、数可以得到优化设计的冲击响应。2、remezord 函数通过此函数可估计出滤波器的最低阶数 n 误差加权向量 w 和归一化边界频率 fo，频带内幅值 ao,使得滤波器的成本较低且可以很好地满足指标，其返回参数作为 remez 函数的调用参数10。调用形式为。由于 remezord 函数在估算滤波器的阶数 n 是难免会产生一定的误差，所以估算出 n 后，需要观察阻带衰减是否达标。如果无法达标，可以提高滤波器的阶数至 n+1, n+2 等。则等波纹切比雪夫逼近方法的具体步骤可归纳为：(1) 需要逼近的理想频响，加权函数以及滤波器的单位取样响应的长度 N。(2) 根据 1 中所给的条件写出、和的表达

33、式。(3) 使用 Remez 函数求解最佳逼近。(4) 使用傅立叶逆变换计算出单位取样响应 。 实验利用等波纹切比雪夫逼近准则设计FIR 数字低通滤波器如图 3-4 所示：图 3-4 滤波器输出的幅频及相频响应特性若果设计出的滤波器不达标，可以适当调整原有参数就可以获得新的滤波 器特性。就可以得到新条件下滤波器的特性。这可以大大减少滤波器的阶数体 积, 滤波器的设计成本也会随之减少。这使得滤波器的设计简单经济化，所以这种发发在实际运用中被广泛采纳。如果需要做一个具体的滤波的信号源，并检验滤波效果，在实际应用中，如果信号源的需要过滤，滤波效果检测，传统方 法是复杂的。所以可以先在 MATLAB

34、环境下模拟得到合适的结果再设计是非常 可行的。综合 FIR 低通数字滤波器的三种方法可以看出：(1) 窗函数法是从时域出发，设计比较简单实用，但是窗函数阶数低时，设计的 阻带特性不达标。(2) 频率采样法可在在频域直接设计， 适用于设计窄的选频滤波器， 但是设计容 易偏离指标，阻带衰减很小，不如窗函数设计简单。为了获得更好的衰减特 性，只有适当的选择过渡区的样本。(3) 波纹切比雪夫逼近法可以设计很好的频率特性和衰耗特性，且具有通带和阻 带平缓，过渡带窄等优点11。FIR 滤波器严格线性相位系统比较容易实现，且信号经过其处理后误差失真 小，而且稳定。MATLAB 软件可以使数字信号处理领域的分

35、析与设计变得更加 便捷。因此备受关注。第 4 章 无限脉冲响应 (IIR) 数字滤波器的设计IIR 数字滤波器的冲激响应 h(n)是无限长的，可表示为：(4-1)系统函数为：(4-2)设计 IIR 数字滤波器一般有三种方法。(1) 将预先设计好的模拟滤波器数字化，即 S 变换到 Z 平面得到所需的数字滤波器 对于这种方法，常见的有两种方法，双线性变换法和脉冲响应不变法。(2) 在 Z 平面直接设计，在 Z 平面上经过几次极点和零点来逼近给出滤波器的响 应。(3) 频域直接设计法，在 Z 平面上选取极点和零点的恰当值来逼近所希望滤波器 的响应，这种方法的运算比较复杂。4.1脉冲响应不变法设为已有

36、的模拟滤波器的冲激响应，为数字滤波器的单位脉冲序列，用逼 近，使得恰好等于的采样值。具体可表示为：公式导出 :具体转换如下 :设(以一阶极点为例 )(4-3)作拉氏反变换得采样得(4-4)作 Z 变换得(4-5)与极点关系为 :(4-6)一般对应关系(4-7)图 4-1S 平面到 Z 平面变换示意图所以，模拟系统稳定因果 数字系统稳定因果。可知，从 S 到 Z 平面的映射并不是一一映射，而是先将在S 平面沿虚轴作周期延拓，再根据映射关系将反馈到Z 平面，得系统函数，因此，此方法只适用于低通，带通一类带限滤波器。在Matlab 中的转换函数 imp in var 可实现这种方法。4.2双线性变换

37、法脉冲不变性方法只适用于低通，带通这类带限滤波器，带阻滤波器和高通滤波 器，由于高频波段，利用脉冲响应不变法可以造成混合失真。所以设计这一类 滤波器是应该有：平面虚轴二 z 平面整个单位圆，且JJ因为，所以选变换，式中可取任意正常数。设计的具体步骤为:. 设计模拟滤波器 通过 s-z 变换转化成数字滤波器， 数字与模拟域对应关系如图 4-2 所示：Jk卜 * * *1图 4-2 数字域频率与模拟域频率的对应关系_转化公式推导如下：(4-8)由于只关心频率转换，设,得到：(称为双线性变换)(4-9)则通过模拟滤波器转换数字滤波器可表示为：(4-10)然后根据式(4-9)可得,称为 s-z 的两复

38、平面变换,又因可得(4-11)从式(4-11)可得：时,上虚轴二上单位圆周。时,上左半平面二上单位圆内。时,上右半平面二上单位圆外。可以看出双线性变换后数字滤波器的稳定性能是由模拟滤波器的稳定性来决定 的。与脉冲响应不变法不同，双线性变换法的映射是单值性质的-映射，双线性变换法的频率和数字频率仿真是不是线性关系，这一要求是一个频率范围 的幅度响应的连续系统的改造是近似恒定的振幅响应，否则不会保真原模拟滤 波器。12而通过预畸的方法可以解决这一问题。即其中 K=2/ T ,实验利用双线性变换法设计巴特沃思数字低通滤波器如图4-3 所示：图 4-3 巴特沃思数字低通滤波器从图 4-3 可以看出在频

39、带内的频率响应曲线单调递减，逐渐下降为零。4.3IIR 数字滤波器的优化设计用间接法设计 IIR 数字滤波器固然很好，但是幅度特性取任意值的情况下间接法不一定适用而只能通过直接法来进行设计。频域直接设计法常用的方法是利用幅度平方误差最小化13。设待设计的IIR 数字滤波器是由 k 个二阶网络级联而成系统函数为，频率响应为，在(0,n取 M 点数字频率，在这些给定的离散频率点除，和的幅度平方误差J 为：(4-12)通过调整的大小来控制各，使 J 为最小。，则利用方程(4-13)求解出使 J 最小的各参数：(4-13)其中，在由(4-13)的第一个方程得，(4-14)则，(4-15)将分别对求偏导

40、函数并运算可得：(4-16)(4-17)(4-18)(4-19)上面四式是一种混合型算法。在计算过程中可以使用迭代法解决，具体可 用算法Fletcher-Powel 实现，它是高效的线性最速下降搜索的混合算法，算法如 下式：(4-20)J 是的非线性多元函数。J 为正定函数，一定存在一组使得 J 最小，|A|可以根据，直接求出，贝 U 因为 J 的 非线性，须用迭代法求出。设选取一初始向量 若则可以求出使|P|=min 的 X其中为下降的方向向量，t 为尸下降的步长因子1、下降方向向量的选取，设g 为的梯度，其方向为 J 的上升方向，-g 为最陡下降方向，则有: 2、最佳步长因子的选取选取 t

41、 使即t 确定一初值，采用二分法当时令3、最陡下降算法(a)(b) 计算(c) 若，则输出，否则进行步骤 (d)(d) 求最佳步长因子 t，使 P=min(e) ，进行步骤 (2)4、F-P 算法最陡下降法只取一阶，当 X 接近极小值时，下降幅度就会平缓，将P(X)取到二阶项，得到如下算法:(1) 初值，计算(2) 单位矩阵(3) 求最佳步长因子 t，使(4) ，计算(5) ，则输出，否则进行步骤 (6)若 k=n，则进行步骤否则进行步骤(7)(7) 计算(8) 计算(9) 进行步骤 (3)利用 MATLAB 编程求解该式并仿真如图 4-4、4-5 所示：图 4-4 低通数字滤波器优化设计的幅

42、频特性图图 4-5Chebyshev I 型数字滤波器的幅频特性图由结果可知：使用最优化的频域直接设计方法有通带波纹较小、过渡带较 平滑、阻带的旁瓣较小等优点，因此在设计滤波器时更为实用。结论将信号以数字的形式表达并可以进行一系列的设计和处理是通信领域发展 的一个历史性转折，这种信号处理方法就是数字信号处理，它与模拟系统对比 数字系统有占用空间小、使用方便、成本较低等优点。随着各种高新技术的数 字化，模拟信号处理终将退出历史舞台。但数字化技术的概念必定会很抽象， 难免会有一系列比较复杂高阶的计算，所以借助计算机可以高效地解决这一问 题。本次设计是利用以前所学过的数字信号处理为理论依据，在 MA

43、TLAB 环境 中编程并仿真，首先介绍几种常用的设计方法，然后使用 MATLAB 编程与仿 真。在滤波器设计过程中，几种典型设计方法都有各自的优点和缺点，因此必 须综合考虑这些优缺点和设计过程中可能会产生的误差，并结合实际应用来考 虑具体的研究方法是很有必要的，这样才能设计出有效地数字滤波器。在 FIR 滤波器的设计中窗函数法设计简单、方便而且稳定，有一系列可供使用的公 式，但是设计过程中产生的吉布斯效应必须要解决。频率采样法适用于设计窄 的选频滤波器，波纹切比雪夫逼近法可以设计很好的频率特性和衰耗特性。在 IIR 滤波器设计中的前两种方法都会产生各自的频率失真，导致数字滤波器的频 响偏离指标

44、。通过对几种方法的比较， 确定比较高效的优化设计方法， 经分析 在要求条件相同的情况下，IIR滤波器实现起来比较容易。通过这次设计，我对数字滤波器有一个更深的了解，对学习 MATLAB 软件 应用的数字信号处理的知识有了更深的认识。参考文献1倪养华，王重玮数字信号处理 原理与实现 M 上海交通大学出版社， 19992 董长虹 MATLAB 信号处理与应用北京：国防工业出版社， 20053 程佩青数字信号处理教程 M 清华大学出版社， 19954 丁玉美，高西全 .数字信号处理 M 西安电子科技大学出版社， 19945 郑南宁数字信号处理 M 西安：西安大学出版社， 19966 姜建国，曹建中，

45、高玉明 . 信号与系统分析基础 M 北京：清华大学出版 社， 19947 余成波，杨菁等数字信号处理及MATLAB 实现M 北京：清华大学出版社， 20058 郭仕剑，王宝顺等 MATLAB7.X 数字信号处理 M 北京：人民邮电出版 社， 20069 门爱东，杨波等数字信号处理 . 北京：人民邮电出版社， 200310 张葛祥，李娜 .MATLAB 仿真技术与应用 北京：清华大学出版社， 200311 Mitra S K.Digital Signal Processing a Computer-based Approach.3rd ed.McGraw HillHigher education

46、,200112 Oppenheim A V and Schafer.Digital Processing.Engelwood Cliffs, NJ:Prentice-Hall Inc,197513L.Gazsi,Explicit.FormulasforLatticeWaveDigitalFiltersJ.IEEETrans,CircuitsSyst,vol.CAS-32,Jan.1985致谢经过三个月的努力终于将这次论文写完。感谢在这期间给予我帮助和老师 和同学们。在本次论文设计过程中出现了许许多多的问题，刚开始对设计内容 一知半解，无从下手，对 MATLAB 软件不太熟悉，但是是在导师的精心

47、指导 下，并且对学生们的论文一次次的改进，这所有问题都全部解决，通过这次毕 业设计，我学到了很多平时学不到的东西，这真的是一次令人难忘的学习过 程。能完成这次毕业设计，我要感谢我的论文导师周老师，在设计整个毕业设 计过程都得到了周老师的悉心指导，给我解答各种疑问，并给我提供一些比较 详细的资料。老师渊博的知识和高尚的品德感染着我鼓舞着我，使我终身受益 不尽。在此期间在与老师和同学们的相互讨论之下获得了很好的修改意见，直 到解决各个的问题和疑惑，最终本文得以顺利完成。最后，我要向百忙之中抽时间对本论文评阅、答辩和对本论文提出宝贵意 见的所有老师和同学们表示感谢 !签名：舒怀附录窗函数法实现程序：

48、 a=0.4*pi。 x1=boxcar(61)。 x2=hamming(61) N=1:1:61。Hd=sin(a*(N-31)./(pi*(N-31) 。 Hd(31)=a/pi。y1=Hd.*rot90(w1) 。 y2=Hd.*rot90(w2) 。 B1,rad=freqz(h1)。 B2,rad=freqz(h2)。subplot(2,2,1)。 plot(rad,20*log10(abs(B1)。 gridon。title(designedbyRectangularwindow)。 subplot(2,2,2)。 plot(rad,20*log10(abs(B2)。gridon。

49、 title(designedbyHammingwindow)。 y1,x1=freqz(y1,1,100,2) 。 subplot(2,2,3)。plot(x1,unwrap(angle(y1)。 gridon。y2,x2=freqz(y2,1,100,2)。 subplot(2,2,4)。plot(x2,unwrap(angle(y2) 。 gridon 。频率采样法实现程序： f=0.2 0.3 。 a=1 0。 dev=0.04 0.02。n f0 a0 w=remezord(f,a,dev)。 N=n。p=(N-1)/2。l=0:N-1。Wp=0.2*pi 。 Ws=0.3*pi。W

50、c=(Wp+Ws)/2 。 M=fix(Wc*N/(2*pi)+1) 。t = 0.5。Hrs=ones(1,M),T,zeros(1,N-2*M-1),T,ones(1,M-1)。 x1 = 0:floor(p) 。x2 = floor(p+1):N-1 。 Z=-p*(2*pi)/N*x1,p*(2*pi)/N*(N -x2) 。H =Hrs.*exp(j*Z) 。h =ifft(H,N) 。y1,w1 = freqz(h,1,256,1) 。hr = abs( y1)。y1 = 20* log10(hr) 。figure(1)。l=0:N-1。stem(l,h,k.) axis(0,N-

51、1,1.1*min(real(h),1.1*max(real(h) 。 xlabel(n)。 ylabel(h(n)。grid on。figure(2)。plot(w1,y1) 。Frequency(Xnrad/sample)ylabel(dB)。grid on。等波纹切比雪夫逼近最优化设计实现程序：Fs =2000。P =3。R =40。F= 500 600。A = 1 0 。y= (10A(R/20) - 1)/ (10A(R/20) + 1) 10A( - P/20)。n ,fo ,ao ,w = remezord(F,A,y,Fs)。z= remez(N,fo ,ao ,w) 。reqz(z ,1 ,1024 ,Fs。)IIR 滤波器频域直接设计法程序： function A, para =IIR_dirFreq (Hd,k)u=0. 001: N=5000: E