复变函数第10讲

1、1复变函数复变函数第第10讲讲24 洛朗级数3一个以z0为中心的圆域内解析的函数f(z), 可以在该圆域内展开成z-z0的幂级数. 如果f(z)在z0处不解析, 则在z0的邻域内就不能用z-z0的幂级数来表示. 但是这种情况在实际问题中却经常遇到. 因此, 在本节中将讨论在以z0为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法.4讨论下列形式的级数:) 1 . 4 . 4(,)()()()()(001010100-nnnnnnnzzczzcczzczzczzc)3 . 4 . 4)(.)()()()2 . 4 . 4)()()()(010110001000负幂项部分正幂项部分-nnnnnnnnnnzzc

2、zzczzczzczzcczzc可将其分为两部分考虑5只有在正幂项和负幂项都收敛才认为(4.4.1)式收敛于它们的和.正幂项是一幂级数, 设它的收敛半径为R2, 对负幂项, 如果令z=(z-z0)-1, 就得到这是z的幂级数, 设收敛半径为R, 令R1=1/R, 则当|z-z0|R1时, zR, (4.4.4)收敛即(4.4.3)收敛,因此, 只有在R1|z-z0|R2的圆环域, 级数(4.4.1)才收敛. )4 . 4 . 4( ,)(221110-zzzccczzcnnnnnn6z0R1R27例如级数.|.|.|,|, 1)(01101处处发散时原级数当收敛圆环域时原级数在所以当时收敛则当

3、而正幂项级数时收敛即当中的负幂项级数为复常数与babzababzbzazzazazababzzannnnnnnnnnnnnn8幂级数在收敛圆内的许多性质, 级数(4.4.1)在收敛圆环域内也具有. 例如, 可以证明, 级数(4.4.1)在收敛域内其和函数是解析的, 而且可以逐项求积和逐项求导.现在反问, 在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成级数?先看下例.9.1|0)(,.11111)1 (1)(,1|0.1| 1|01|0,10)1 (1)(2数的内是可以展开为级在由此可见的情形先研究内都是解析的及在圆环域但都不解析及在函数-zzfzzzzzzzzzfzzzzzzzzfn10其次,在圆环域

4、:0|z-1|1内也可以展开为级数:-1212)1 ()1 ()1 (1)1 ()1 ()1 ()1 (1 11)1 (1111)1 (1)(nnzzzzzzzzzzzzzf111Oxy12定理 设f(z)在圆环域R1|z-z0|R2内解析, 则), 2, 1, 0(.d)()(21)()(100-nzficzzczfCnnnnnzzz其中C为在圆环域内绕z0的任何一条正向简单闭曲线.13证 设z为圆环域内的任一点, 在圆环域内作以z0为中心的正向圆周K1与K2, K2的半径R大于K1的半径r, 且使z在K1与K2之间.R1R2zrK1zRK2zz014由柯西积分公式得-00100022)()

5、()(21)(21,. 1,)(21)(21)(2212nnKnKKKzzdzfidzfizzzKzKdzfidzfizfzzzzzzzzzzzzzz可以推得和泰勒展开式一样内在上在对第一个积分15,)()(1)()(1111. 1,.d)(211010101000000122-nnnnnnKzzzzzzzzzzzzzzzKzKzfizzzzzzzzz因此的外部在点上在由于第二个积分1610,|.d)()()(21)(),()(d)()(21d)(2100001011010111- -qzzrzzzqzzfzizRzRzzzfizfiKNnnnNNNnnKnK则令其中zzzzzzzzzz17因

6、此有, 0)(lim, 0lim.| )(|.1221d| )(|21| )(|111100001- zRqKzfMqqMrqrMszzzzfzRNNNNNNnnKnnN所以因为上的最大值在是zzz18)7 . 4 . 4(), 2 , 1( ,d)()(21)6 . 4 . 4(), 2 , 1 , 0( ,d)()(21)5 . 4 . 4(,)()()()(12101001000-nzficnzficzzczzczzczfKnnKnnnnnnnnnnnzzzzzz因此19级数(4.4.5)的系数由不同的式子(4.4.6)与(4.4.7) 表出. 如果在圆环域内取绕z0的任何一条正向简单闭

7、曲线C, 则根据闭路变形原理, 这两个式子可用一个式子来表示:)8 . 4 . 4(), 2, 1, 0( ,d)()(2110-nzficCnnzzz20Cz0R1R221(4.4.5)称为函数f(z)在以z0为中心的圆环域:R1|z-z0|R2内的洛朗(Laurent)展开式, 它右端的级数称为f(z)在此圆环域内的洛朗级数. 级数中正整次幂和负整次幂分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分.)8 . 4 . 4( ), 2, 1, 0( ,d)()(21)5 . 4 . 4(,)()(100-nzficzzczfCnnnnnzzz22一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂项的级数是唯一

8、的, 这个级数就是f(z)的洛朗级数.事实上, 假定f(z)在圆环域R1|z-z0|R2内用某种方法展成了由正负幂项组成的级数:-nnnnnnzafCCzzazf)()(,)()(00zzz则上一点为条正向简单闭曲线为圆环域内任何并设23以(z-z0)-p-1去乘上式两边, 这里p为任一整数, 并沿C沿分, 得), 2, 1, 0( ,d)()(212d)(d)()(101010-pzfiaiazazfCpppnCpnnCpzzzzzzzz从而这就是(4.4.8)-nnnzaf)()(0zz24用(4.4.8)计算cn要求环积分, 过于麻烦, 因此一般不用. 一般是根据由正负整次幂项组成的级数

9、的唯一性, 可以用别的方法, 特别是代数运算, 代换, 求导和积分等方法去展开, 以求得洛朗级数的展开式.例如:)|0(,! 41! 312111)! 4! 321 (1e2243222zzzzzzzzzzzz25例1 函数 在圆环域i)0|z|1;ii)1|z|2;iii)2|z|+;内是处处解析的, 试把f(z)在这些区域内展开成洛朗级数.)2)(1(1)(-zzzfxyO1xyO12xyO226解 先把f(z)用部分分式表示:.87432122121)1 (2112111)(1|0i).2111)(2222-zzzzzzzzzfzzzzf内在27ii) 在1|z|2内.842111122

10、121)111 (12112111112111)(21222-zzzzzzzzzzzzzzzzfnn28iii) 在2|z|+内.731)421 (1)111 (1211111112111)(43222-zzzzzzzzzzzzzzzzf29例2 把函数.|0e)(13内展开成洛朗级数在zzzfz.! 41! 31! 2)! 41! 31! 2111 (e! 3! 21e2343231332zzzzzzzzzznzzzzznz解 因有3031还应注意, 给定了函数f(z)与复平面内一点z0以后, 由于这个函数可以在以z0为中心的(由奇点隔开的)不同圆环域内解析, 因而在各个不同的圆环域中有不同

11、的洛朗展开式(包括泰勒展开式作为它的特例). 我们不要把这种情形与洛朗展开式的唯一性相混淆. 我们知道, 所谓洛朗展开式的唯一性, 是指函数在某一个给定的圆环域内的洛朗展开式是唯一的. 另外, 在展开式的收敛圆环域的内圆周上有f(z)的奇点, 外圆周上也有f(z)的奇点, 或者外圆周的半径为无穷大.32例如函数12( )()if zz zi-在复平面内有两个奇点: z=0与z-i, 分别在以i为中心的圆周: |z-i|=1与|z-i|=2上.O-ii33因此, f(z)在以i为中心的圆环域(包括圆域)内的展开式有三个:1)在|z-i|1中的泰勒展开式;2)在1|z-i|2中的洛朗展开式;3)在2|z-i|+中的洛朗展开式;O-ii34在公式(4.4.8)中, 令n-1, 得11( )d2Ccf zzi-或1( )d2Cf zzic-其中C为圆环域R1|z-z0|R2内的任何一条简单闭曲线, f(z)