高中数学必修4教案：1.4.2单位圆与周期性

1、§ 4.2单位圆与周期性教学目标1 .知识与技能(1) 会利用单位圆认识和理解正弦函数、余弦函数的周期性；(2)理解周期函数的定义。2 .过程与方法由于我们已将角推广到任意角的情况，而且一般都是把角放在平面直角坐标 系中，利用单位圆的独特性，充分理解正弦函数和余弦函数的周期性。 同时感受 利用单位圆研究三角函数是高中数学中的一种重要方法。3 .情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们对三角函数的概念有了一个新的认识； 在由锐角 的三角函数推广到任意角的三角函数的过程中， 体会特殊与一般的关系，形成一 种辩证统一的思想；通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习 积极性；培养

2、学生分析问题、解决问题的能力。教材分析在直角坐标系的单位圆中，角的终边与单位圆的交点P的位置随"的变化 而变化，由此可看出正弦函数、余弦函数的周期性。教材在分析了正弦函数值、余弦函数值均是随角的变化而呈周期性变化后， 归纳出了周期函数的概念，并给出了定义。教材重点研究了正弦函数、余弦函数 的周期性，而对一般的周期函数不作研究。教学重点1 .任意角的三角函数两个定义的应用；2 .周期函数的概念教学难点1 .三角函数定义的灵活应用；2 .理解周期函数的概念教学方法与手段学生对三角函数定义的灵活应用有一定难度， 教师应以数形结合为引导，启 发学生利用定义解题的关键是求出角 a终边与单位圆的

3、交点坐标。另外，周期函 数的概念的理解对学生有较高的要求， 建议教师从特殊出发，引导学生自己独立 发现规定自变量的任意性的合理性。教学过程一、复习回顾：1 .任意角的三角函数是如何定义的？体现什么数学思想？2 .利用单位圆定义任意角的三角函数的正、余弦函数有什么优点？体现什么数 学思想？从中可以发现正、余弦函数有什么关系？利用角木终边上一点P(5, -12)分别求sin%coss,tancc来回答问题1和问题2.(1)改为已知角口终边上一点P(5k, -12k)(k >0),如何求sin a, cos a ?(2)改为已知角口终边上一点P(5k, -12k)(k <0),如何求si

4、n a , cos a ?(3)改为已知角a终边上一点P(5k,-12k)(k ¥ 0),如何求sin a , cos a ?3 .正弦、余弦函数的定义域是什么？你是如何得到三角函数定义域的？4 .正弦、余弦函数在四个象限的符号是怎样的？正弦一二为正三四为负，余弦一四为正二三为负。二、进行新课：例1已知角"的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边落在函数y =3x(x «0)的图像上，求2sin久-cosa的值。解： 2sin 二 一cos：=- 2若将题改为：已知角a的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边落在函数y=3x的图像上，如何求2sina-

5、cosa的值？例2确定下列函数值的符号：(1) cos 72"(2)sin(-4650).解：略.(全为负)动手实践：独立完成课本17页表15,然后快速抢答.观察、归纳、总结计算下列两组算式，从中你能发现什么规律？ JTJTJT(1) sin ,sin(4 k +),sin( -6n： +) -6663TJTJT(2) cos ,cos( -6n +),cos(10n +二) 333思考：根据三角函数的定义，终边相同的角的同一三角函数值有和关系 ？显然：终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值相等.即有公式一：sin(a +2kn) =sina , cos(a + 2kn ) = cos

6、ot ( 其中 kZ)例3.确定下列三角函数值的符号，然后用计算器验证：9二 .,二、(1) cos-; (2) sin(-);利用公式一，可以把求任意角的三角函数值,转化为求0到21 (或0 口到360 b角的三角函数值.另外可以直接利用计算器求三角函数值，但要注意角度制的问题.阅读与提升阅读课本16页4.3单位圆与周期性一节的内容，然后思考并回答下列问题： 什么叫周期函数？周期函数必须满足哪几个条件？定义中为什么要限定T为非零常数？为什么要限定自变量的任意性？周期函数：一般地，对于函数f(x),如果存在非零常数T,对定义域内的任 意一个值x,都有f(x+T)=f(x),就把f(x)称为周期

7、函数，T称为这个函数的 周期。从定义中不难发现，周期函数必须满足三个条件：(1)非零常数T的存在性； (2)自变量x的任意性；(3)关系式f(x+T) = f (x)的包成立性。限定T为非零常数，主要考虑周期函数的实际应用价值，而限定自变量的任 意性，关键在于数量化的定义必须满足存在性与唯一性，两者缺一不可。练习：完成课本17页练习15题，然后依次作答。三、总结与提升：通过本节课的学习，你掌握了哪些数学知识？学到了哪些数学思想？四、布置作业：课本P24,第5, 6, 7题五、教学反思正弦函数、余弦函数的周期性，学生借助单位圆比较好理解，因此本节课 的教学我重点突出了图形的作用。正弦函数、余弦函数是在学习了指数函数、对数函数、幕函数等基本初等 函数后的又一个基本初等函数，同时还是学生在中学阶段学习的各类函