第2章逻辑代数基础

1、1第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础Chapter 2 Logic Algebra Basic本章主要内容本章主要内容 第一节第一节 数制与码制数制与码制 第二节第二节 逻辑代数的基本概念与运算逻辑代数的基本概念与运算 第三节第三节 逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法 第四节第四节 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法 第五节第五节 具有无关项的逻辑函数及其化简具有无关项的逻辑函数及其化简2数制数制基数基数数码数码计数规则计数规则一般表达式一般表达式计算机中计算机中英文表示英文表示十进制十进制1009逢十进一逢十进一DDecimal二进制二进制20、1逢二进一逢二进一BBin

2、ary八进制八进制807逢八进一逢八进一OOctal十六进制十六进制1609、ABCDEF逢十六进逢十六进一一HHexadecimalN进制进制N0（N-1）逢逢N进一进一各进制特点对照表各进制特点对照表inmiiaN10110inmiibN212inmiiaN818inmiiaN16116inmiiNNaN1例：例： (278. 94)10 (101. 11)2 (372. 01)8 (2A. 7F)16上次授课内容上次授课内容 回顾回顾3二、数制转换二、数制转换 1、各种进制转换为十进制：即、各种进制转换为十进制：即“按位加权和按位加权和” 2、其他：、其他： (1)十进制十进制 N进制进

3、制inmiiRaN110)(将十进制转换为将十进制转换为N进制的方法：进制的方法：整数部分采用基数整数部分采用基数(N)除法，即除法，即除基（除基（N）取余，逆序排列；）取余，逆序排列；小数部分采用小数部分采用基数（基数（N）乘法，即）乘法，即乘基（乘基（N）取整，顺序排列）取整，顺序排列。(2)二进制二进制 八进制八进制(3)二进制二进制 十六进制十六进制(4)八进制八进制 二进制二进制 十六进制十六进制上次授课内容上次授课内容 回顾回顾4u二进制正负数的表示法二进制正负数的表示法 在数字电路中，二进制正负数的表示法有在数字电路中，二进制正负数的表示法有原原码码、反码反码和和补码补码三种表示

4、法。三种表示法。1.1.3 码制码制一、二一、二-十进制码（十进制码（BCD码码-Binary-Coded Decimal）二、格雷码二、格雷码三、误差检验码三、误差检验码四、字符、数字代码四、字符、数字代码 13P上次授课内容上次授课内容 回顾回顾5格雷码与二进制码格雷码与二进制码余余3循环码循环码62.2 逻辑代数基本概念和运算规则逻辑代数基本概念和运算规则 逻辑代数逻辑代数是英国数学家是英国数学家Geoge Boole(18151864)于于1847年提出的，所以又称为年提出的，所以又称为布尔代数布尔代数或或开关代数开关代数，它，它是分析和设计逻辑电路的数学工具。是分析和设计逻辑电路的数

5、学工具。 英国数学家英国数学家George BooleGeorge Boole于于18151815年年11 11月生于英格月生于英格兰的林肯。兰的林肯。 18471847年，发表了著作年，发表了著作The Mathematical Analysis of Logic。 18491849年，他被任命位于爱尔兰科克的皇后学年，他被任命位于爱尔兰科克的皇后学院的数学教授。院的数学教授。 18541854年年, ,他出版了他出版了The Laws of Thought布尔撰写了布尔撰写了微分方程微分方程和和差分方程差分方程的课本。的课本。 18641864年，布尔死于肺炎。年，布尔死于肺炎。 72.2

6、 逻辑代数基本概念和运算规则逻辑代数基本概念和运算规则2.2.1 逻辑变量与逻辑函数逻辑变量与逻辑函数 在逻辑代数中的变量称为在逻辑代数中的变量称为逻辑变量逻辑变量，通常用，通常用字母字母A、B、C等表示。逻辑变量的取值只有两等表示。逻辑变量的取值只有两种：种：真真(“1”)和和假假(“0”)。这里的。这里的“1”和和“0”并不并不表示数量的大小，而是表示完全对立的两种状表示数量的大小，而是表示完全对立的两种状态。态。8 若以逻辑变量作为输入，以运算结果作为输出，那若以逻辑变量作为输入，以运算结果作为输出，那么当输入变量的取值确定之后，输出的取值便随之而么当输入变量的取值确定之后，输出的取值便

7、随之而定。因此，输出与输入之间乃是一种函数关系。这种定。因此，输出与输入之间乃是一种函数关系。这种函数关系称为函数关系称为逻辑函数逻辑函数，写作，写作 Y = F(A,B,C)。 例：例：如下图所示为一个举重裁判电路如下图所示为一个举重裁判电路举重裁判电路举重裁判电路2.2.1 逻辑变量与逻辑函数逻辑变量与逻辑函数92.2.2 逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算 逻辑代数的基本运算有逻辑代数的基本运算有与与(AND)、或、或(OR)、非非(NOT)三种。它们各自的含义如下图中三种。它们各自的含义如下图中(a)、(b)、(c)所示。所示。 若把开关闭合作为条件，把灯亮作为结果，那么

8、图若把开关闭合作为条件，把灯亮作为结果，那么图中的三个电路代表了三种不同的因果关系：中的三个电路代表了三种不同的因果关系： 与、或、非说明电路与、或、非说明电路10(a)逻辑与，也叫逻辑相乘逻辑与，也叫逻辑相乘：表示只有决定事物结果：表示只有决定事物结果的全部条件同时具备时，结果才会发生。记作：的全部条件同时具备时，结果才会发生。记作：Y=AB或或Y=AB。其逻辑真值表如表。其逻辑真值表如表2.2.1(P21)。表表2.2.1 与逻辑真值表与逻辑真值表自等律自等律 A 1 = A01律律 A 0 = 0重叠律重叠律 A A = A11(b)逻辑或，也叫逻辑相加逻辑或，也叫逻辑相加：表示决定事物

9、结果的：表示决定事物结果的条件中只要有任何一个满足，结果就会发生。记作：条件中只要有任何一个满足，结果就会发生。记作：Y=A+B。其逻辑真值表如表。其逻辑真值表如表2.2.2。表表2.2.2 或逻辑真值表或逻辑真值表自等律自等律 A + 0 = A01律律 A + 1 = 1重叠律重叠律 A + A = A12(c)逻辑非，也叫逻辑求反：逻辑非，也叫逻辑求反：表示只要条件具备了，表示只要条件具备了，结果就不会发生，否则结果一定发生。记做：结果就不会发生，否则结果一定发生。记做： 。其逻辑真值表如表其逻辑真值表如表2.2.3。AY 表表2.2.3 非逻辑真值表非逻辑真值表还原律 = A互补律 A

10、+ = 1重叠律 A = 0AAA13 数字电路中，把实现与逻辑运算的单元电路叫做数字电路中，把实现与逻辑运算的单元电路叫做“与门与门”；把实现或逻辑运算的单元电路叫做把实现或逻辑运算的单元电路叫做“或门或门”；把实现非逻辑运；把实现非逻辑运算的单元电路叫做算的单元电路叫做“非门非门”(或反相器或反相器)。 与、或、非逻辑运算还可用下图所示的图形符号表示：与、或、非逻辑运算还可用下图所示的图形符号表示：与、或、非的图形符号与、或、非的图形符号国际标准国际标准国家标准国家标准14实际的逻辑问实际的逻辑问题基本上都可题基本上都可以用与、或、以用与、或、非的组合来实非的组合来实现。最常见的现。最常见

11、的复合逻辑运算复合逻辑运算有有与非、或非、与非、或非、与或非、同或、与或非、同或、异或异或等。右图等。右图示出了它们的示出了它们的逻辑符号与运逻辑符号与运算符号。算符号。复合逻辑的图形符号和运算符号复合逻辑的图形符号和运算符号15最常见的最常见的复合逻辑复合逻辑运算运算“与非与非”（NAND）“与非与非”复合逻辑的图形符号和运算符号复合逻辑的图形符号和运算符号A B Y0 00 11 01 11110NAND Truth Table16最常见的最常见的复合逻辑复合逻辑运算运算“或非或非”（NOR）“或非或非”复合逻辑的图形符号和运算符号复合逻辑的图形符号和运算符号N0R Truth Table

12、A B Y0 00 11 01 1100017最常见的最常见的复合逻辑复合逻辑运算运算“与或非与或非”（AND-NOR）“与或非与或非”复合逻辑的图形符号和运算符号复合逻辑的图形符号和运算符号18最常见的最常见的复合逻辑复合逻辑运算运算“异或异或”(EXCLUSIVE-OR)和和“同或同或”(EXCLUSIVE-NOR)EX-ORA B Y0 00 11 01 10110EX-NORA B Y0 00 11 01 11001“异或异或”“”“同或同或”复合逻辑的图形符号和运算符号复合逻辑的图形符号和运算符号BABA BABABAA B = ABBAA, B相同为相同为1，相异为，相异为0；A,

13、 B相异为相异为1，相同为，相同为0；19d、“同或同或”逻辑与逻辑与“异或异或”逻辑逻辑 (1) 0 0=1; 0 1= 1 0=0; 1 1=1; (2) A 0= ; A 1=A (3) A A A A1; A A A AA;A偶数个偶数个A奇数个奇数个A 1、同或运算规律、公式及性质：、同或运算规律、公式及性质：20ACABCBACBACBAABBA (1) 00=0; 01= 10=1; 11=0; (2) A0=A; A1= (3) 交换律：交换律： (4) 结合律：结合律： (5) 分配律：分配律：Ad、“同或同或”逻辑与逻辑与“异或异或”逻辑逻辑 2、“异或异或” 运算的公式：

14、运算的公式：21d、“同或同或”逻辑与逻辑与“异或异或”逻辑逻辑 3、“异或异或” 运算的性质：运算的性质： 等。，则有若。，则有若CDBADCBADCBAACBBCACBA00:0 在多变量异或运算中，若在多变量异或运算中，若变量为变量为1的个数为的个数为奇数奇数，异，异或运算或运算结果为结果为1，若，若变量为变量为1的个数为的个数为偶数偶数，异或运算，异或运算结结果为果为0，与变量为与变量为0 的个数无关的个数无关。AAAAAAAAAAA奇数个偶数个0(2) 多变量异或运算：(1) 因果互换关系：222.2.3 逻辑函数的描述逻辑函数的描述(即表示方法即表示方法)描述逻辑函数的方法有以下六

15、种：描述逻辑函数的方法有以下六种：一、逻辑表达式一、逻辑表达式(函数式函数式) (Logic Function)二、真值表二、真值表 (Truth Table)三、逻辑电路图三、逻辑电路图 (Logic Diagram)四、卡诺图四、卡诺图 (Karnaugh Map)五、波形图五、波形图(时序图时序图) (Waveform or Timing Diagram)六、文字描述六、文字描述232.2.3 逻辑函数的描述逻辑函数的描述(即表示方法即表示方法)CDAABY一、逻辑表达式一、逻辑表达式(函数式函数式Logic Function) 用与、或、非等逻辑运算表示逻辑关系的代用与、或、非等逻辑运

16、算表示逻辑关系的代数式叫逻辑函数表达式或简称函数式。数式叫逻辑函数表达式或简称函数式。 例：例：242.2.3 逻辑函数的描述逻辑函数的描述(即表示方法即表示方法)二、真值表二、真值表(Truth Table) 将输入变量所有的取值对应的输出值找出来，列将输入变量所有的取值对应的输出值找出来，列成表格，即可得真值表成表格，即可得真值表。列真值表时，需注意以下几。列真值表时，需注意以下几点：点： 1、所有的输入的组合不可遗漏，也不可重复所有的输入的组合不可遗漏，也不可重复；输入组合最好按二进制数输入组合最好按二进制数递增递增的顺序排列的顺序排列(完整性完整性)。 2、同一逻辑函数的真值表具有、同

17、一逻辑函数的真值表具有唯一性唯一性。 25例：例：请列出举重裁判电路请列出举重裁判电路Y=A(B+C)Y=A(B+C)的真值表。的真值表。ACABY26三、逻辑电路图三、逻辑电路图(Logic Diagram) 用代表逻辑运算的逻辑门符号所构成的逻辑关系图用代表逻辑运算的逻辑门符号所构成的逻辑关系图形，叫逻辑电路图，简称逻辑图。形，叫逻辑电路图，简称逻辑图。 四、卡诺图四、卡诺图(Karnaugh Map) 后述。后述。五、波形图五、波形图(时序图时序图)(Waveform or Timing Diagram) 指各个逻辑变量的逻辑值随时间变化的规律图。指各个逻辑变量的逻辑值随时间变化的规律图

18、。 六、文字描述六、文字描述 逻辑函数的各种表示方法逻辑函数的各种表示方法可以相互转换可以相互转换。 27例：例：已知某逻辑函数的真值表如下所示，试写出其逻已知某逻辑函数的真值表如下所示，试写出其逻辑函数式。辑函数式。A B CY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 101101001从真值表写出逻辑函数的一般方法：从真值表写出逻辑函数的一般方法：1、找出真值表中使逻辑函数、找出真值表中使逻辑函数Y1的的 那些输入变量取值的组合；那些输入变量取值的组合；2、每组输入变量取值的组合对应一、每组输入变量取值的组合对应一 个乘积项，其中取值为个乘积项，其中取值

19、为1的写入的写入原原 变量变量，取值为，取值为0的写入的写入反变量反变量；3、将这些乘积项相、将这些乘积项相加加，即可得逻辑，即可得逻辑 函数式。函数式。YCBACBACBAABC28 在真值表中，将为“1”的输出逻辑值所对应的输入变量的最小项相加，即得对应的函数式。二、二、 逻辑函数式表示法逻辑函数式表示法ABY0 00 11 01 10110Y= AB + AB已知：已知：所以：所以：三、三、 逻辑图表示法逻辑图表示法11&1ABYABAB四、四、 波形图表示法波形图表示法ABY五、卡诺图表示法五、卡诺图表示法（后续介绍）29布尔代数布尔代数、真真(“1”)和和假假(“0”)、逻辑变量与逻

20、辑函数逻辑变量与逻辑函数逻辑代数的基本运算：逻辑代数的基本运算：与、或、非与、或、非及图形符号表示：及图形符号表示：复合逻辑运算：复合逻辑运算：与非、或非、与或非、同或、异或与非、或非、与或非、同或、异或等。等。逻辑代数基本概念和运算规则逻辑代数基本概念和运算规则 小结小结30逻辑代数基本概念和运算规则逻辑代数基本概念和运算规则 小结小结一、逻辑表达式（函数式）一、逻辑表达式（函数式）二、真值表二、真值表三、逻辑电路图三、逻辑电路图四、卡诺图四、卡诺图五、波形图（时序图）五、波形图（时序图）六、文字描述六、文字描述描述逻辑函数的方法有以下六种：描述逻辑函数的方法有以下六种：六种方法中间可以互相

21、转换！六种方法中间可以互相转换！31一、逻辑代数的一、逻辑代数的公理公理01; 10)5(111; 000)4(10110; 01001)3(000; 111)2(10; 01) 1 (AAAA则若则若2.2.4 逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式32(1)交换律：交换律：AB=BA；A+B=B+A(2)结合律：结合律：A(B C)=(A B)C； A+(B+C)=(A+B)+C(3)分配律：分配律：A (B+C)=A B+A C； A+B C=(A+B) (A+C)(4)01定律：定律：1 A=A；0+A=A 0 A=0； 1+A=1(5)互补律：互补律：1; 0AAA

22、A二、逻辑代数的二、逻辑代数的基本公式基本公式(定律定律)33(6)重叠律：重叠律：AA=A；A+A=A(7)反演律反演律(De. Morgan定理定理)： (8)还原律：还原律：BABABABA;AA 二、逻辑代数的二、逻辑代数的基本公式基本公式(定律定律)34注：注：1、若两个逻辑函数具有完全相同的真值若两个逻辑函数具有完全相同的真值表，则这两个逻辑函数相等。表，则这两个逻辑函数相等。证明以上定律的基本方法均采用真值表法。证明以上定律的基本方法均采用真值表法。 2、逻辑代数逻辑代数与与普通代数普通代数是不同的。是不同的。BABABAABBAABBABA但, 例：例：abyyabxx2322

23、2235三、逻辑代数的三、逻辑代数的常用公式常用公式(吸收律吸收律)ABAABABAACAABBCDECAABCAABBCCAABABBAABABAAABABAABAABABAAAABA；）（推论：5)4()(;)3()(;)2()(;) 1 (36例例1.2 证明证明 A+AB = A 解：根据题意，列出真值表如下表所示解：根据题意，列出真值表如下表所示:A BA+ABA0 0000 1001 0111 111例例1.2 的真值表的真值表372.2.5 逻辑代数的三个定理逻辑代数的三个定理(规则规则)一、代入定理一、代入定理 所谓代入定理，是指在任何一个包含变量所谓代入定理，是指在任何一个包

24、含变量A的逻辑等式中，若的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中以另外一个逻辑式代入式中所有所有A的位置的位置，则等式仍然成立。，则等式仍然成立。 例：例：用代入定理证明用代入定理证明De.Morgan定理也适定理也适用于多变量的情况。用于多变量的情况。EAAEBCE CBABCAABC38例例1.3 已知等式已知等式 则则: A+C+D+A(C+D) = ? 。 解解: 原式左边是将 B 用 (C+D)代替，根据代入定理，只要将原式右侧所有的B用 (C+D) 代替即可，即： 原式右边 = 注意：在使用代入规则时，必须将所有出现被代注意：在使用代入规则时，必须将所有出现被代替变量的地方都用同一

25、函数代替，否则不正确。替变量的地方都用同一函数代替，否则不正确。ABBABAABBADCADCADCA39二、反演定理二、反演定理 所谓反演定理，是指对于任意一个逻辑式所谓反演定理，是指对于任意一个逻辑式Y，若将其中所有的若将其中所有的 “”换成换成“+”，“+”换成换成“”，“0”换成换成“1”，“1”换成换成“0”，原变量换成反，原变量换成反变量，反变量换成原变量变量，反变量换成原变量，则得到的结果就，则得到的结果就是是 。Y2.2.5 逻辑代数的三个定理逻辑代数的三个定理(规则规则)40 注意：注意： (1)使用反演规则时，必须保证运算优先顺序不变，即如使用反演规则时，必须保证运算优先顺

26、序不变，即如果在原函数表达式中，果在原函数表达式中，AB之间先运算，再和其他变量进行之间先运算，再和其他变量进行运算，运算， 那么反函数的表达式中，必须保证那么反函数的表达式中，必须保证AB之间先运算。之间先运算。 (2)对于对于反变量以外的非号应保留不变反变量以外的非号应保留不变。 例例1.4 已知，已知， 求反函数求反函数 解：按照反演规则，得解：按照反演规则，得:0CDBAFFDCBADCBAF1EDCBAFEDCBAF例例1.5 已知已知 ，求反函数。，求反函数。 解：按照上述法则得解：按照上述法则得:41即：即：1、仍需遵守、仍需遵守“先括号，然后乘，最后加先括号，然后乘，最后加”的运算优先次序。的运算优先次序。2、不属于单个变量上的反号应保留不变。不属于单个变量上的反号应保留不变。 使用反演定理求使用反演定理求 ，有时比用基本公式和常用公式简单，有时比用基本公式和常用公式简单得多。得多。YYCDCBAY，求若又例：又例：CDCBAYCDCBAF例：例：已知已知 ，求，求CACBAF)(CABCA F42 若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等，这就，这就是对偶定理。是对偶定理。 所谓对偶式，即：对于任何一个逻辑式所谓对偶式，即：对于任何一个逻辑式Y，若将，若将其中的其中的“”换成换成“+”，“+”换成换成