全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题答案

1、2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛考试时间：2016年5月8日（星期日） 上午8001000试题构成：类别题号章节知识点适用阶段难度填空题1不等式解不等式高一易2概率与计数原理计数原理高二易3函数估值，周期高一易4导数导函数，基本不等式高二易5解析几何圆，直线高二易6平面向量线性关系高一易7立体几何共面问题高一中8数列零点存在性定理高一难9不等式基本不等式，数的收拢高二中10初等数论整除问题竞赛难解答题11三角函数基本运算高一易12平面几何几何证明竞赛易13解析几何双曲线的离心率高二中14初等数论三角等式，数的轮换竞赛难解题建议：放弃10，12，14适当放弃7，8试题正文与答案：一、填空题

2、（每小题7分，共70分）1若关于的不等式的解集为，则的值是 解析 由题设，不等式等价于，从而，解得，所以故填2从中任取两个不同的数，则取出的两数之和为偶数的概率是 解析 取出两数之和为偶数（两数均为奇数或均为偶数）的概率为故填3已知是周期为的奇函数，且当时，则的值是 解析 注意到，即，所以，所以故填评注 因为或或学会观察，选用合适的方法进行计算4已知直线是函数图象的切线，当的斜率最小时，的方程是 解析 由题意从而，当且仅当时等号成立所以直线的斜率最小值为，此时切点为，切线方程为故填5在平面直角坐标系中，如果直线将圆平分，且不经过第四象限，那么的斜率的取值范围是 解析 圆的标准方程为，由题设直线

3、过点，其方程为，即，注意到不经过第四象限，则，解得故填6已知等边的边长为，若，则的面积是 解析 由得点是等边三角形的中心，所以，又由得，且，因此的面积为故填JC2016T06D评注 若找不到方向，此题也可以建系考查7已知正方体的棱长为，点在棱上，点为棱的中点若过点的平面截该正方体所得的截面为五边形，则的取值范围为 解析 先作出基本图形如下图左所示，假设能构成五边形，我们需要通过延长和连线的作图方法法得到相应的交点，如下图右所示，连接与的延长线交于点，连接并延长与交于，则是所截五边形的第三个顶点（注：作图方法不唯一） JC2016T07D通过同样的方法，可以作出其余的点，如下图所示，JC2016

4、T07D若存在这样的五边形，则每个顶点都存在，设，通过相似可以得，从而只需，解得故填评注 如下图所示，由于是正方体，也可采用极端思想，需要几何动态的观点JC2016T07D当点为中点时，有，即时，截面为四边形；当移向时，远离，点向点靠拢，此时可形成五边形，即当时，截面为四边形；当时，截面为五边形因此的取值范围为故填8已知数列的奇数项依次构成公差为的等差数列，偶数项依次构成公差为的等差数列，且对任意，都有 若，且数列的前项和，则 解析 分析知，即，从此点无法解决根本，按照题目的设想，可求出首先，可以得到该数列的奇偶项表达式（分段通项），设，则，其次，因为对任意，都有，即只需满足（或），因此对恒成

5、立，分析左边，若需，则必须满足u；分析右边，若需，即，则必须满足因此分析得最后，故填评注 u若不然，若，则令，解得，若令，则有与题意矛盾的理由同u类似事实上，在解决问题“不等式对恒成立，求实数的取值范围”的时候，就没将问题讲清楚，而是直接根据主观论断，否定的情形，本质上否定就是寻找一个，使得，这跟函数的零点以及单调性有关当时，恒成立，符合题意；当时，只许满足，从而；当时，易知，易知方程的两根为，又对称轴，所以在上单调递增，又，所以，使，与题意矛盾综上所述：实数的取值范围是这种思想与高考卷或模拟卷中找寻零点个数或极值点（变号零点）个数的思想是一致的9已知正实数满足，则 分析 若不是以整体的形式求

6、出，则必定分别求出，这类问题涉及到对代数式变形解析 解法一：将题设条件式通分并整理，得，整理得，因此，所以故填解法二：因为为正实数，所以，等号成立的条件为，所以故填解法三：因为，所以，即，所以故填解法四：由，等号成立的条件是，所以故填评注 常见的不等式链“调和平均数几何平均数算术平均数幂平均数”，简记为调几算幂，设是个正实数，则10设表示满足下列条件的正整数的和：整除，且整除，那么的所有不同正因子的个数为 解析 因为，所以与的素因子相同，而，故可设这样我们由题设条件可得，且，从而有，故，所以，的所有不同正因子的个数为评注 算术基本定理：若不计素因数的次序，则每一个大于的整数都可以唯一分解成素因

7、数乘积的形式，即，其中均为素数，为自然数有结论如下：（1）的约数个数为；（2）的所有约数之和为；（3）欧拉（Euler）函数表示不大于且与互质的数的个数为二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11已知，求解析 解法一：由题设知，令，则，且，则，即，解得或（舍），即有，所以，或，从而或解法二：由题设可得，注意到，解得（舍负），进一步解得或12如图，点在的边上，且，过点的直线与的外接圆交于点，且点是弧的中点 求证：（1）；（2）JC2016T10解析 （1）因为点是弧的中点，所以，又，所以，又因为，所以（2）由（1）知，又，所以，从而，即，同理所以13在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线交于两点 若，求双曲线的离心率解析 解法一（参数方程法）：因为双曲线的右焦点的坐标为，设直线l的倾斜角为，则直线的方程即为（为参数）代入双曲线方程，并整理得，则有，因为，则有，从而，即，因为，故解法二（普通计算法）：当斜率不存在时，由得，故，因为，故当斜率存在时，设斜率为，记，则由，得，即，消整理得，故且，由，得，整理得，从而，因为，故14已知凸九边形的任意个内角的正弦与其余个