小学五年级奥数(上)第四讲带余除法

1、第四讲第四讲带余数的除法带余数的除法回顾整除的意义回顾整除的意义 回顾： 整除 在除法153=5中，没有余数，（也可以说余数是0）我们把这种除法叫做 ，15是3的 ，也是商5的 ，除数3和商5都是被除数15的 。 他们之间有这样的关系： 153=5 、 155=3、 15=35 即 被除数除数=商 被除数商=除数 被除数=除数商整除整除倍数倍数倍数倍数约数约数也就是说：在被除数、商、也就是说：在被除数、商、余数中，知道其中任何两余数中，知道其中任何两个，就可以求出第三个。个，就可以求出第三个。带余除法的意义带余除法的意义 做除法163你发现它与153有什么不同： 163=51 即16=35+1

2、 ，此时被除数除以除数出现了余数，我们把这种除法叫做 。 这里，仍然把5叫做商 ，把1叫做16除以3的余数。 被除数、除数、商、余数之间的关系被除数被除数=除数除数商商+余数余数带余除法带余除法简单应用（简单应用（1）被除数被除数=除数除数商商+余数的应用余数的应用 例1、一个数除以26，商为15，余数是12，求这个数 解：被除数=除数商+余数 被除数=2615+12= 例2、127除以一个数，商和余数分别是6和7，求这个数 解： 被除数=除数商+余数，即127=除数6+7 127=除数 6+7 除数 6=1277=120 除数=390+12=402 综合运用（一）综合运用（一）被除数被除数=

3、除数除数商商+余数的应用余数的应用 例1、一个两位数去除251，得到的余数是41 ，求这个两位数 解：根据被除数被除数=除数除数商商+余数余数可知可知 251=除数除数商商+41 即即210=除数除数商商 且除数大于且除数大于41 2102357 2105370542 这个两位数是这个两位数是42或者或者70。综合运用（一）综合运用（一）被除数被除数=除数除数商商+余数的应用余数的应用 例2、用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16。被除数、除数、商与余数的和是933。求被除数和除数各是多少？ 解 根据被除数被除数=除数除数商商+余数余数可知可知 被除数被除数=除数除数40+16 由由

4、被除数除数商余数被除数除数商余数933可得可得 除数除数4016除数除数4016933 除数除数40除数除数861 即即 除数除数41=861 除数除数8614121 被除数被除数214016856被除数、除数、商、余数关系应用的思路回眸 1、在 关系式 被除数被除数=除数除数商商+余数余数 中，中，知道其中任何三个，就可以求出第三个。知道其中任何三个，就可以求出第三个。如果不能迅速地列出算式，可以将所给的如果不能迅速地列出算式，可以将所给的条件代入关系式中寻找。条件代入关系式中寻找。 2、当题目中所给的条件与被除数，除数，商及余数有关时，常常可以考虑利用关系式被除数被除数=除数除数商商+余数

5、余数进行分析和解答简单应用（简单应用（2）利用余数解决排序问题利用余数解决排序问题 例1、如上图，含有红蓝两种颜色的一串珠子按规律穿在一条细丝线上，你能告诉大家第2011个珠子的颜色吗？ 分析：所穿珠子的规律 解：这串珠子的规律是每九个为一个循环，其中的第1、3、6个是红色的， 20119=2234 所以，第2011个珠子是蓝色的。简单应用（简单应用（2）利用余数解决排序问题利用余数解决排序问题 例2、今天是2011年11月12日，星期六，明年的11月12日是星期几？（没写答案） 例3、某年十月里有五个星期六，四个星期天日，想一想，这年的10月1日是星期几？ 解：因为10月份有31天，每周有7

6、天 31743。 根据题意可知有5天的一定是星期四、星期五、星期六。所以，10月1日是星期四。 例4、3月18日是星期日，从3月17日作为第一天往回数，即3月16日（第二天），15日（第三天），的第1993天是星期几？ 分析：每周有7天， 19937=284（周）5（天） 从星期日往回数5天是星期二，所以第1993天是星期二。简单应用（简单应用（2）利用余数解决排序问题利用余数解决排序问题有关排序的小结 在循环排序问题中，应当首先找到排序的规律，再利用除法求出排了多少轮，余数是多少。进而得出结论。小结与作业小结与作业 今天学习了什么： 1、带余除法中的数量关系： 被除数被除数=除数除数商商+余

7、数余数当题目中所给的条件与被除数，除数，商及余数有关时，常常可以考虑利用关系式被除数被除数=除数除数商商+余数余数进行分析和解答 2、排序问题：在循环排序问题中，应当首先找到排序的规律，再利用除法求出排了多少轮，余数是多少。进而得出结论。 第一次作业：课本习题四1、 补充作业 1、某年的十月份有5个星期二，4个星期三，这年的十月一日是星期几？ 2、某年的二月份有5个星期一，4个星期二，二月一是星期几？ 3、两个自然数相除, 商是22, 余数是8, 被除数、除数、商、余数之和为866, 那么被除数和除数分别等于多少? 4、王老师准备将872个笔记本分给六年级二班的学生，她简单计算之后，又补上21

8、个笔记本，这样就可以将笔记本平均分给班里每个学生. 问：六年级二班有多少名学生？（47人）补充作业 1、某年的十月份有5个星期二，4个星期三，这年的十月一日是星期几？ 解：十月份有31天，31743，由题意知，这一月的31日是星期二，有五天的是星期日、星期一，星期二，所以这一年的十月一日是星期日。 2、某年的二月份有5个星期一，4个星期二，二月一是星期几？ 分析：如果是平年，二月份有28天，2874。都是4天，由题意知，这一年是闰年，有29天，29741，因此，二月一是星期一。 3、两个自然数相除, 商是22, 余数是8, 被除数、除数、商、余数之和为866, 那么被除数和除数分别等于多少?

9、解 根据被除数被除数=除数除数商商+余数余数可知可知 被除数被除数=除数除数22+8 由由 被除数除数商余数被除数除数商余数866可得可得 除数除数228除数除数228866 除数除数22除数除数828 即即 除数除数23=828 除数除数8282336 被除数被除数36228800 4、王老师准备将872个笔记本分给六年级二班的学生，她简单计算之后，又补上21个笔记本，这样就可以将笔记本平均分给班里每个学生. 问：六年级二班有多少名学生？（47人） 分析：872加上21后是学生人数的倍数 872+21=893=1947第二课时 今天我们探究的问题是： 1、带余除法中余数不变的规律。 2、带余

10、除法余数不变规律的应用逐步满足条件法带余除法的一些简单规律（带余除法的一些简单规律（1） 1、我们看下面的算式： 156=2 3 （15+6）6= （15+62）6= （15+63）6= （15+67）6= 我们发现这样的规律：规律（一） 被除数加上除数的倍数后，结果的余数不变被除数加上除数的倍数后，结果的余数不变 .也可以说：要想保持余要想保持余数不变，被数不变，被除数要加上除数要加上除数的倍数除数的倍数3 34 35 39 3“被除数加上除数的倍数后，结果的余数不变 ”的简单应用 例、143除以7余3，除以8余7，除以12余11，1000以内还有这样的数吗？如果有，请写出来。 分析： 要想

11、使余数不变，143加的必须是7、8、12的倍数，即7、8、12的最小公倍数7,8,12的倍数。“被除数加上除数的倍数后，结果的余数不变 ”的简单应用 例、143除以7余3，除以8余7，除以12余11，1000以内还有这样的数吗？如果有，请写出来。 解：7，8，12=168 143+168=311 143+1682=479 143+1683=647 143+1684=815 143+1685=983所以还有311、479、647、845、983.带余除法的一些简单规律（带余除法的一些简单规律（2）同余规律同余规律 例、一个自然数，被4、5、6、9去除，余数都是1，试求符合条件的最小自然数。 分析

12、：减去1后就能被4、5、6、9整除，说明它比4,5,6,9大1 （为什么说求最小的？） 例、一个自然数，被4除余2，被5除余3，被6除余4，被9除余7，试求符合条件的最小自然数。如果自然数如果自然数n分别除以几个除数所得的余数分别除以几个除数所得的余数都是都是a，那么，那么n比这几个除数的公倍数大比这几个除数的公倍数大b； 如果余数比这几个除数都小如果余数比这几个除数都小b，那么，那么n比比这几个除数的公倍数小这几个除数的公倍数小b。综合运用（二）综合运用（二）同余规律的应用同余规律的应用 例5、一个数除以3余2，除以5余3 ，除以7余2，求符合条件的最小数 解：符合条件除以3 余2，除以7余

13、2的最小数是3,7+2=23， 而且235=43 所以，符合条件的数是23综合运用（二）综合运用（二）同余规律的应用同余规律的应用 例6、（课本例9）69、90和125被某个正整数N整除时，余数相同，试求N的最大值 解：三个数被N除余数相同， N(9069），即N21； N(12590)，即N35。 N是21和35 的约数， 要求N的最大值， N是21和35的最大公约数 即N=7综合运用（综合运用（三）逐步满足条件法逐步满足条件法 例7、（课本例6）一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1.求适合条件的最小的自然数 分析:“除以5余3”，即“加上2后能被5整除”，同样，“除以6余4 ”即“加2

14、后能被6整数” 解：5，6 2=28,即28适合前两个条件，通过尝试，28+5,6 4=148 1487=211 并且1485,6,7=210 所以，适合条件的最小的自然数是148课后小结课后小结 一、带余除法的意义及简单应用带余除法的意义及简单应用 二、带余除法的一些简单规律二、带余除法的一些简单规律 三、综合运用的一些例子和方法三、综合运用的一些例子和方法一、带余除法的意义及简单应用带余除法的意义及简单应用 简单应用（简单应用（1）被除数）被除数=除数除数商商+余数余数 简单应用（简单应用（2）利用余数解决排序问题）利用余数解决排序问题二、带余除法的一些简单规律二、带余除法的一些简单规律

15、（1）被除数加上除数的倍数后，结果的余数不）被除数加上除数的倍数后，结果的余数不变变 （2）如果自然数）如果自然数n分别除以几个除数所得的余数分别除以几个除数所得的余数都是都是a，那么，那么n比这几个除数的公倍数大比这几个除数的公倍数大a； 如果余数比这几个除数都小如果余数比这几个除数都小b，那么，那么n比这几比这几个除数的公倍数小个除数的公倍数小b。 （3）如果两个整数）如果两个整数a和和b被自然数被自然数n除余数相同，除余数相同，那么这两个整数的差（大减小）一定能把那么这两个整数的差（大减小）一定能把n整除。整除。反过来：如果两个整数之差恰好能把反过来：如果两个整数之差恰好能把n整除，那整

16、除，那么这两个整数除以么这两个整数除以n所得的余数一定相同。所得的余数一定相同。三、综合运用的一些例子和方法三、综合运用的一些例子和方法 综合运用（一）综合运用（一） 被除数被除数=除数除数商商+余数的应用余数的应用 综合运用（二）综合运用（二） 同余规律的应用同余规律的应用 综合运用（综合运用（三） 逐步满足条件法逐步满足条件法拓展练习1、用某个自然数除300、262和205，得到相同的余数，问这个自然数是几？2、在1-400的自然数中，被3，5，7除的余数都是2的数共有多少个?拓展练习参考答案 1、用某个自然数除300、262和205，得到相同的余数，问这个自然数是几？ 解：设这个自然数为

17、N， “某个自然数除300、262和205，得到相同的余数，” N (300262)，即N 38 N (262205)，即N 57 N是38和57的公约数。 (38,57)=19 这个自然数是19 3、在1-400的自然数中，被3、5、7除的余数都是2的数共有多少个? 解：被3、5、7除余数都是2的数，是比3、5、7的公倍数大2的数 3，5，7 105 10512107 10522212 10532317 答：符合条件的自然数共有三个， 它们是107、212和317。.4、一个自然数分别去除83, 213, 二个余数的和是9,问：这二个余数中最小的一个是多少？ 分析：因为两个余数的和是9，去掉

18、9后，两个数的和一定是除数的倍数。 解：（83213）9287741 837116 2137303 834121 2134158 答：这二个余数中最小的一个是1。5、王老师准备将872个笔记本分给六年级二班的学生，她简单计算之后，又补上21个笔记本，这样就可以将笔记本平均分给班里每个学生. 问：六年级二班有多少名学生？分析：由题意知，872加上21后是显示人数的倍数，即班级人数是893的约数 解： 8931947 又六年级二班的人数不可能是19，六年级二班的人数是47人。逐步满足条件法 3、一个数被5除余4，被7除余3，被6除余4 ，这个数最小是多少？（逐步满足条件法） 解：由除以5余4，除以6余4，可知， 这个数应当是5和6 的公倍数加4， 5,6 30，4 5,6 43034， 经试验可知：3430294，符合条件， 所以这个数最小是94。被除数、除数、商、余数的关系 4、被除数除以除数，商8，余数是14，被除数、除数商、余数的和是351。求被