应力应变分析

1、第七章第七章 应力和应变分析应力和应变分析强度理论强度理论 7-1 7-1 应力状态的概念应力状态的概念 7-3 7-3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法 7-4 7-4 二向应力状态分析二向应力状态分析-n-n图解法图解法 7-5 7-5 三向应力状态三向应力状态 7-8 7-8 广义胡克定律广义胡克定律 7-11 7-11 四种常用强度理论四种常用强度理论第七章第七章 应力和应变分析应力和应变分析强度理论强度理论低碳钢低碳钢 塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铸 铁铁问题的提出问题的提出71 应力状态的概念应力状态的概念脆性材料扭转时为

2、什么沿脆性材料扭转时为什么沿4545螺旋面断开？螺旋面断开？低碳钢低碳钢铸铸 铁铁71 应力状态的概念应力状态的概念 横截面上正应力分析和切应力分横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同点的应析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即力各不相同，此即应力的点的概念应力的点的概念。QFMzNF71 应力状态的概念应力状态的概念横力弯曲横力弯曲 直杆拉伸应力分析结果表明：直杆拉伸应力分析结果表明：即使同一点不同方向面上的应力也是即使同一点不同方向面上的应力也是各不相同的，此即各不相同的，此即应力的面的概念应力的面的概念。71 应力状态的概念应力状态的概念 FFkkpFkk2co

3、scospsincos sinsin22p直杆拉伸直杆拉伸F laSM FlT Fa71 应力状态的概念应力状态的概念zMzT4321yx1z zz zW WM MtTW3z zz zW WM MtTW123yxz x y z xy yx yz zy zx xz 单元体上没有切应力的面称为单元体上没有切应力的面称为主平面主平面；主平面上的正应力；主平面上的正应力称为称为主应力，主应力，分别用分别用 表示，并且表示，并且该单元体称为该单元体称为主应力单元体。主应力单元体。321,321 71 应力状态的概念应力状态的概念71 应力状态的概念应力状态的概念（1 1）单向应力状态：三个主应力中只有一

4、个不为零）单向应力状态：三个主应力中只有一个不为零（2 2）平面应力状态：三个主应力中有两个不为零）平面应力状态：三个主应力中有两个不为零（3 3）空间应力状态：三个主应力都不等于零）空间应力状态：三个主应力都不等于零平面应力状态和空间应力状态统称为平面应力状态和空间应力状态统称为复杂应力状态复杂应力状态Fl/2l/2S平面平面71 应力状态的概念应力状态的概念S平面平面4zF lM 2F543211232 231LtDtDpx0 xF4DpDt2xppt4pDxxx轴线方向的应力轴线方向的应力0yF0lDplt 2yt2pDy横向应力横向应力yyl2tyx y x y 承受内压圆柱型薄壁容承

5、受内压圆柱型薄壁容器任意点的应力状态器任意点的应力状态:二向不等值拉伸应力状态二向不等值拉伸应力状态tDyp4Dp2p0yF04DptD2ypp4tpDyyytDxp4Dp2px0Fx04DptD2xpp4tpDxxy3、三向应力状态实例、三向应力状态实例滚珠轴承中，滚珠与外圈接触点的应力状态滚珠轴承中，滚珠与外圈接触点的应力状态Z Zxy 0 nF 0 tF1.1.斜截面上的应力斜截面上的应力 y a a xyd dA Axyx 7-3 7-3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法x xy yx y yx xy 0 nF0sin)sin(cos)sin(cos)cos(sin)

6、cos(dAdAdAdAdAyyxxxy列平衡方程列平衡方程 0 tF0cos)sin(sin)sin(sin)cos(cos)cos(dAdAdAdAdAyyxxxy y a a xyd dA Axyx 7-3 7-3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法利用三角函数公式利用三角函数公式)2cos1(21cos2 )2cos1(21sin2 2sincossin2 并注意到并注意到 化简得化简得xyyx 2sin2cos)(21)(21xyyxyx2cos2sin)(21xyyx 7-3 7-3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法2.2.正负号规则正负号规则拉为

7、正；压为负拉为正；压为负使微元顺时针方向使微元顺时针方向转动为正；反之为负。转动为正；反之为负。由由x x 轴正向逆时针转轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反到斜截面外法线时为正；反之为负。之为负。 y a a xyntxyxx 7-3 7-3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法x xy yx y yx xy2sin2cos)(21)(21xyyxyx确定正应力极值确定正应力极值2cos22sin)(xyyxdd设设0 0 时，上式值为零，即时，上式值为零，即02cos22sin)(00 xyyx3. 正正应力极值和方向应力极值和方向0 02 2cos2cos2sin2sin

8、22 2) )( (2 20 00 0 xyxy0 0y yx x即即0 0 时，切应力为零时，切应力为零 7-3 7-3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法yxxy 22tan0 由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力和最小正应力（主应力）所在平面。为最大正应力和最小正应力（主应力）所在平面。 所以，最大和最小正应力分别为：所以，最大和最小正应力分别为： 22max4212xyyxyx 22min4212xyyxyx 主应力主应力按代数值按代数值排序：排序：1 1 2 2 3 3 7-3 7-3 二向应力状态分析二向应力状

9、态分析- -解析法解析法试求试求（1 1） 斜面上的应力；斜面上的应力； （2 2）主应力、主平面；）主应力、主平面； （3 3）绘出主应力单元体。）绘出主应力单元体。例题例题1 1：一点处的平面应力状态如图所示。一点处的平面应力状态如图所示。 y x xy 。30MPa，60 xMPa,30 xy,MPa40y已知已知 7-3 7-3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法解：解：（1 1） 斜面上的应力斜面上的应力2sin2cos22xyyxyx)60sin(30)60cos(2406024060MPa02. 92cos2sin2xyyx)60cos(30)60sin(2406

10、0MPa3 .58y x xy 7-3 7-3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法（2 2）主应力、主平面）主应力、主平面2yxxyyx22)2(maxMPa3 .682yxxyyx22)2(minMPa3 .48MPa3 .48, 0MPa,3 .68321y x xy 7-3 7-3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法主平面的方位：主平面的方位：yxxytg2206 . 0406060,5 .1505 .105905 .150y x xy 代入代入 表达式可知表达式可知 主应力主应力 方向：方向：15 .150主应力主应力 方向：方向：3 5 .1050 7

11、-3 7-3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法（3 3）主应力单元体：）主应力单元体：y x xy 5 .1513 7-3 7-3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法 7-3 7-3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法022xyxytg 2max2min22xyxyxymax1min3xyxy xy13此现象称为纯剪切此现象称为纯剪切纯剪切应力状态纯剪切应力状态045 135或或45 薄壁圆管受扭转和拉伸同时作用薄壁圆管受扭转和拉伸同时作用（如图所示如图所示）。已知圆。已知圆管的平均直径管的平均直径D50 mm，壁厚壁厚2 mm。外加力偶的力。

12、外加力偶的力偶矩偶矩Me600 Nm，轴向载荷，轴向载荷FP20 kN。薄壁管截面的。薄壁管截面的扭转截面系数可近似取为扭转截面系数可近似取为 22PdW 1圆管表面上过圆管表面上过D点与圆管母线夹角为点与圆管母线夹角为30的斜截的斜截 面上的应力；面上的应力； 2. D点主应力和最大剪应力。点主应力和最大剪应力。 2、确定微元各个面上的应力、确定微元各个面上的应力 取微元：取微元： 围绕围绕D点用横截面、纵截面和圆柱面截取微元。点用横截面、纵截面和圆柱面截取微元。3PP-3-320kN 1063 7MPa 50mm 102mm 10.FFAD22-3-3P22 600N m76 4MPa50

13、mm 102mm 10.xMMeWd求斜截面上的应力求斜截面上的应力 x63.7 MPa，y0， xy一一76.4 MPa，120。 三维投影成二维三维投影成二维sin2cos222xyyxyxcos2sin22xyyxMPa7101202cosMPa4761202sin20MPa763.MPa3501202sinMPa4761202cos20MPa76320MPa763.求斜截面上的应力求斜截面上的应力 sin2cos222xyyxyx120cos2sin22xyyx120确定主应力与最大剪应力确定主应力与最大剪应力 224212xyyxyxMPa6114MPa47640MPa7632120

14、MPa76322.224212xyyxyx MPa950MPa47640MPa7632120MPa76322.0 确定主应力与最大剪应力确定主应力与最大剪应力1114 6MPa.350 9MPa.20D点的最大切应力为点的最大切应力为 13max114.6MPa50.9MPa82.75MPa22 2sin2cos)(21)(21xyyxyx2cos2sin)(21xyyxxyyxyx2222)2()2( 这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆 7-4 7-4 二向应力状态分析二向应力状态分析- -图解法图解法 圆心的坐标圆心的坐标),(0 02 2yx

15、C 圆的半径圆的半径2 22 22 2xyyxR )( 此圆习惯上称为此圆习惯上称为 应力圆应力圆（ plane stress circle）,或称为或称为莫莫尔圆尔圆（Mohrs circle） （1）建）建 - 坐标系坐标系,选定比例尺选定比例尺o 2. 应力圆作法应力圆作法作图步骤作图步骤xyD xyo o （2）量取）量取OA= xAD = xy得得D点点xy xAOB= y （3）量取）量取BD= yx得得D点点 y yxD （4）连接）连接 DD两点的直线与两点的直线与 轴相交于轴相交于C 点点 （5）以）以C为圆心为圆心, CD 为半径作圆为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的该圆

16、就是相应于该单元体的应力圆应力圆 （1）该圆的圆心）该圆的圆心C点到点到 坐坐标原点的标原点的 距离为距离为 （2）该圆半径为）该圆半径为2 22 22 2xyyxR )(D xyo o xA y yxD证明：证明：2 22 21 12 21 1yxOBOAOBOAOBOC )()(2 22 22 22 22 2xyyxADCACD )(2 2yx 3.3.应力圆的应用应力圆的应用（1）求单元体上任一）求单元体上任一 截面上的应力截面上的应力 从应力圆的半径从应力圆的半径 CD 按方位角按方位角 的转向转动的转向转动2 得到半径得到半径CE.圆圆周上周上 E 点的坐标就依次为斜截面上的正应力点

17、的坐标就依次为斜截面上的正应力 和切应力和切应力 .D xyo o xA y yxDFxya)22cos(0 CEOCCFOCOF 2sin2sin2cos2cos00CDCDOC 2sin2cos22xyyxyx 2sin2cos2cos2sin)22sin(00CDCDCEFEo 2cos2sin2xyyx .点面之间的对应关系点面之间的对应关系:单元体某一面上的应力单元体某一面上的应力,必对应于应必对应于应力圆上某一点的坐标力圆上某一点的坐标.说说 明明AB .夹角关系夹角关系:圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上对应两截面夹角的两倍对应两截面

18、夹角的两倍.两者的转向一致两者的转向一致.A(2)(2)求主应力数值和主平面位置求主应力数值和主平面位置主应力数值主应力数值 A1 和和 B1 两点为与主平面两点为与主平面对应的点对应的点,其横坐标其横坐标 为主应力为主应力 1, 2 1 12 22 21 11 12 22 2 max)(xyyxyxCAOCOA2 22 22 21 11 12 22 2 min)(xyyxyxCBOCOB 2D xyo o xA y yxDFB1A1D xyo o xA y yxD 2A1B1主平面方位主平面方位 由由 CD顺时针转顺时针转 2 0 到到CA1 所以单元体上从所以单元体上从 x 轴顺时轴顺时针

19、转针转 0 （负值）即负值）即到到 1对应对应的的主平面的外法线主平面的外法线yxxyCADA 2 22 20 0)(tanyxxy 2 22 20 0tan)(tanyxxy 2 22 21 10 0 0 确定后确定后, 1 对应的对应的主平面方位即确定主平面方位即确定（3 3）求最大切应力）求最大切应力 G1和和G两点的纵坐标分别代两点的纵坐标分别代表最大和最小切应力表最大和最小切应力 D xyo o xA y yxD 2A1B1G1G2max)( 2 22 21 12 2xyyxCGmin)( 2 22 22 22 2xyyxCG2 22 21 1 minmax 因为因为最大最小切应力等

20、于应力圆的半径最大最小切应力等于应力圆的半径 x x o245245beABDDCbe4545例例1：轴向拉伸的最大正应力和最大切应力：轴向拉伸的最大正应力和最大切应力eb x x 轴向拉伸时轴向拉伸时45方向方向面上面上既有既有正应力又有切应力，但正应力不正应力又有切应力，但正应力不是最大值，切应力却最大。是最大值，切应力却最大。轴向拉伸的最大正应力和最大切应力轴向拉伸的最大正应力和最大切应力最大正应力所在的面上切应力一最大正应力所在的面上切应力一定是零；定是零；o 2452454545 4545 be D(0,- )CD (0, )eb例例2：纯剪切状态的主应力：纯剪切状态的主应力A AB

21、 -45 4545 beBA A 纯剪切状态的主单元体纯剪切状态的主单元体 -45 4545 bev在纯剪应力状态下，45方向面上只有正应力没有剪应力，而且正应力为最大值。40MPa30MPa60 例例3：一点处的平面应力状态如图所示。已知：一点处的平面应力状态如图所示。已知 ,30,60MPax.MPa30 xy试求试求（1） 斜面上的应力；斜面上的应力；（2）主应力、主平面；）主应力、主平面； （3）绘出主单元体。）绘出主单元体。,MPa40y40MPa30MPa60 o cd) 3 .58,02. 9(MPa3 .681MPa3 .483fe02)0,10(MPaR31.58)23030

22、()2)40(60(2248.150)30,60(D)30,40(D60013主应力单元体：主应力单元体：MPaMPa3 .48, 0,3 .68321例例4：一点处的平面应力状态如图所示。已知：一点处的平面应力状态如图所示。已知 ,20MPa,20MPa;310MPa.310MPa求（求（1）主应力；（）主应力；（2）绘出主单元体。）绘出主单元体。30303030120o )310,20(C)310,20(Da120（1 1）作应力圆）作应力圆,20MPa,20MPa;310MPa.310MPa12（2 2）确定主应力）确定主应力1120o )310,20(C)310,20(Da1202bb

23、aoboa60tgbcob6031020tgMPa30半径半径22)()(bcbaca22)60310()310(tgMPa20因此主应力为：因此主应力为：caoa1,50MPa,102MPacaoa. 03（3）绘出主单元体。）绘出主单元体。1120o )310,20(C)310,20(Da1202b 1 23030),(D1o ),(D3a3、已知任意两个斜面上的应力，确定主应力、已知任意两个斜面上的应力，确定主应力 2cos2sin2xyyx 4532532595150解法解法1解析法：分析解析法：分析建立坐标系如图建立坐标系如图xyyxy MPa325MPa45? x 222122xy

24、yxyx ）（60MPa325MPa956060 xyO例例5 求图示单元体的主应力及主平面的位置。求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：单位：MPa)MPa95 x 0MPa20MPa120321 300 yxxy 2 22 20 0tan 34532532595150AB 1 2解：解：主应力坐标系如图主应力坐标系如图AB的垂直平分线与的垂直平分线与 轴的交点轴的交点C便是便是圆心，以圆心，以C为圆心，为圆心，以以AC为半径画为半径画圆圆应力圆应力圆0 1 2BAC2 0 (MPa)(MPa)O20MPa)325,45(B)325,95(A在在坐标系内画出点坐标系内画出点 3 1 2

25、BAC20 (MPa)(MPa)O20MPa主应力及主平面如图主应力及主平面如图0201203213004532532595150 10 2AB例例6 分析受扭构件的破坏规律。分析受扭构件的破坏规律。解：解：确定危险点并画其原确定危险点并画其原 始单元体始单元体求极值应力求极值应力0 yx PxyWM 222122xyyxyx ）（ 2xy xyC yxMCxyO xy yx破坏分析破坏分析 22minmax2xyyx）（ 321; 0;4522tg00 yxxy0022tg11 xyyxMPa200;MPa240ss: 低低碳碳钢钢MPa300198;MPa960640MPa28098bcb

26、tb: 灰灰口口铸铸铁铁低碳钢铸铁 下图下图 表示一受任意横向力作用的矩形截面梁表示一受任意横向力作用的矩形截面梁, 在横截面在横截面 mm上上, 分别围绕分别围绕 1、 2、 3、 4,、5 五点各取出一单元体。五点各取出一单元体。假设该横截面上的假设该横截面上的。12345P1P2mmq12345P1P2mmq CD1A1D2A213312345P1P2mmqCA1A2D1D2O20201 323x12345P1P2mmqD1D2OCA1A290200 4500 133x412345P1P2mmq oCD1D2A1A2200134512345P1P2mmqO D2D1A1A2C11 将相应

27、的将相应的 x , x 和和 y=0 , y = - x 代入主应力的计算公式代入主应力的计算公式得梁内任一点的主应力计算公式得梁内任一点的主应力计算公式一、梁的一、梁的主应力计算公式主应力计算公式 222221xyyxyx 222221 xxx 222221xxx 可见可见, ,梁内任一点处的两个主应力必然一个为拉应力梁内任一点处的两个主应力必然一个为拉应力, ,一个为压应力一个为压应力, ,两者的方向互相垂直。两者的方向互相垂直。 在梁的在梁的 xy 平面内可以绘制两组正交的曲线。一组平面内可以绘制两组正交的曲线。一组曲线上每一点处切线的方向是该点处主应力曲线上每一点处切线的方向是该点处主

28、应力 1 1 的方向，的方向，而另一组曲线上每一点处切线的方向是该点处主应力而另一组曲线上每一点处切线的方向是该点处主应力 3 3 的方向的方向, ,这样的曲线称为梁的这样的曲线称为梁的。二、主应力迹线的概念二、主应力迹线的概念yx 上图绘出的是受均布线荷载作用的简支梁的两组主应力迹上图绘出的是受均布线荷载作用的简支梁的两组主应力迹线实线表示主应力线实线表示主应力 1的迹线的迹线, 虚线表示主应力虚线表示主应力 3的迹线的迹线, 所有的所有的迹线与梁轴线迹线与梁轴线(代表梁的中性层位置代表梁的中性层位置)间的夹角都是间的夹角都是45, 在梁的在梁的横截面上横截面上 =0的各点处的各点处, 迹线

29、的切线则与梁的轴线平行或正交。迹线的切线则与梁的轴线平行或正交。yx三向应力状态三向应力状态一般的空间应力状态一般的空间应力状态：单元体三对：单元体三对平面上都有正应力和切应力，且切平面上都有正应力和切应力，且切应力可分解成沿坐标轴方向两个分应力可分解成沿坐标轴方向两个分量，独立的应力分量有六个。量，独立的应力分量有六个。 x z y xy定义定义231三个主应力都不为零的应力状态三个主应力都不为零的应力状态 7-5 7-5 三向应力状态三向应力状态 1 3 首先研究与其中一个主平面首先研究与其中一个主平面 （例如主应力（例如主应力 3 所在的平面）所在的平面）垂直的斜截面上的应力垂直的斜截面

30、上的应力 1 2 2 用截面法用截面法,沿求应力的沿求应力的截面将单元体截为两部分截面将单元体截为两部分,取左下部分为研究对象取左下部分为研究对象 1 2 3 3 主应力主应力 3 所在的两平面上是一所在的两平面上是一对自相平衡的力对自相平衡的力,因而该斜面上的应因而该斜面上的应力力 , 与与 3 无关无关, 只由主应力只由主应力 1 , 2 决定决定 与与 3 垂直的斜截面上的应力可垂直的斜截面上的应力可由由 1 , 2 作出的应力圆上的点来表作出的应力圆上的点来表示示 1 2 3 3 2 1 该应力圆上的点对应该应力圆上的点对应于与于与 3 垂直的所有斜截面垂直的所有斜截面上的应力上的应力

31、 A 1O 2B 与主应力与主应力 2 所在主平所在主平面垂直的斜截面上的应力面垂直的斜截面上的应力 , 可用由可用由 1 , 3作出的应力作出的应力圆上的点来表示圆上的点来表示C 3 与主应力与主应力 所在主平所在主平面垂直的斜截面上的应力面垂直的斜截面上的应力 , 可用由可用由 2 , 3作出的应作出的应力圆上的点来表示力圆上的点来表示 该截面上应力该截面上应力 和和 对应对应的的D点必位于上述三个应力圆点必位于上述三个应力圆所围成的阴影内所围成的阴影内 abc 截面表示与三个主平截面表示与三个主平面斜交的任意斜截面面斜交的任意斜截面 1 2 1 2 3 A 1O 2BC 3结论结论 三个

32、应力圆圆周上的三个应力圆圆周上的点及由它们围成的阴影部点及由它们围成的阴影部分上的点的坐标代表了空分上的点的坐标代表了空间应力状态下所有截面上间应力状态下所有截面上的应力的应力 该点处的最大正应力该点处的最大正应力（指代数值）应等于最大（指代数值）应等于最大应力圆上应力圆上A点的横坐标点的横坐标 11 1 max A 1O 2BC 3 最大切应力则等于最最大切应力则等于最大的应力圆的半径大的应力圆的半径 最大切应力所在的最大切应力所在的截面与截面与 1和和 3所在的主平所在的主平面成面成45角角.)(2131max 例例 单元体的应力如图所示单元体的应力如图所示,作应力圆作应力圆, 并求出主应

33、力和最大切应并求出主应力和最大切应力值及其作用面方位力值及其作用面方位.解解: 该单元体有一个已知主应力该单元体有一个已知主应力MPa20 z 因此与该主平面正交的各截因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力面上的应力与主应力 z 无关无关, 依据依据 x截面和截面和y 截面上的应力画出应力截面上的应力画出应力圆圆. 求另外两个求另外两个主应力主应力40MPaxyz20MPa20MPa20MPaMPaMPaMPa MPa2 20 02 20 02 20 04 40 0 yxyxyx 由由 x , xy 定出定出 D 点点由由 y , yx 定出定出 D 点点 以以 DD为直径作应力圆为直径作

34、应力圆 A1,A2 两点的横坐标分别代两点的横坐标分别代表另外两个主应力表另外两个主应力 1 和和 3 A1A2 O C 1 3 1 =46MPa 该单元体的三个主应力该单元体的三个主应力 1 =46MPa 2 =20MPa 3 =-26MPa 根据上述主应力，作出三个应根据上述主应力，作出三个应力圆力圆MPamax3636 1. 1. 基本变形时的胡克定律基本变形时的胡克定律xxE Exxy xyx1 1）轴向拉压胡克定律）轴向拉压胡克定律横向变形横向变形2 2）纯剪切胡克定律）纯剪切胡克定律 G 7-8 7-8 广义胡克定律广义胡克定律2 2、三向应力状态的广义胡克定律、三向应力状态的广义

35、胡克定律叠加法叠加法23132111E12311()E2()E3()E 7-8 7-8 广义胡克定律广义胡克定律=+23132111E13221E21331E 7-8 7-8 广义胡克定律广义胡克定律)(1zyxxE Gxyxy 3 3、广义胡克定律的一般形式、广义胡克定律的一般形式)(1xzyyE )(1yxzzE Gyzyz Gzxzx x y z xy yx yz zy zx xz 7-8 7-8 广义胡克定律广义胡克定律 （1） 正应力正应力:拉应力为正拉应力为正, 压应力为负压应力为负1.1.符号规定符号规定 （2） 切应力切应力:对单元体内任一点取矩对单元体内任一点取矩,若若产生的

36、矩为顺时针产生的矩为顺时针,则则为正为正;反之为负反之为负 （3） 线应变线应变:以伸长为正以伸长为正, 缩短为负缩短为负; （4） 切应变切应变:使直角减者为正使直角减者为正, 增大者为负增大者为负. 7-8 7-8 广义胡克定律广义胡克定律 对于对于平面应力状态平面应力状态 （假设假设 z = 0, xz= 0, yz= 0）Gxyxy )(1yxxE )(1xyyE )(xyzE xyz xy x y yx x y xy yx二、各向同性材料的体积应变二、各向同性材料的体积应变123123 构件每单位体积的体积变化构件每单位体积的体积变化, 称为称为体积应变体积应变用用表示表示. 各向同

37、性材料各向同性材料在三向应力状态下的体在三向应力状态下的体积积应变：应变： 如图所示的单元体如图所示的单元体,三个边长为三个边长为 dx , dy , dz 变形后的边长分别为变形后的边长分别为 变形后单元体的体积为变形后单元体的体积为3213213211 dddddd)1(ddd dddddd)1(d)1(d)1(d zyxzyxzyxzyxzyxzyxVVV )(21321E )(13211E )(11322E )(12133E )(21321E )21(3 EK令令体积弹性模量体积弹性模量)(31321 m平均主应力平均主应力Km 则则体积胡克定律体积胡克定律相同相同相等的单元体之相等的

38、单元体之力之和有关，力之和有关，体积应变仅与三个主应体积应变仅与三个主应 )(321 单元体的体积应变单元体的体积应变)(21321)(21321mmmmEEE m m m1、三向等值应力单元体的体积应变、三向等值应力单元体的体积应变3321m )(21321E 1 2 3dxdydz 这两个单元体的体积应变相同这两个单元体的体积应变相同 m m m mmmm321211EE 单元体的三个主应变为单元体的三个主应变为 如果变形前单元体的三个棱边成某种比例如果变形前单元体的三个棱边成某种比例,由于三个棱边由于三个棱边应变相同应变相同,则变形后的三个棱边的长度仍保持这种比例则变形后的三个棱边的长度

39、仍保持这种比例. 所以所以在三向等值应力在三向等值应力 m的作用下的作用下,单元体变形后的单元体变形后的形状和形状和变形前变形前的的相相似似,称这样的称这样的单元体单元体是形状不变的。是形状不变的。2.纯剪切应力状态下的体积应变纯剪切应力状态下的体积应变 即在小变形下即在小变形下,切应力不引起各向同性材料的体积改变切应力不引起各向同性材料的体积改变.xy 3102 0 在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变只与三个线应在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变只与三个线应变变 x , y , z 有关有关,仿照上述推导有仿照上述推导有)(21zyxE 在任意形式的应力状态下在任意形式的应力状态

40、下, 各向同性材料内一点处的体积应各向同性材料内一点处的体积应变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正应力之和成正比变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正应力之和成正比, 而与切应力无关而与切应力无关.例例5-4 已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：别为： 1=240 10-6， 2=160 10-6，弹性模量，弹性模量E=210GPa，泊松，泊松比为比为 =0.3， 试求该点处的主应力及另一主应变试求该点处的主应力及另一主应变。03 : 自自由由面面上上解解所以，该点处的平面应力状态所以，该点处的平面应力状态12,)

41、(1)(1122211 vEvE由广义胡克定律由广义胡克定律,MPa3 .20)(1MPa3 .44)(112222121 vvEvvE669132103 .3410)3 .443 .22(102103 . 0E;MPa3 .20; 0;MPa3 .44321 334 2. 例例1 图a所示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变 t =350l06，若已知容器平均直径D=500 mm，壁厚=10 mm，容器材料的 E=210GPa，=0.25，试求:1.导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式；2.计算容器所受的内压力。pppx1mlpODxABy图

42、a1、轴向应力:(longitudinal stress)解：容器的环向和纵向应力表达式用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平衡方程42DpDmpp4pDm m mxD图bppp用纵截面将容器截开，受力如图c所示2、环向应力：(hoop stress)Dlplt22pDt3、求内压（以应力应变关系求之）241EpDEmttMPa36. 3)25. 02(5 . 01035001. 0102104 )2(469DEptt m外表面yp t tDd)d2(Dlpz图cO复杂应力状态的应变能密度复杂应力状态的应变能密度 V应变能密度应变能密度 用用vd 表示与单元体形状改变相应的那部分应变能密度

43、表示与单元体形状改变相应的那部分应变能密度,称为称为畸变能密度畸变能密度 用用vV 表示单元体体积改变相应的那部分应变能密度表示单元体体积改变相应的那部分应变能密度,称为称为体体积改变能密度积改变能密度应变能密度应变能密度v等于两部分之和等于两部分之和d V将广义胡克定律代入上式将广义胡克定律代入上式, 经整理得经整理得)(221133221232221E 332211,mmm令32131m 图（图（a）所示单元体的三个主应力不相等）所示单元体的三个主应力不相等,因而因而,变形后既发变形后既发生体积改变也发生形状改变生体积改变也发生形状改变. 图（图（b）所示单元体的三个主应力相等）所示单元体

44、的三个主应力相等,因而因而,变形后的形状与变形后的形状与原来的形状相似原来的形状相似,即只发生体积改变而无形状改变即只发生体积改变而无形状改变.adaa)()()( Vbb)()(V （a)mm（b)m123=+123（c)222222bbmmmmmm221231()()(2 ()23(1 2 )21 2()6Vm EEEba)()(VV )(21321E 图图 b 所示单元体的体积改变能密度所示单元体的体积改变能密度a单元体的应变能密度为单元体的应变能密度为a所示单元体的体积改变能密度所示单元体的体积改变能密度 )(221133221232221E 2321ba)(621)()(EVV 空间

45、应力状态下单元体的空间应力状态下单元体的 畸变能密度畸变能密度)()()(61213232221dEV (a) 1 2 3例例 用能量法证明三个弹性常数间的关系。Gv2212 纯剪单元体的应变能密度为：纯剪单元体应变能密度的主应力表示为： 312321232221221 Ev )(002)(02122 E21 E 12EG xyA13max,maxAFN（拉压）（拉压）maxmax WM（弯曲）（弯曲）（正应力强度条件）（正应力强度条件）*maxzzsbISF（弯曲）（弯曲）（扭转）（扭转）maxpWT（切应力强度条件）（切应力强度条件）max max 杆件基本变形下的强度条件杆件基本变形下的

46、强度条件7-11 7-11 四种常用强度理论四种常用强度理论 （2）材料的许用应力）材料的许用应力,是通过拉（压）试验或纯是通过拉（压）试验或纯剪剪试验测定试验测定试试件在破坏时其横截面上的极限应力件在破坏时其横截面上的极限应力,以此极限应力作为强度指以此极限应力作为强度指标标,除以适当的安全系数而得除以适当的安全系数而得,即根据相应的即根据相应的试验结果建立的强度试验结果建立的强度条件。条件。 上述强度条件具有如下特点上述强度条件具有如下特点（1）危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态；）危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态； 对于复杂应力状态，对于复杂应力状态， 因因 1、2、 3有任意

47、比值，不可能做有任意比值，不可能做所有情况的试验。另外，加载也有困难。所有情况的试验。另外，加载也有困难。max max 满足满足max max 是否强度就没有问题了？是否强度就没有问题了？7-11 7-11 四种常用强度理论四种常用强度理论强度理论：强度理论： 人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论。范围与实际相符合，上升为理论。 为了建立复杂应力状

48、态下的强度条件，而提出为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法。的关于材料破坏原因的假设及计算方法。7-11 7-11 四种常用强度理论四种常用强度理论 （1）脆性断裂）脆性断裂 :无明显的变形下突然断裂无明显的变形下突然断裂.二、材料破坏的两种类型（常温、静载荷）二、材料破坏的两种类型（常温、静载荷）屈服失效屈服失效(Yielding failure) 材料出现显著的塑性变形而丧失其正常的工作能力材料出现显著的塑性变形而丧失其正常的工作能力.2. 2. 断裂失效断裂失效(Fracture failure) （2）韧性断裂）韧性断裂 :产生大量塑性变形后断裂产

49、生大量塑性变形后断裂. 2.马里奥特关于变形过大引起破坏的论述马里奥特关于变形过大引起破坏的论述, ,是第二强度理论是第二强度理论的萌芽的萌芽; 3.杜奎特杜奎特(C.Duguet)(C.Duguet)提出了最大切应力理论提出了最大切应力理论; 4.麦克斯威尔最早提出了最大畸变能理论麦克斯威尔最早提出了最大畸变能理论, ,这是后来人们在这是后来人们在他的书信出版后才知道的他的书信出版后才知道的. .三、四个强度理论三、四个强度理论 1.伽利略播下了第一强度理论的种子伽利略播下了第一强度理论的种子; （1 1） 第一类强度理论第一类强度理论以脆断作为破坏的标志以脆断作为破坏的标志 包括包括:最大

50、拉应力理论和最大伸长线应变理论最大拉应力理论和最大伸长线应变理论 （2）第）第 二类强度理论二类强度理论以出现屈服现象作为破坏的标志以出现屈服现象作为破坏的标志 包括包括:最大切应力理论和形状改变比能理论最大切应力理论和形状改变比能理论1. 1. 最大拉应力理论最大拉应力理论（第一强度理论）（第一强度理论）7-11 7-11 四种常用强度理论四种常用强度理论 无论材料处于什么应力状态无论材料处于什么应力状态, ,只要发生脆性断裂只要发生脆性断裂, ,都是由于微元内的最大拉应力达到简单拉伸时的破都是由于微元内的最大拉应力达到简单拉伸时的破坏拉应力数值。坏拉应力数值。 b1 断裂条件断裂条件 nb

51、1强度条件强度条件最大拉应力理论（第一强度理论）最大拉应力理论（第一强度理论）铸铁拉伸铸铁拉伸铸铁扭转铸铁扭转7-11 7-11 四种常用强度理论四种常用强度理论 适用范围适用范围： 1.1.适用于脆性材料的拉伸、扭转；适用于脆性材料的拉伸、扭转； 2.2.适合三向拉伸（脆、塑性材料）。适合三向拉伸（脆、塑性材料）。 3.3.只突出只突出1而未考虑而未考虑2、 3的影响，并且对没有拉应力的状的影响，并且对没有拉应力的状态也无法应用。态也无法应用。 2.2.最大伸长线应变理论（第二强度理论最大伸长线应变理论（第二强度理论) ) 基本假说基本假说:最大伸长线应变最大伸长线应变 1 是引起材料脆断破

52、坏的是引起材料脆断破坏的因素因素. 脆断破坏的条件脆断破坏的条件:Eb1 最大伸长线应变最大伸长线应变:)(13211E 强度条件强度条件:)(321 适用范围适用范围：虽然考虑了：虽然考虑了2、 3的影响，它仅与石料、的影响，它仅与石料、混凝土等少数脆性材料的实验结果较符合。混凝土等少数脆性材料的实验结果较符合。此理论对于此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆性材料的断裂较符合，如一拉一压的二向应力状态的脆性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论更接近实际情况。铸铁受拉压比第一强度理论更接近实际情况。断裂准则断裂准则 :b321)( 1.1.最大切应力理论最大切应力理论 ( (第三强度理

53、论第三强度理论) ) 基本假说基本假说: 最大切应力最大切应力 max 是引起材料屈服的因素是引起材料屈服的因素. 根据根据:当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料就当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料就会沿最大切应力所在截面滑移而发生屈服失效会沿最大切应力所在截面滑移而发生屈服失效. 屈服条件屈服条件2smax 在复杂应力状态下一点处的最大切应力为在复杂应力状态下一点处的最大切应力为)(2131max 强度条件强度条件31 屈服准则屈服准则 :s31 s31 屈服条件屈服条件强度条件强度条件最大切应力理论（第三强度理论）最大切应力理论（第三强度理论）低碳钢拉伸低碳钢拉伸低碳钢扭

54、转低碳钢扭转 ss31n7-11 7-11 四种常用强度理论四种常用强度理论实验表明：实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生塑性变形或断裂的事实。塑性变形或断裂的事实。)0(max局限性：局限性： 2 2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象。、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象。1 1、未考虑、未考虑 的影响，试验证实最大影响达的影响，试验证实最大影响达15%15%。2最大切应力理论（第三强度理论）最大切应力理论（第三强度理论）7-11 7-11 四种常用强度理论四种常用强度理论 无论材料处于什么应力状态无论材料处于什么应力状态, ,只要发生屈服只要发生屈服, ,都是都是由于微元的最大形状改变比能达到一个极限值。由于微