导数在研究函数中的运用

1、精品文档1欢迎下载导数在研究函数中的运用一、知识与方法1 1 函数的单调性：若函数y f(x)在区间(a,b)上单调递增，则f (x) 0,反之等号不成立；若函数y f(x)在区间(a,b)上单调递减，则f (x)0,反之等号不成立。2 2、函数的极值：(1) 定义： 设函数f(x)在点X。附近有定义， 如果对X。附近所有的点， 都有f(x) f(Xo), 就说是f(Xo)函数f (x)的一个极大值。记作y极大值=f(Xo)，如果对Xo附近所有的点， 都有f(X)f (Xo)，就说是f(Xo)函数f (X)的一个极小值。记作y极小值=f (Xo)。极 大值和极小值统称为极值。(2)求函数y f

2、 (x)在某个区间上的极值的步骤：(i i )求导数f (x)； (iiii )求方程f (x) o的根xo； (iiiiii )检查f (x)在方程f (x) o的根xo的左右的符号：“左正右负”f (X)在Xo处取极大值；“左负右正”f (X)在Xo处取极小值。特别提醒：(1)XD是极值点的充要条件是xo点两侧导数异号，而不仅是f xo= o o；f xo= o o 是Xo为极值点的必要而不充分条件。(2)给出函数极大( (小) )值的条件，一定要既考虑f(Xo) 0,又要考虑检验“左正右负”( (“左负右正”) )的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！3 3、函数的最大值和最小值：

3、(1) 定义：函数f (X)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中 的“最大值”；函数f (x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端 点值中的“最小值”。(2) 求函数y f (x)在a,b上的最大值与最小值的步骤：(i i )求函数y f (x)在(a, b) 内的极值(极大值或极小值)；(iiii )将y f (x)的各极值与f (a),f (b)比较，其中 最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。特别注意：(1) 利用导数研究函数的最值(极值)，且方程f/(x) 0在给定的范围内有多个x值时， 要注意列表！(2)要善于应用函数的导数，考察函数单调性、最

4、值( (极值) )，研究函数的性态，数形结 合解决方程不等式等相关问题。二、练习题精品文档2欢迎下载1 1.函数f (X)x3ax22bx c，当a 3b0时，f (x)的单调性是递增2 2.函数f (x)A. .(2,3x2B. .(1是减函数的区间为：,2)C. .(,0)D DD. .(0,2)3.3.函数f (X)x3ax在1,)(答:0 a 3)；精品文档3欢迎下载11.11.已知函数y xf (x)的图象如右下图所示( (其中f(x)是函数f(x)的导函数) )，下面四个图4 4在a,b上，f (x) 0恒成立是函数y f(x)单调递增的 _条件。( (必要不充分) )5.5.函数

5、f (x)x3A.A. 2 22axB.B. 3 33x 9，已知f (x)在x3时取得极值，则a= = D DC.C. 4 4D.D. 5 56.6.函数y (x21)31的极值点是(答:C C)；A极大值点XB B 、极大值点x 0C C 、极小值点x 0D D、极小值点x 17 7函数f (x)2x ax (a 6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围是a 6或8.8.函数y 2x33x212x 5在00 ,3 3上的最大值、最小值分别是(答：5 5; -15-15)9.9.方程x36x29x 100的实根的个数为(答: 1 1);10.10.f(x)的导函数y f (x)的图象如右图所

6、示，则yf (x)的图象最有可能的是(C C)A.A.-1,+)B B精品文档4欢迎下载(-1,+)C C .(-,-1D D .(-,-1)精品文档5欢迎下载32213.13.函数f x x ax bx a在x 1处有极小值 1010,求a b的值.(答：7 7)1414设x 1和x 2是函数f(x) ax3bx26x 1的两个极值点(1)(1)求a、b的值；(2)(2)求f (x)的单调区间解：(1 1)f(x) 3ax22bx 6,由已知可得f(1) 3a2b60,f(2)23a 2 2b 2 609解得a 1,b9.2(2)(2)由(1 1)知f (x) 3x29x 63(x23x 2

7、)3(x1)(x 2).当x (,1)(2,)时，f(x)0；当x (1,2)时，f(x)0因此f (x)的单调增区间是(,1),(2,),f (x)的单调减区间是(1,2)a15.15.已知函数f(x)x33 x2(a 1)x1，其中a为实数. .32(1)已知函数f(x)在x 1处取得极值，求a的值;_ 2(2 2)已知不等式f (x)x x a 1对任意a (0,)都成立，求实数x的取值范围 解：(1)(1)f (x)ax23x(a 1). .由于函数f(x)在x 1处取得极值，所以有f (1) 0,即：a3 a 10 a 1. .(2 2)由题设知：ax23x (a21) x xa 1

8、对任意a(0,)都成立,即a(x222) x 2x 0对任意a (0,)都成立。于是a2X22x对任意a (0,)都成立,2小X 2x c即20. .2x0. .x22x22精品文档6欢迎下载从而实数x的取值范围为：2x0. .精品文档7欢迎下载16.16.已知函数f(x) x3(1 a)x2a(a 2)x b (a,b R).(1 1)若函数f (x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a,b的值;(2 2)若函数f (x)在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围.解析：(1 1)由题意得f (x) 3x22(1 a)x a(a 2)(2)函数f (x)在区间(1,1)不单调，等价于导

9、函数f(X)在(1,1)既能取到大于 0 0 的实数，又能取到小于0 0 的实数即函数f (x)在(1,1)上存在零点，根据零点存在定理，有f ( 1)f (1)0, 即:3 2(1 a) a(a 2)3 2(1 a) a(a 2) 0整理得：(a 5)(a 1)(a 1)20，解得5 a 13921717.设函数f (x) x x 6x a.2(1) 对于任意实数x,f (x) m恒成立，求m的最大值；(2)若方程f (x)0有且仅有一个实根，求a的取值范围.犀： (1(1) )f (x)3x9x 63(x 1)(x2), ,因为x(,), ,f (x) m, , 即3x29x(6 m) 0恒成立，所以81 12(6 m) 0, ,得m3即m的最大值为34 4因为当x 1时，f(x) 0; ;当1x2时，f(x)