高考数学必胜秘籍函数高中数学知识点总结新课标原创

1、江苏省大丰高级中学 陈彩余高中数学必胜秘籍（函数)1. 对对于于集集合合，一一定定要要抓抓住住集集合合的的代代表表元元素素，及及元元素素的的“确确定定性性、互互异异性性、无无序序性性” 。 |lg|lg( , )|lgax yxby yxcx yyxa b c如：集合， 、 、 中中元元素素各各表表示示什什么么？ a表表示示函函数数y=lgx的的定定义义域域， b表表示示的的是是值值域域，而而c表表示示的的却却是是函函数数上上的的点点的的轨轨迹迹 2 进进行行集集合合的的交交、并并、补补运运算算时时，不不要要忘忘记记集集合合本本身身和和空空集集的的特特殊殊情情况况 注注重重借借助助于于数数轴轴

2、和和文文氏氏图图解解集集合合问问题题。 空空集集是是一一切切集集合合的的子子集集，是是一一切切非非空空集集合合的的真真子子集集。 如：集合，ax xxbxax|22301 若，则实数 的值构成的集合为baa （答：， ，）1013 显显然然，这这里里很很容容易易解解出出a=-1,3.而而b最最多多只只有有一一个个元元素素。故故b只只能能是是-1 或或者者 3。根根据据条条件件，可可以以得得到到 a=-1,a=1/3. 但但是是， 这这里里千千万万小小心心， 还还有有一一个个b为为空空集集的的情情况况， 也也就就是是a=0,不不要要把把它它搞搞忘忘记记了了。 3. 注注意意下下列列性性质质： 1

3、21naaa（）集合，的的所所有有子子集集个个数数是是2n 要要知知道道它它的的来来历历：若若 b 为为 a 的的子子集集，则则对对于于元元素素 a1来来说说，有有 2 种种选选择择（在在或或者者不不在在） 。同同样样，对对于于元元素素 a2, a3,an,都都有有 2 种种选选择择，所所以以，总总共共有有2n种种选选择择， 即即集集合合 a 有有2n个个子子集集。 当当然然，我我们们也也要要注注意意到到，这这2n种种情情况况之之中中， 包包含含了了这这 n 个个元元素素全全部部在在何何全全部部不不在在的的情情况况，故故真真子子集集个个数数为为21n，非非空空真真子子集集个个数数为为22n （

4、 ）若，；2aba ba a bb 有关子集的几个等价关系 ab=aab； ab=bab； abc uac ub； acub =cuab； cuab=iab。 （3）德摩根定律： uuuuuuababababcccccc， 有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂 ,abab abab （4）交、并集运算的性质 aa=a，a=，ab=ba； aa=a，a=a，ab=ba； cu (ab)= cuacub， cu (ab)= cuacub； 4. 你你会会用用补补集集思思想想解解决决问问题题吗吗？（排排除除法法、间间接接法法） 如 ： 已 知 关 于的 不 等 式的解 集 为 ， 若且， 求 实

5、 数xaxxammma50352 的的取取值值范范围围。 （，）33 5305555015392522maamaaa 注注意意，有有时时候候由由集集合合本本身身就就可可以以得得到到大大量量信信息息，做做题题时时不不要要错错过过； 如如告告诉诉你你函函数数 f(x)=ax2+bx+c(a0) 在在(,1)上上单单调调递递减减，在在(1,)上上单单调调递递增增，就就应应该该马马上上知知道道函函数数对对称称轴轴是是 x=1. 5、熟悉命题的几种形式、 ( )( )( ).可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和“非” 若为真，当且仅当 、 均为真pqpq 若为真，当且仅当 、 至少有

6、一个为真pqpq 若为真，当且仅当 为假pp 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。 ） 原命题与逆否命题同真、同假； 逆命题与否命题同真同假。 6、熟悉充要条件的性质（高考经常考） xxa|满足条件p，xxb|满足条件q， 若 ；则p是q的充分非必要条件ba_； 若 ；则p是q的必要非充分条件ba_； 若 ；则p是q的充要条件ba_； 若 ；则p是q的既非充分又非必要条件_； 7. 对映射的概念了解吗？映射 f：ab，是否注意到 a中元素的任意性和 b 中与之对应元素的唯一性， 哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许 b 中有元素无原象。 ） 注意映射个

7、数的求法。 如集合 a 中有 m 个元素， 集合 b 中有 n 个元素，则从 a 到 b 的映射个数有 nm个。 如： 若4 , 3 , 2 , 1a，,cbab ； 问：a到b的映射有 个，b到a的映射有 个；a到b的函数有 个，若3 , 2 , 1a，则a到b的一一映射有 个。 函 数)(xy的 图 象 与 直 线ax交 点 的 个 数 为 个。 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致 (两点必须同时具备) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 例：函数的定义域是yxxx432lg （答：，）022334

8、 函数定义域求法： 分式中的分母不为零； 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； 指数式的底数大于零且不等于一； 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 正切函数 xytan kkxrx,2,且 余切函数xycot kkxrx,且 反三角函数的定义域 10. 如何求复合函数的定义域？ 如 ： 函 数的 定 义 域 是 ， ， 则 函 数的 定f xa bbaf(xf xf x( )( )( ) 0 义域是_。 （答： ，）aa 复合函数定义域的求法：已知)(xfy 的定义域为nm,，求)(xgfy 的定义域，可由nxgm)(解出 x 的范围，即为)(xgfy 的定义域。 例例 若函数)(xf

9、y 的定义域为2 ,21，则)(log2xf的定义域为 。 分析：分析：由函数)(xfy 的定义域为2 ,21可知：221 x；所以)(log2xfy 中有2log212x。 解：解：依题意知： 2log212x 解之，得 42 x )(log2xf的定义域为42| xx 11、函数值域的求法 1、直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例 求函数y=x1的值域 2、配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例、求函数y=2x-2x+5，x-1，2的值域。 3、判别式法 对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化

10、简，不必拘泥在判别式上面 下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂 .112.22222222ba y型：直接用不等式性质k+xbxb. y型,先化简，再用均值不等式xmxnx1 例：y1+xx+xxm xnc y型 通常用判别式xmxnxmxnd. y型 xn 法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉xx1 （x+1） （x+1） +1 1 例：y（x+1）1211x1x1x1 4、反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例 求函数 y=6543xx值域。 5、函数有界性法 直接求函数的值域困难时， 可以利用已学过函数的有界性， 来确定函

11、数的值域。 我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。 例 求 函 数y=11xxee，2sin11siny，2sin11cosy的值域。 222110112 sin11| sin| |1,1sin22 sin12 sin1(1cos)1cos2 sincos114sin()1,sin()41sin()114即又 由知解 不 等 式 ， 求 出 ， 就 是 要 求 的 答 案xxxeyyeyeyyyyyyyyyxyxyyxyy 6、函数单调性法 通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容 例求函数 y=25xlog31x（2x10）的值域 7、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函

12、数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。 例 求函数 y=x+1x的值域。 8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义， 如两点的距离公式直线斜率等等，这 类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例：已知点 p（x.y）在圆 x2+y2=1 上， 2,(2),2(,20, (1)的取值范围 (2)y-2 的取值范围 解:(1)令则是一条过(-2,0)的直线. d为圆心到直线的距离,r为半径) (2)令y-2即也是直线d d yxxykyk xxr dxbyxbr例求函数 y=

13、)2(2x+)8(2x的值域。 解：原函数可化简得：y=x-2+x+8 上式可以看成数轴上点 p（x）到定点 a（2） ，b（-8）间的距离之和。 由上图可知：当点 p 在线段 ab 上时， y=x-2+x+8=ab=10? 当点 p 在线段 ab 的延长线或反向延长线上时， y=x-2+x+8ab=10? 故所求函数的值域为：10，+） 例求函数y=1362 xx+ 542 xx的值域 解：原函数可变形为： y=)20()3(22x+)10()2(22x? 上式可看成 x 轴上的点 p （x， 0） 到两定点 a （3， 2） ， b （-2?，-1?）的距离之和， 由图可知当点 p 为线段

14、与 x 轴的交点时， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ymin=ab=?) 12()23(22=43， 故所求函数的值域为43，+） 。 例求函数 y=?1362 xx?-542 xx的值域 解：将函数变形为： y=?)20()3(22x-)10()2(22x 上式可看成定点 a（3，2）到点 p（x，0?）的距离与定点 b（-2，1）到点 p（x，0）的距离之差。即：y=ap-bp 由图可知：（1） 当点 p 在 x 轴上且不是直线 ab 与 x 轴的交点时，如点 p，则构成abp，根据三角形两边之差小于第三边， 有 ap-bpab=?)12()23(

15、22 = 26?即：-26y26 （ 2 ） 当 点 p 恰 好 为 直 线 ab 与 x 轴 的 交 点 时 ， 有 ap-bp=?ab= 26。 综上所述，可知函数的值域为： （-26，-26） 。 注：求两距离之和时，要将函数式变形，使 a，b 两点在 x?轴的两侧，而求两距离之差时，则要使两点 a，b 在 x 轴的同侧。 9 、不等式法 利用基本不等式 a+b2ab， a+b+c3abc3（a，b，cr） ，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值， 解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例： 332(0)11113333222x =xx (

16、应用公式a+b+c时，注意使 者的乘积变成常数）xxxxxxabc倒 数 法 有 时 ，直 接 看 不 出 函 数 的 值 域 时 ，把 它 倒 过 来 之 后 ，你 会发 现 另 一 番 境 况 例 求 函 数 y=32xx的 值 域 2320121112202222012时 ，时， =00 xyxxxxyyxxxyy 多种方法综合运用 总之， 在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。 12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ 切记：做题，特别是

17、做大题时， 一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯错误，与到手的满分失之交臂 如：，求fxexf xx1( ). 令，则txt10 xt21f tett( ) 2121 f xexxx( ) 21210 13. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？ （反解 x；互换 x、y；注明定义域） 如：求函数的反函数f xxxxx( ) 1002 （答：）fxxxxx 1110( ) 在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。请看这个例题： (2004.全国理)函数) 1( 11xxy的反函数是（ b ） ay

18、=x22x+2(x1) by=x22x+2(x1) cy=x22x (x=1. 排除选项 c,d.现在看值域。原函数至于为y=1,则反函数定义域为 x=1, 答案为 b. 我题目已经做完了， 好像没有动笔（除非你拿来写*书） 。思路能不能明白呢？ 14. 反函数的性质有哪些？ 反函数性质： 1、 反函数的定义域是原函数的值域 （可扩展为反函数中的x 对应原函数中的y） 2、 反函数的值域是原函数的定义域 （可扩展为反函数中的y对应原函数中的x） 3、 反函数的图像和原函数关于直线=x 对称（难怪点（x,y）和点（y，x）关于直线y=x对称 互为反函数的图象关于直线yx对称； 保存了原来函数的单

19、调性、奇函数性； 设的 定 义 域 为 ， 值 域 为 ， 则y f(x)ac a a b cf(a)=bf1( ) ba ff afbaf fbf ab111( )( )( )( )， 由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如 （ 04. 上 海 春 季 高 考 ） 已 知 函 数)24(log)(3xxf，则方程4)(1xf的解x_.1 对于这一类题目，其实方法特别简单，呵呵。已知反函数的 y,不就是原函数的 x 吗？那代进去阿，答案是不是已经出来了呢？（也可能是告诉你反函数的 x 值， 那方法也一样， 呵呵。 自己想想，不懂再问我 15 . 如何用定义证明函数的单调性？ （取

20、值、作差、判正负） 判断函数单调性的方法有三种： (1)定义法： 根据定义， 设任意得x1,x2， 找出f(x1),f(x2)之间的大小关系 可以变形为求1212()()f xf xxx的正负号或者12()()f xf x与 1 的关系 (2)参照图象： 若函数 f(x)的图象关于点(a，b)对称，函数 f(x)在关于点(a，0)的对称区间具有相同的单调性； （特例：奇函数） 若函数 f(x)的图象关于直线 xa 对称，则函数 f(x)在关于点(a，0)的对称区间里具有相反的单调性。 （特例：偶函数） (3)利用单调函数的性质： 函数f(x)与f(x)c(c是常数)是同向变化的 函数f(x)与

21、cf(x)(c是常数)，当c0时，它们是同向变化的；当c0时，它们是反向变化的。 如果函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化； （函数相加） 如果正值函数f1(x)， f2(x)同向变化， 则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化； （函数相乘） 函数f(x)与1( )f x在f(x)的同号区间里反向变化。 若函数 u(x)，x，与函数 yf(u)，u()，()或u(),()同向变化， 则在， 上复合函数 yf(x)是递增的；若函数 u (x),x ， 与 函 数 y f

22、(u) ，u()， ()或 u()， ()反向变化，则在，上复合函数 yf(x)是递减的。 （同增异减） 若函数 yf(x)是严格单调的，则其反函数 xf1(y)也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。 f(g) g(x) fg(x) f(x)+g(x) f(x)*g(x) 都是正数 增 增 增 增 增 增 减 减 / / 减 增 减 / / 减 减 增 减 减 如：求的单调区间yxxlog1222 （设，由则uxxux 22002 16. 如何利用导数判断函数的单调性？ 在区间 ， 内，若总有则为增函数。（在个别点上导数等于a bf xf x( )( )0 零，不影响函数的单调性），反之也对

23、，若呢？f x( ) 0 如 ： 已 知， 函 数在 ，上 是 单 调 增 函 数 ， 则的 最 大af xxaxa013( ) 值是（ ） a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 （令f xxaxaxa( ) 333302 则或xaxa 33 由已知在 ，上为增函数，则，即f xaa( )1313 a 的最大值为 3） 17. 函数 f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称） 若总成立为奇函数函数图象关于原点对称fxf xf x()( )( ) 若总成立为偶函数函数图象关于 轴对称fxf xf xy()( )( ) 注意如下结论： （1）在公共定义域内：两

24、个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。 （ ）若是奇函数且定义域中有原点，则。2f(x)f(0)0 如：若为奇函数，则实数f xaaaxx( ) 2221 （为奇函数，又，f xxrrf( )( )000 即，）aaa22210100 又如：为定义在， 上的奇函数，当， 时，f xxf xxx( )()()( )1101241 求在， 上的解析式。f x( )11 （令，则，xxfxxx 1001241() 又为 奇 函 数 ， fxfxxxxx()() 241214 又， ，）ffxxxxxxxx()()()0024110024101 判断函数奇

25、偶性的方法 一、定义域法 一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数. 二.奇偶函数定义法 在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算)( xf ，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性. 这种方法可以做如下变形f(x)+f(-x) =0 奇函数f(x)-f(-x)=0 偶函数f(x)1 偶函数 f(-x)f(x)1 奇函数f(-x) 三.复合函数奇偶性 f(g) g(x) fg(x) f(x)+g(x) f(x)*g(x) 奇 奇 奇 奇 偶 奇 偶 偶 非奇非偶 奇 偶 奇 偶 非奇非偶 奇 偶 偶

26、 偶 偶 偶 18. 你熟悉周期函数的定义吗？ （若存在实数 （），在定义域内总有，则为周期t tf x tf xf x0( )( ) 函数，t 是一个周期。 ） 如：若，则f xaf x ( ) （答：是周期函数，为的一个周期）f xtaf x( )( ) 2 我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来， 这时说这个函数周期2t. 推导： ( )()0( )(2 )()(2 )0fxfxtfxfxtfxtfxt同 时 可 能 也 会 遇 到 这 种 样 子 ： f(x)=f(2a-x), 或 者 说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样

27、一个意思：函数 f(x)关于直线对称， 对称轴可以由括号内的 2 个数字相加再除以 2 得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a 对称。 ( )()()()()( )(2)(2)(2)( )(2)2,222 ,( )(22 )( )(22 ),( )2|(,f xxaxbf axf axf bxf bxf xfaxfaxfbxf xfbxtaxbxtba f tf tbaf xf xbaf xbaa b 又如：若图象有两条对称轴，即，令则即所以函数以为周期 因不知道的大小关系为保守起见 我加了一个绝对值 19. 你掌握常用的图象变换了吗？

28、 f xfxy( )()与的图象关于轴 对称 联想点（x,y）,(-x,y) f xf xx( )( )与的图象关于轴 对称 联想点（x,y）,(x,-y) f xfx( )()与的图象关于 原点 对称 联想点（x,y）,(-x,-y) f xfxyx( )( )与的图象关于 直线对称1 联想点（x,y）,(y,x) f xfaxxa( )()与的图象关于 直线对称2 联想点（x,y）,(2a-x,y) f xfaxa( )()()与的图象关于 点 ，对称20 联想点（x,y）,(2a-x,0) 将图象左移个单位右移个单位yf xa aa ayf xayf xa ( )()()()()00 上

29、移个单位下移个单位b bb byf xabyf xab()()()() 00 （这是书上的方法，虽然我从来不用， 但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这种题目，其实根本不用这么麻烦。 你要判断函数 y-b=f(x+a)怎么由 y=f(x)得到，可以直接令 y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。 看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。 ） 注意如下“翻折”变换： ( )|( )|x( )(|)yf xf xf xfx 把 轴下方的图像翻到上面把 轴右方的图像翻到上面 如：f xx( )log21 作出及的图象yxyxloglog2211 y y=log2x o 1 x 19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？ (k0) y=b o(a,b) o x x=a （ ）一次函数：10ykxb k (k 为斜率，b为直线与y轴的交点) （） 反 比 例 函 数 ：推 广 为是 中 心，200ykxky bkx