材料力学截面的几何性质

1、第四章 截面的几何性质 概述： 讨论的问题：介绍与截面形状和尺寸有关的几何量(静矩、惯性矩、惯性积）的定义及计算方法；平行移轴公式，转轴公式等。 在实际工程中发现，同样的材料，同截面积，由于横截面的形状不同，构件的强度、刚度有明显不同，如一张纸（或作业本），两端放在铅笔上，明显弯曲，更不能承载东西了.但把同一张纸折成波浪状（象石棉瓦状） ，这时纸的两端再搁在铅笔上，不仅不弯曲，再放上一支铅笔,也不弯曲.可见,材料截面的几何形状对强度、刚度是有一定影响的，研究截面几何性质的目的就是解材料力学截面的几何性质决如何用最少的材料，制造出能承担较大荷载的杆件的问题的. 41 截面的静矩和形心截面的静矩和

2、形心 一、静矩的定义 设平面图形，取zoy坐标系，取面积元dA，坐标为（z,y），整个截面对z、y轴的静矩为： 整个截面对z轴的静矩； 整个截面对y轴的静矩；dAyczcyzczooAyzdAsydA材料力学截面的几何性质 若将 理解为垂直于纸面的力， 便是对z轴的力矩， 则为对z轴的合力矩，故称为面积矩。 若形心坐标为 ，静矩也可写成： 性质： 1、同一截面对不同轴的静矩亦不同；静矩可以是正、可以是负或零； 2、单位： ； 3、当坐标轴原点过形心， ；yzs ccyz,ASyASzzcyc,cyA czAdA0, 0 yzccssyzydA33, cmmm0yxss材料力学截面的几何性质 反

3、之，若 ，坐标轴原点必过截面形心。 二、形心位置的计算二、形心位置的计算 形心位置： 对面积连续分布的（非组合图形）图形：AydAAsyAzdAAszAzcAyciiiciiciiiiccAAyyAAzzicyA 材料力学截面的几何性质 对组合图形：；iiciyAzSiciizAys个分图形的形心坐标；第、个分图形的面积；第iyziAciciiyxss,材料力学截面的几何性质 例1，求四分之一圆截面对z,y轴的形心位置 解：取如图示的坐标系, 先求dyz yydAsAz dR2320cossin33R344323RRRAsyzcdyRdzy z zdAsAz czooAyzdAsczdzdRd

4、yRyRzcossincosdzy z zdAsAz czooAyzdAscz dRRR sinsincos 材料力学截面的几何性质dRo232sincos34 RAszyc233sin31oR,5027022mmA材料力学截面的几何性质 三、组合截面的静矩 例1：如图由两个矩形截面组合成的T形截面，y轴为对称轴， 对z，y轴的静矩。 解：因为是组合图形,又关于轴对称， 故有：）；，（0021zzAzSiiciy2211AyAyAysiciiz, )(10625. 2350270302270303001525mm ,3030021mmA50300czoAyzdAs30270材料力学截面的几何性

5、质 4-2 惯性矩和惯性积惯性矩和惯性积 一、惯性矩的定义 -面积对坐标轴的二次矩. 设一平面图形，取一元面积 ，坐 标为(z,y)，距原点的距离为 ，方位 角为 ，定义： 平面图形对z,y轴的惯性积;而 y;2 dAyIAz;2dAzIAyzydAIAzydAIdAdAyzIIAAAyz2222定义：.极惯性矩yczyzII、czooAyzdAs;2 dAyIAzyzII、材料力学截面的几何性质 二、性质 1、 恒为正， 可正、可负、也可以为零，其正负值与坐标轴的位置有关。 2、单位：（长度）4； 例4-4 ： 计算直径为d的圆截面对形心轴z,y的惯性矩和惯性积。 解：用平面极坐标zyIdA

6、yIAz2 dddoo 2222sinddodo2232sin dod）、 yz (）、（yzdd2cos1214120204cz).,(rdddA .cos;sinzydA446424dd4641dIIyz材料力学截面的几何性质 由于对称： 极惯性矩：对过形心的一对轴的惯性积 因坐标轴是对称轴，如对左右的 （如上图）， 结论：截面如有一根对称轴，则截面对这根轴与另一根与之垂直的轴的 .432122dIIIIIyzyz0sincos22 ddzydAIodozy0ydAzzydA446424dd0zyI3121bhIz材料力学截面的几何性质 对矩形截面，过形心轴的惯性矩： 若为组合图形，对z轴

7、，y轴的惯性矩： 因 , 元面积对z轴的惯性矩就等于将各元面积对z轴的惯性矩求和，因质量连续分布，求和则为积分。3121hbIybczhoAyzdAsziizII，yiiyIIdAyIz2，yzyzIIIIIII2221材料力学截面的几何性质 应用于圆环的情形,可看成两个圆形截面， .16432322124444DdDdDIIIyz式中的），（zzIAr2其他如表4.1.材料力学截面的几何性质 *惯性半径（回转半径）的概念： 如以r表示某一截面对某轴的惯性半径，定义 例43中的矩形截面：AIrzzyyIAr2AIryyhhhh bbhAIrzz289. 03212123Azryrcz.zyIo

8、AyzdAsczhoAyzdAsziizII材料力学截面的几何性质 补充例子：试计算圆弧右上方阴影部分面积的惯性积 解：因为惯性矩与惯性积等于各微 元面积的惯性矩或惯性积之和， 所 以 rzyABCDzyzyIIIrBczoCzrD.884444rrrIzy;8212104220000200222222ryrryrryrArrzyrdyyrydyzyzdzydyyzdydzyzdAI）（;4040 rrAABCDzyrzydydzzydAIzyyzIII,材料力学截面的几何性质 4-3惯性矩和惯性积的平行移轴公式惯性矩和惯性积的平行移轴公式 一、公式 如图示：任一平面过形心c的坐标系 ，截面对

9、该轴的为 ,与 平行的坐标系为 ，截面对该 轴的为 由图知： , zoycyczahczoo o z yy o z yy o z c.y zyzIII、zbzyay dAbzdAzIAAy22 dAbzbdAdAzAAA222AbIy20AbIIyy2y材料力学截面的几何性质 结论：截面对与形心轴平行的任意 轴 的惯性矩等于截面对过形心轴y 的惯性矩加上 . 同理可得： 平行移轴定理：截面对平行于形心轴的其它任意轴平行移轴定理：截面对平行于形心轴的其它任意轴的惯性矩等于该截面对形心轴的惯性矩加上其面积乘以的惯性矩等于该截面对形心轴的惯性矩加上其面积乘以两轴之间距离的平方。两轴之间距离的平方。A

10、b2AaIIzz2 dAaybzdAy zIAy z dAabbydAzadAzydAAAAAAbaIccyz00AabIIccyzyzyzyzIII,材料力学截面的几何性质 意义:提供了计算平面图形对平行于形心轴的其它轴的 的方法;也可反算对形心轴的惯性矩及惯性积。 例子: 求矩形截面对边界轴z 轴的惯 性矩和截面对z轴的惯性半径. 解： 123bhIzhbhIIzz2233331412bhbhbh.289. 0321577. 033313hhrhhhbbhAIrzzzczhoziizIIa yy o z ziyiizyyiiyziizIIIIII,材料力学截面的几何性质二、组合截面的惯性矩

11、及惯性积公式: 例子:求下平面图形的 解：图由一个矩形和两个半圆组成,设矩形 的惯性矩为 ，每个半圆的为 , 半圆对过形心 轴的惯性矩 ,1zI312121adIz4731033. 512100280mmcz422726492dIcz?zI2zI1002 a4080dczoa32 d47221047. 332822mmdadIIczz 80d422726492dIcz材料力学截面的几何性质 所以4810227. 1(221mmIIIzzz）两个半圆的材料力学截面的几何性质 45 惯性矩和惯性积的转轴公式惯性矩和惯性积的转轴公式 讨论的问题：两组坐标系共原点，且旋转了一角度 ，平面对这两组坐标系

12、的惯性矩或惯性积之间的关系。 如图： 相对 转过一角度 , 平面对 坐标系的 与对 的 之间的关系- 11oyzzyyzIII,1111,yzyzIII11oyzoyz,zyIzyyzIII,zyI材料力学截面的几何性质 概念： 一、主惯性轴与主惯性矩 定义：截面对一对坐标轴的惯性积为零，则这一对坐标轴称为主惯性轴，截面对主惯性轴的惯性矩即为主惯性矩。 二、形心主惯性轴和主惯性矩 定义：截面对过形心的一对坐标轴（互相垂直）的惯性积为零，则这一对轴称为形心主惯性轴，平面对形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。 由上知要确定形心惯性轴，必须先求 再令其为零。为方便，先求平面对 z、y轴的 由此计算

13、相对它转过一个角度 的 。, ,zyyzIII1111111,yzyzzyyzIIIyozIIIzoy坐标系的平面对坐标系的为设平面对oyz11oyz材料力学截面的几何性质转轴公式的推导： 面元 的坐标（z、y）与 二者之间的关系为： 11,yzyBDoEocz1sincosyzsincos1xy y EBCDADdAzydAyIAAz221sincos1 材料力学截面的几何性质同理有dAzydAzdAyAAAsincos2sincos2222 zydAdAzdAyAAAcossin2sincos2222zyyzIIIcossin2sincos22zyzyAyIIIdAzIcossin2sin

14、cos22211yzzyzyAyzIIIIdAyzIcossincossinsincos2211112sincossin22cos121sin2cos121cos22材料力学截面的几何性质 利用转轴公式2cos2sin22sin2cos222sin2cos221111zyyzyzzyyzyzyzyyzyzzIIIIIIIIIIIIIIII1zI材料力学截面的几何性质 将 与 相加得： 结论：平面对同一原点的不同的一组互相垂直的坐标轴的惯性矩之和是一常数。 三、主惯性轴及主惯性矩的求解- 由 求解： 即 因 在 内变化， 不同对应不同的坐标系，从而有不同的 ，其中必有一对值最大,对惯性轴的惯性矩

15、最大。1yI常数 yzyzI I I I11011yzI02cos2sin200zyyzIIIyzzyIIItg2202011oyzyzII,11oyz01材料力学截面的几何性质 可由 及 确定.且因 ,其中1个极大，1个为极小。 在 内有两个 值满足上式， 的具体确定： （1）先设一角度 （2）再由分子 及 的正负，判断 在哪一个象限;如: ;011ddIz011ddIy1cIIyz112000yzzyIIItg2即yzzyIIItg2即;2 dAyIAzzyI2yzII 02002 ,2 , 0, 02在第一象限yzzyI II1802 ,2 , 0, 0200在第二象限yzzyIII材料

16、力学截面的几何性质 ; ; ; 确定了 后，再将 代入式411中求得对主惯性轴的主惯性矩 （极大）1802 ,2 , 0, 0200在第三象限yzzyIII002 ,2 , 0, 02在第四象限yzzyIII2222zyyzyzzoIIIIIIyzzyIIItg2即yzzyIIItg2即极小2222zyyzyzyoIIIIII02002122sintgtg材料力学截面的几何性质 说明：主轴的惯性矩是图形对一点的所有坐标轴惯性矩中的极大值和极小值。 证明： 利用 ，0202112costg002sin2cos22zyyzyyzoIIIIII2122112222tgtgItgIIIIzyyzyz2

17、22241241122）（）（yzzyyzzyzyyzzyyzyzIIIIIIIIIIIIII222222222zyyzzyzyyzyzyzIIIIIIIIIII材料力学截面的几何性质222224224122yzzyyzyzzyzyyzzyyzyzyzIIIIIIIIIIIIIIIIII222242422zyyzzyzyzyyzyzyzyzIIIIIIIIIIIIII）（22222412zyyzzyyzyzIIIIIIII材料力学截面的几何性质 2222zyyzyzzoIIIIII 224212zyyzyzIIIII002sin2cos22zyyzyzyoIIIIII材料力学截面的几何性质02

18、00221221122tgtgItgIIIIzyyzyz222241221122yzzyyzzyzyyzzyyzyzIIIIIIIIIIIIII2222224124122zyyzzyzyyzyzyzIIIIIIIIIII22222222142zyyzzyzyyzyzyzIIIIIIIIIII材料力学截面的几何性质 实际上，求出了 ，2222zyyzyzyoIIIIIIzoIzoyzyoI I I I ccyz,材料力学截面的几何性质 五、组合图形截面的形心主惯性轴及形五、组合图形截面的形心主惯性轴及形心主惯性矩的计算心主惯性矩的计算 1、求形心位置，定初始参考轴z、y，将图形拆开，求各自的形心坐标，再在形心c处作两根平行于z、y的 轴，不一定为主轴； 2、求各图形对自己形心轴的 进而求组合图形的-。 3、由 求 ，即确定主轴； 4、求对主轴的 。，、ciciyzycizciIII0zcycI0yozoII,212211AAzAzAzc材料力学截面的几何性质 例48：求形心主惯性矩 解：图分成两块，取参考坐 标 系 zoy ，、两块的形 心如图示； 1、求组合图形的形心坐标 mm40101