em算法及其改进

1、EM算法及其改进E步：对 或 求条件期望，从而把Z去掉，即M步：将 极大化，找到一个点 ，使 即反复迭代，直到 或充分小时停止迭代。dzYzfzYfYZYfEQiYyizi),(),(log(,),(log),()()(),(ZYf),(logZYf),(iQ1i),(max),(1iiiQQ),(maxarg)() 1(iiQii1),(),(1iiiiQQEM算法优点：其一,M步仅涉及完全数据极大似然,通常计算比较简单;其二,它的收敛是稳定的,因为每次迭代似然函数是不断增加的.缺点：当缺失的信息量很大或完全数据对数似然的估计本身比较复杂时,EM算法的收敛速度将很缓慢。基于EM算法的缺点产生

2、了各种改进的算法，这些改进的算法都着眼于改善收敛速度和保证收敛性质。EM算法优缺点在很多问题中，若对参数施加一定的函数约束，可以使完全数据极大似然估计变得相对简单。ECM算法中E步采用和EM算法相同的计算过程，用几个简单的CM步来代替EM算法的M步，CM步中每步都是在对应参数约束下，使得EM算法定义的Q函数达到最大。ECM算法其中的CM步定义如下：把参数 划分为 ， 是关于 的函数，当第t+1次迭代时，分别在 的约束下找到 ，使之在 中最大化 。在EMC算法中下一次迭代的初始值 。Sstssgg)1()()(SstSsts)1()1(SstQ)()1(SsttECM算法),.,(21s)(sg

3、),.,(21s要保证ECM算法的收敛性质， 的选取十分重要的，一个常用的选则是 ，即在M步的第k+1次迭代中，要进行s次估计，每次估计出 中的一个参数。当估计 时，假定其他s-1个估计的参数不变，然后采用一般的似然估计的方法估计它，接着用新的估计值代替原来的估计值进行对参数 的估计，并保持其他参数不变。以此类推完成对 的估计。)(sg),.,.,()(111Ssssg12s(1)当M步没有显式的表达式时,CM步通常有显式的表达式.(2)即使CM步没有显式的表达式,但ECM算法通常更加稳定,因为它的极大化是在更低维度的参数空间中进行的.ECM算法优点它是ECM算法的推广，在ECM算法中，CM步

4、是对完全数据对数似然函数的期望进行极大化。同样，可以把这种思想运用到观察数据对数似然上，也就是说，在CM步上，可以考虑在一定的约束条件下，对对数似然函数进行极大化，因此就产生了ECME算法。ECME算法ECME算法形式化定义：ECME算法的第t+1次迭代步骤如下：E步：与ECM算法的E步相同。CM步：当 时，求出 ，使得 当 时，求出 ，使得ECME算法SsLQ,.,2 , 1QsSst),(),(ttSstQQ)()(1SstssggLsSst)()(LLSst)()(1Sstssgg Aitken-ECM法： 首先在参数估计的初始阶段采用ECM算法，当算法的收敛速度比较缓慢的时候我们切入Aitken算法来提速。考虑到Aitken在 附近无法稳定收敛，则再转入ECM算法进行最后的稳定收敛过程。A-ECM算法Aitken算法的第k+1次迭代是按照如下步骤进行的： （1） 是Aitken第k次迭代的估计值 （2）以 为标准EM算法的初始值，进行迭代计算第k+1步估计值 （3）然后将 带入公式进行计算得到第k+1步的Aitken估计值 （4）重复以上的步骤直至收敛为止Aitken加速收敛算法nnnnxxxx221)(kk1kEM1kEM1k（1）ECM算法收敛速度进入缓慢阶段，切换为Aitken算法的判定可以根据以下准则： （2）可以根据似然函数 的数