22.2二次函数与一元二次方程2

1、22.2 二次函数与一元二次方程教学目标知识与技能1 总结出二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根.2会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解过程与方法经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.情感态度价值观通过观察二次函数图象与 x 轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合思想.教学重点和难点重点：方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解难点:二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系教学过程设计(一)问题的提出与解决问

2、题 如图，以 40m/s 的速度将小球沿与地面成 30角的方向击出时，球的飞行路线 将是一条抛物线如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h (单位：m)与飞行时间 t (单位：s)之间具有关系2h= 20t 5t考虑以下问题分析：由于球的飞行高度 h 与飞行时间 t 的关系是二次函数(1)球的飞行高度能否达到(2)球的飞行高度能否达到(3)球的飞行高度能否达到(4)球从飞出到落地要用多15m?如能，需要多少飞行时间？20m?如能，需要多少飞行时间?20.5m ?为什么？少时间？h=20t 5t2.所以可以将问题中 h 的值代入函数解析式，得到关于 t 的一元二次方程，如果方程有合 乎实际的解，则说明

3、球的飞行高度可以达到问题中h 的值：否则，说明球的飞行高度不能达到问题中 h 的值.解：(1)解方程 15 = 20t 5t2. t2 4t + 3=0. t1= 1,t2= 3.当球飞行 1s 和 3s 时，它的高度为 15m.22(2) 解方程 20 = 20t 5t . t 4t + 4 = 0. t1= t2= 2.当球飞行 2s 时，它的高度为 20m.22(3) 解方程 20.5 = 20t 5t . t 4t + 4.1 = 0因为(一 4)24X4.10.所以方程无解.球的飞行高度达不到 20.5m.22(4) 解方程 0 = 20t 5t . t 4t = 0. t1= 0,

4、t2= 4.当球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为 0m,即 0s 时球从地面飞出.4s 时球落回地面2播放课件：函数的图像，画出二次函数 h=20t 5t 的图象，观察图象，体会以上问题 的答案.从上面可以看出.二次函数与一元二次方程关系密切.由学生小组讨论，总结出二次函数与一元二次方程的解有什么关系？例如：已知二次函数 y = x2+ 4x 的值为 3.求自变量 x 的值.可以解一元二次方程一 x2+ 4x = 3(即 x2 4x+ 3 = 0).反过来，解方程 x2 4x + 3 = 0 又可以看作已知二次函数 y= x2 4+ 3 的值为0,求自变量 x 的值.一般地，我们可以利用二

5、次函数y = ax2+ bx + c 深入讨论一元二次方程 ax2+ bx + c= 0.(二)问题的讨论二次函数(1) y = x +x 2;2(2) y = x 6x+ 9;2(3) y = x x+ 0.的图象如图 26.2 2 所示.(1) 以上二次函数的图象与 x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？(2) 当 x 取公共点的横坐标时， 函数的值是多少？由 此， 你能得出相应的一元二次方 程的根吗？先画出以上二次函数的图象，由图像学生展开讨论，在老师的引导下回答以上的问题.可播放课件：函数的图像， 输入 a,b,c 的值，划出对应的函数的图像，观察图像，说 出函数对应方程的解

6、.可以看出：(1)抛物线 y= x2+ x 2与 x 轴有两个公共点，它们的横坐标是2, 1.当 x 取公共点的横坐标时，函数的值是0.由此得出方程 x2+ x 2=0 的根是一 2,1.(2)抛物线 y= x2 6x + 9与 x 轴有一个公共点，这点的横坐标是3.当 x = 3 时，函数 的值是 0.由此得出方程 x2 6x+ 9=0 有两个相等的实数根 3.2 2(3)抛物线 y= x x + 1 与 x 轴没有公共点，由此可知，方程 x x+ 1=0 没有实数 根.总结：一般地，如果二次函数 y=ax? bx c的图像与 x 轴相交，那么交点的横坐标就 是一元二次方程ax2bx c=0

7、 的根.(三)归纳一般地，从二次函数 y = ax + bx + c 的图象可知，(1)如果抛物线 y= ax2+ bx + c 与 x 轴有公共点，公共点的横坐标是xo,那么当 x = xo时，函数的值是 0,因此 x= xo就是方程 ax2+ bx + c= 0 的一个根.(2) 二次函数的图象与 x 轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个 公共点.这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个 不等的实数根.由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根.由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的（四）例题例 利用函数图象求方程 X2 2x 2 = 0 的实数根（精确到 0.1 ）.解：作 y = x2 2x 2 的图象（图 26.2 3），它与 x 轴的公共点的横坐标大约是一0.7,2.7.所以方程 x2 2x 2= 0 的实数根为 x 仟一 0.7,X22.7.%= - 2| 0.7,0.i27.ni门12 j播放课件：函数的图象与求解一元二次方程的解，前一个课件用来画图， 可根据图像估2计出方程 x 2x 2= 0