高等数学2-3高阶导数隐函数求导

1、问题问题: :变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度.),(tss 设设)()(tstv 则瞬时速度为则瞬时速度为是是加加速速度度a )(ta高阶导数也是由实高阶导数也是由实际需要而引入的际需要而引入的.这就是二阶导数的物理意义这就是二阶导数的物理意义)(tv )(ts 的变化率的变化率对时间对时间速度速度tv一、高阶导数的定义一、高阶导数的定义的的的的导导数数称称为为将将)()(xfxf 二阶导数二阶导数. .记作记作),(xf 22ddxy.d)(d22xxf或或,y 记作记作阶导数阶导数的的函数函数阶导数的导数称为阶导数的导数称为的的函数函数一般地一般地,)(1)(,nxfnxf .)

2、(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.,),(33dxydyxf 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,.,),(44)4()4(dxydyxf注意：注意：（1）)()()0(xfxf )()()1(xfxf 的导数都存在。的导数都存在。阶阶所有低于所有低于存在，则存在，则若若nxfxfn)()()2()(二、二、 高阶导数求法举例高阶导数求法举例例例1 1直接法直接法: :由高阶导数的定义逐步求高阶导数由高阶导数的定义逐步求高阶导数

3、.求下列函数二阶导数。求下列函数二阶导数。xy sin)1()1ln()2(2xy xxyarctan)1()3(2 的的二二阶阶导导数数。二二阶阶可可导导，求求：设设例例)(ln)(22xfxyxf 解：解：xxfxxxfy1)(ln)(ln22 )(ln)(ln2xfxxxf )(ln)(ln2 xfxxxfyxxfxxfxxfxxf1)(ln)(ln1)(ln2)(ln2 )(ln)(ln)(ln2)(ln2xfxfxfxf 例例3 3.),()(nyRxy求求设设 解解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn则则若若,n )(

4、)()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 )(0)(!)()1()1()()(nnnnxnxnn )6(5)(x例如：例如：0 )3(23)156(xxx6! 3 ,)(ln3aayx 例例5 设设求求解解:,xay .)(ny,lnaayx ,)(ln2aayx nxnaay)(ln)( 例例4 4.,)(nxyey求求设设 解解,xey ,xey ,xey .)()(xnxee 例例6 6.,sin)(nyxy求求设设 解解)2sin()2sin(cos xxxy)2sin( x)sin(sin xxy)22sin( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()

5、( nxyn)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得几个常用高阶导数公式几个常用高阶导数公式)2sin()(sin)3()( nxxn)2cos()(cos)4()( nxxn)0(ln)()1()( aaaanxnxxnxee )()( )(0)(!)()1()1()()2()(nnnnxnxnn31xy二、隐函数的导数二、隐函数的导数若由方程若由方程0),(yxF可确定可确定 y 是是 x 的函数的函数 ,由由)(xfy 表示的函数表示的函数 , 称为称为显函数显函数 .例如例如,013 yx可确定显函数可确定显函数03275xxyy可确定可确定 y 是是 x 的函数的函数 ,

6、但此但此隐函数隐函数不能显化不能显化 .函数为函数为隐函数隐函数 .则称此则称此隐函数隐函数求导方法求导方法: 0),(yxF0),(ddyxFx两边对两边对 x 求导求导( 注意注意 y = y(x) )(含导数含导数 的方程的方程)y例例1. 求由方程求由方程03275xxyy)(xyy 在 x = 0 处的导数.0ddxxy解解: 方程两边对方程两边对 x 求导求导)32(dd75xxyyx得得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因因 x = 0 时时 y = 0 , 故故210ddxxy0确定的隐函数例例2. 求椭圆求椭圆191622yx在点)3,2(23处的

7、切线方程.解解: 椭圆方程两边对椭圆方程两边对 x 求导求导8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切线方程为故切线方程为323y43)2( x即即03843 yx 虽然隐函数没解出来虽然隐函数没解出来,但它的导数求出来但它的导数求出来了了,当然结果中仍含有变量当然结果中仍含有变量y.允许在允许在 的表达式中含有变量的表达式中含有变量y.y y 一般来说一般来说,隐函数隐函数求导求导, 求求隐函数的导数时隐函数的导数时,只要记住只要记住x是自变量是自变量,将方程两边同时对将方程两边同时对x求导求导,就得到一个含有导数就得到一个含有导数从中解出即可从中解出即可.于是于是y的函数便

8、是的函数便是x的复合函数的复合函数,的方程的方程.y是是x的函数的函数,练习练习解解, 0sin yxey设设.dxdy求求利用利用隐函数求导法隐函数求导法.将方程两边对将方程两边对x求导求导,得得ycosyye 1yex y0 yyxeyeycos解出解出,y得得3. 对数求导法对数求导法作为隐函数求导法的一个简单应用作为隐函数求导法的一个简单应用, 介绍介绍(1) 许多因子相乘除、乘方、开方的函数许多因子相乘除、乘方、开方的函数.,)4(1)1(23xexxxy 如如对数求导法对数求导法,它可以利用对数性质使某些函数的它可以利用对数性质使某些函数的求导变得更为简单求导变得更为简单. 适用于

9、适用于方方 法法先在方程两边取对数先在方程两边取对数, -对数求导法对数求导法 然后利用隐函数的然后利用隐函数的求导法求出导数求导法求出导数.例例解解 yln求导得求导得上式两边对上式两边对 xy1.,)4(1)1(23yexxxyx 求求设设142)1(3111 xxxy 等式两边取对数得等式两边取对数得 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx)1ln( xx )1ln(31 x)4ln(2 x 隐函数隐函数有些显函数用对数求导法很方便有些显函数用对数求导法很方便. .例如例如, ,)1,0,0( babaaxxbbaybax两边取对数两边取对数 yln两边对两边对x求导

10、求导 yybalnxa xbxabaaxxbbaybaxln baxln lnlnxbalnlnaxb bx)(xu)()()()(ln)()()(xuxuxvxuxvxuyxv )(ln)(lnxuxvy 两边对两边对x求导得求导得y y)(xv)0)( xu等式两边取对数得等式两边取对数得( )( ) ln ( )( )( )u xv xu xv xu xy .)()2()(xvxu幂指函数幂指函数.sin xxy 如如例例解解.),0(sinyxxyx 求求设设xxylnsinln 求导得求导得上式两边对上式两边对xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )

11、sinln(cossinxxxxxx 等式两边取对数得等式两边取对数得.,yyxxy 求求设设解解,lnlnyxxy ,lnlnyyxyxyxy .lnln22xxxyyyxyy 例题例题等式两边取对数得等式两边取对数得求导得求导得上式两边对上式两边对x三、由参数方程所确定的函数的导数三、由参数方程所确定的函数的导数 )()(tytx 若参数方程若参数方程如如 ,22tytx2xt 2ty42x xy21 t 称此为由称此为由参数方程所确定的函数参数方程所确定的函数.22 x消去参数消去参数yx确定 与 的函数关系函数关系xydd)()(tt dtdxdtdyxy dd即即所确定函数的导数为所确定函数的导数为参数方程参数方程 )()(tytx 消参数困难或无法消参数消参数困难或无法消参数 如何求导如何求导. )cos1()sin(tayttax例如例如（参数方程所确定函数的二阶导公式不需掌握。）（参数方程所确定函数的二阶导公式不需掌握。）例例解解txtyxydddddd ttcos1sin taatacossin 2cos12sindd2 txy. 1 处的导数。处的导数。所确定函数在所确定函数在求由求由2)cos1()sin( ttayttax四、小结四、小结隐函数求导法则隐函数求导法则对数求