高等数学 一阶微分方程

1、1的微分方程的微分方程, 称为称为可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.2.解法解法1. 定义定义分离变量分离变量6.2.1 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程)()(ddyxxy 6.2 一阶微分方程一阶微分方程0d)()(d)()(2121 yyNxNxyMxM或或可化为形如可化为形如, 0)( y 设设.,)(),(的的连连续续函函数数分分别别是是其其中中yxyx xxyyd)()(d 2求得求得积分后积分后, 即得原即得原微分方程的通解微分方程的通解两端积分两端积分,d)()(d xxyy CxFyG )()(注意注意: 如果如果 .)()(1)(),(的的一一个个原原函函数

2、数和和分分别别是是其其中中xyxFyG ,0)(0yyy 有有零零点点 , 0)(0 y 即即则常函数则常函数 也是方程的一个解也是方程的一个解. 0yy 这样的解并没有包含在通解之中这样的解并没有包含在通解之中, 称之为称之为奇解奇解. 3xyxy2dd 解解分离变量得分离变量得,d2dxxyy 两端积分两端积分)(,ln112是任意常数是任意常数CCxy ,2112xCCxeeey ,d2d xxyy,0时时当当 y得得从而从而, 01 CeC令令.2xCey 则则故原方程的通解为故原方程的通解为 而而 也是方程的一个解也是方程的一个解. 0 y).( ,2是任意常数是任意常数CCeyx

3、例例 求微分方程求微分方程 的通解的通解.4例例 求方程求方程 的通解的通解.0d)1(d)1(22 yxyxyx解解 分离变量分离变量xxxyyyd1d122 两端积分两端积分 yyyd12)1ln(21)1ln(2122xy )1(ln)1ln(22xCy )1(122xCy 为方程的通解为方程的通解.C为正常数为正常数.Cln21 xxxd12多数情况下，微分方程的解只能用隐函数的形式多数情况下，微分方程的解只能用隐函数的形式给出，称之为方程的隐式解。给出，称之为方程的隐式解。5解解xxyyyd1dln1 xxyyd1lndln1Cxylnlnlnln Cxln Cxy lnCxey 通

4、解为通解为.ln 的通解的通解求方程求方程yyyx C为任意常数为任意常数. .P18 1(1)6解解 先求其通解先求其通解, 分离变量分离变量, 得得两端积分两端积分, 得得例例 求解定解问题求解定解问题( (初值问题初值问题) ): 1)0(212yyy)1( ,d21d112 yxyy12111ln21Cxyy 整理得整理得,111122xCCxeeeyy ,12CeC 记记).( ,11是任意常数是任意常数CCeCeyxx 原原方程的通解为方程的通解为7注意注意:, 0 C得特解得特解 , 1 y, C得特解得特解 . 1 y,0代入通解代入通解将将 x, 0 C得得于是所求定解问题的

5、特解为于是所求定解问题的特解为 . 1 y8的一阶微分方程的一阶微分方程, 称为称为齐次方程齐次方程.1. 定义定义6.2.2 齐次方程齐次方程2222ddyxyxxyyxy 222.1yyxxyyxx 例如例如, 方程方程可化成可化成是齐次方程是齐次方程.可化为形如可化为形如 xyxy dd.)(是是连连续续函函数数其其中中u yyxyxxxyyd)(d)2(222 9分离变量分离变量, 得得两端积分两端积分2. 解法解法,xyu 作变量代换作变量代换代入原代入原方程方程, 得得求得求得积分后再将积分后再将 代入代入, 即得原即得原方程的通解方程的通解.yux 化为可分离变量的方程化为可分离

6、变量的方程.xuy 即即.)(ddxuuxu 即即,ddddxuxuxy ),(dduxuxu ,d)(dxxuuu xxuuud)(d 则则10，令令xyu 解解 原方程可化为原方程可化为是齐次方程是齐次方程.代入原代入原方程方程得得，则则uxuxxy dddd)0( ,12 xxyxyy，uuuxux 21dd有有时时当当,1 u，xxuud1d2 两端积分两端积分, 得得，xCulnarcsin1 例例 求微分方程求微分方程 的通解的通解.)0( ,22 xyyxyx11解解得原方程的通解为得原方程的通解为.dddduyuyyx 则则，令令)(yuyx 即即)0(arcsinarcsin

7、1 CCeeexuuC，也是原方程的解也是原方程的解,1 u又又将将 代入代入, yux )0, 0(arcsin CxCexxy，及及).0( , xxy例例 解方程解方程. 0d12d21 yyxexeyxyx12分离变量分离变量, 得得两端积分两端积分将将 代入，得原代入，得原方程的通解方程的通解xuy 2.xyxyeCy代入原代入原方程方程得得.2Cyexyx 或或, 0)1(2dd)21( ueyuyueuu, 0dd221 yyueueuu,d2)2(d1Cyyeueuuu Ceuyu )2(13.tan xyxyy 求求解解方方程程uudxduxutan ,uxyuxy 则则令令

8、解解xdxduuu sincos :分离变量得分离变量得)0(sin u,dxduxudxdy Cxulnlnsinln: 积积分分得得,sinxCu ,sinCxxy 原方程的通解：原方程的通解：.)(为为任任意意常常数数其其中中C14求微分方程的通解求微分方程的通解. 0cos)cos( dyxyxdxxyyx，令令xyu ，则则udxxdudy , 0)(cos)cos( xduudxuxdxuuxx,cosxdxudu ,lnsinCxu .lnsinCxxy 微分方程的通解为微分方程的通解为解解15解方程解方程.0)2()(22 dyxyxdxyxy解解)/(21)/()/(2222

9、2xyxyxyxyxyxydxdy 则则，令令uxy uuuudxdux212 duuuxdx221 分分离离变变量量两边积分两边积分 duuux221ln) 0( u16xCuu12lnln1 即得即得 xCeuu112 而而 ，故原方程的通解为故原方程的通解为xyu xCeyyx 21lnln21lnCuux )0(1 C)00(1 uC对对应应.)(为为任任意意常常数数其其中中C17称为称为一阶线性一阶线性非齐次非齐次微分方程微分方程.称为称为一阶线性一阶线性齐次齐次微分方程微分方程.6.2.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程1. 定义定义 未知函数及其导数都是一次的一阶微分方程未知函

10、数及其导数都是一次的一阶微分方程0)(dd yxpxy得得当当, 0)( xq)(),(是是连连续续函函数数xqxp通常称此齐次方程是上述非齐次方程所通常称此齐次方程是上述非齐次方程所对应的对应的齐齐次方程次方程 )()(ddxqyxpxy 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式线性线性一阶一阶18容易验证：解的结构：容易验证：解的结构：一、如果一、如果 是非齐次方程的解是非齐次方程的解,则它则它们的差是对应齐次方程的解。们的差是对应齐次方程的解。)(),(21xyxy结论结论:非齐次非齐次方程的通解等于对应齐次方程的通方程的通解等于对应齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解解加

11、上非齐次方程的一个特解. 二、如果二、如果 分别是非齐次方程和齐次方分别是非齐次方程和齐次方程的解程的解, )(),(21xyxy则则 是非齐次方程是非齐次方程 的解的解. )()(21xyxy 19. 0)(dd yxpxy,d)(dxxpyy xxpyyd)(d齐次方程的通解为齐次方程的通解为(1) 先解线性齐次方程先解线性齐次方程使用分离变量法使用分离变量法2. 解法解法,lnd)(lnCxxpy .d)( xxpCey积分积分, 得得20(2) 再解线性非齐次方程再解线性非齐次方程).()(ddxqyxpxy 设非齐次方程通解形式为设非齐次方程通解形式为 把齐次方程通解中的常数变易为待

12、定函数的把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法方法, 称为称为常数变易法常数变易法.)()()(d)(d)(xpexCexCyxxpxxp 待定函数待定函数 xxpeyd)()(xC21代代入入原原方方程程得得和和将将yy 积分得积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为)()(d)(xqexCxxp CxexqxCxxp d)()(d)(或或d)(d)(d)(Cxexqeyxxpxxp xxpCeyd)(非齐次方程的一个特解非齐次方程的一个特解对应齐次对应齐次方程通解方程通解xexqexxpxxpd)(d)(d)( 2225)1(12dd xxyxy解解 此方程为

13、一阶线性方程此方程为一阶线性方程(1) 先求对应的齐次方程先求对应的齐次方程, 012dd xyxy分离变量为分离变量为 )0(,1d2d yxxyy积分积分, 得得,ln)1ln(2lnCxy 对应的齐次方程通解为对应的齐次方程通解为.)1(2 xCy例例 求微分方程求微分方程 的通解的通解.23（2）设原非齐次方程通解为）设原非齐次方程通解为,)1)(2 xxCy代入原方程代入原方程, 得得积分积分, 得得, )1()( xxC故故, 原方程通解为原方程通解为,)1(32)(23CxxC 272)1(32)1( xxCy24解法解法1分离变量分离变量两边积分两边积分, cos)( 的解的解

14、设非齐次方程有形如设非齐次方程有形如xxCy 例例 求解微分方程求解微分方程 的通解的通解xxxyxycos2tandd 则则)sin()(cos)(xxCxxC ,2)(xxC 所以方程的通解为：所以方程的通解为：C.xxC 2)(取取,lncoslnlnCxy .cos xCy 先求对应齐次方程先求对应齐次方程 的通解的通解0tandd xyxyxxyyd tand1 xCxycos)(2 1.2.xxcos2 xxxCtancos)( 25例例 求解微分方程求解微分方程 的通解的通解xxxyxycos2tandd 所以方程的通解为：所以方程的通解为：xCxycos)(2 ,tan)(xx

15、p .cos2)(xxxq xxeyd tanxcos 解法解法2 这是这是一阶线性非齐次方程一阶线性非齐次方程, 其中其中 cos2 xx xxed tanxdC xCxcos)(2 xecosln cos2 xxxexdcosln C cos2 xxxxdcos1 C d)(d)(d)(Cxexqeyxxpxxp 26.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxp ,sin)(xxxq xxeyd1 Cxxxdsin1 Cxx cos1解解例例一阶线性非一阶线性非齐次方程齐次方程 xxsin xxed1xdC d)(d)(d)(Cxexqeyxxpxxp 27解初值问题解初值

16、问题: 10cos2)1(02xyxxyyx解解 将方程写为将方程写为1cos1222 xxyxxy)(xp)sin(112xCx 由初始条件由初始条件10 xy特解特解21sin1xxy )(xq, 1 C一阶非齐次线性方程一阶非齐次线性方程 Cxexxeyxxxxxxd1cosd122d1222d)(d)(d)(Cxexqeyxxpxxp 28例例 解方程解方程0d)ln(dln yyxxyy若将方程写成若将方程写成yxyyxylnlndd 则它既不是线性方程则它既不是线性方程,又不能分离变量又不能分离变量.若将方程写成若将方程写成yyyxyxlnlndd yxyy1ln1 以以x为为未知

17、函数未知函数, 即即yxyyyx1ln1dd 一阶线性非齐次方程一阶线性非齐次方程.分析分析y 为为自变量自变量的的290d)ln(dln yyxxyy Cyeyexyyyyyyd1dln1dln1 Cyyyydln1ln1yCylnln21 此外此外, y = 1也是原方程的解也是原方程的解.解解yxyyyx1ln1dd )(yp)(yqd)(d)(d)(Cxexqeyxxpxxp 30解解 原方程可化为原方程可化为设设.)(,2)(yyqyyp 22ddyxyxy ,2ddyxyyx 原方程通解为原方程通解为d)(d)(d)(Cyeyqexyypyyp dd2d2Cyeyeyyyy .ln

18、2yCyx 即即例例 求微分方程求微分方程 的通解的通解.31)(xq)(xP的的通通解解为为微微分分方方程程xxyycostan 解解 y 这是典型的一阶线性方程这是典型的一阶线性方程.分析分析 由通解公式有由通解公式有 CxexeyxxxxdcosdtandtanxCxcos)( xCxcos)( 32的微分方程的微分方程, 称为称为伯努利方程伯努利方程.,1 nyz 令令*6.2.4 伯努利方程伯努利方程1. 定义定义2.解法解法 通过变量代换化为线性微分方程通过变量代换化为线性微分方程.形如形如)66()1 , 0( ,)()(dd nyxqyxpxyn)()(dd1xqyxpxyynn 方程的两边除方程的两边除 得得,ny,)1(yynzn 则则代入原方程整理得代入原方程整理得)1)()()1(ddnxqzxpnxz 即得伯努利方程的通解即得