2020高考(文)数学刷题考点测试13函数模型及其应用文含解析

1、1考点测试 13 函数模型及其应用咼考概览高考在本考点的常考题型多为选择题、填空题，分值5 分，中等难度考纲研读1. 了解指数函数、对数函数、幕函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义2 了解函数模型（如指数函数、对数函数、幕函数、分段函数等在社会生活中普遍使用 的函数模型）的广泛应用第7步彳狂刷小题-基础练卜、基础小题1.甲、乙两人在一次赛跑中, 则下列说法正确的是（）A. 甲比乙先出发B. 乙比甲跑的路程多C. 甲、乙两人的速度相同D. 甲比乙先到达终点答案 D解析由题图知，甲和乙所走的路程相同且同时出发，但甲用时间少，即甲的速度比乙快.如图是张

2、大爷晨练时离家的距离（y）与行走时间（x）之间的函数关系的图象.若用黑点表从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示,2示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是（）3答案 D解析 根据图象可得，张大爷先是离家越来越远，后离家距离保持不变，最后慢慢回家， 符合的只有 D.3.国家相继出台多项政策控制房地产行业， 现在规定房地产行业收入税如下：年收入 在 280 万元及以下的税率为p%超过 280 万元的部分按(p+ 2)%征税，有一公司的实际缴税 比例为(p+ 0.25)%，则该公司的年收入是( )A. 560 万元 B . 420 万元 C . 350 万元 D . 320 万元答

3、案 D解析 设该公司的年收入为a万元，则 280p% (a 280) (p+ 2)%=a(p+ 0.25)%，解280X2得a= 320.故选 D.2 0.254.某种动物的种群数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的关系式为y=alog2(x+1),若这种动物第一年有 100 只，则到第 7 年它们发展到()A. 300 只 B . 400 只 C . 500 只 D . 600 只答案 A解析由题意，得 100 =alog2(1 + 1)，解得a= 100,所以y= 100log2(x+ 1)，当x= 7时，y= 100log2(7 + 1) = 300,故到第 7 年它们发展到 300

4、只.5.设甲、乙两地的距离为地休息 10 min 后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了 经过的路程y与其所用的时间x的函数的图象为(答案 D20 mi n,在乙30 min，则小王从出发到返回原地所)a(a0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了4解析 由题意知小王在 020 min , 3060 min 这两段时间运动的路程都在不断增加, 在 2030min 时，运动的路程不变.故选 D.2x_.6.f(x) =x,g(x) = 2 ,h(x) = log2X，当x (4 ,+)时，对三个函数的增长速度进 行比较，下列选项中正确的是()A.f(x)g(x)h(x) B .g(x)f(x)h(x)

5、C.g(x)h(x)f(x) D .f(x)h(x)g(x)答案 B解析画出三个函数的图象，如下图所示，当x (4 ,+)时，指数函数的图象位于二次函数的图象的上方，二次函数的图象位于对数函数图象的上方，故g(x)f(x)h(x).7.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，表格是某公司前5 天监测到的数据:第x天12345被感染的计算机数量y/台12244995190贝U下列函数模型中能较好地反映在第x天被感染的数量y与x之间的关系的是()A.y= 12xB .y= 6x2 6x+ 12C.y=6 2xD.y=12log2X+12答案 C解析由表格可知，每一天的计算机被感染台数大约是前一天的

6、2 倍，故增长速度符合指数型函数，故选 C.&已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示假设某商人持有资金120 万元，他可以在ti至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是()56A. 40 万元 B . 60 万元C. 120 万元 D . 140 万元答案 C解析 甲 6 元时该商人全部买入甲商品，可以买 120+ 6= 20（万份），在t2时刻全部卖 出，此时获利 20X2= 40（万兀），乙 4 兀时该商人买入乙商品， 可以买（120 + 40） + 4= 40（万 份），在t4时刻

7、全部卖出，此时获利 40X2= 80（万元），共获利 40+ 80= 120（万元）.故选 C.9. 某公司为了实现 1000 万元销售利润的目标，准备制订一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到 10 万元时，按照销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x的增加而增加，但奖金不超过5 万元，同时奖金不超过销售利润的25%则下列函数最符合要求的是（）1A.y= 4XB .y= lgx+ 13xC.y= 2 D .y=,X答案 B解析 由题意知，x 10 , 1000,符合公司要求的模型需同时满足：函数为增函数；1函数的最大值不超过 5;y20 时，y5,不33满足要求；对于y=，易

8、知满足，因为 才5，故当x4 时，不满足要求；对于y=x, 易知满足，但当x25 时，y5,不满足要求；对于y= lgx+ 1,易知满足，当x10 , 1000时，2y 4,满足，再证明 lgx+ Kx 25% 即 4lgx+ 4-x 0,设F（x） = 4lg4x+ 4 x,贝 UF（x）=如10 10,x 10 , 1000，所以F（x）为减函数，F（x）max=F（10）=4lg 10 + 4 10= 2 15,故至少经过 4 小时他才可以驾驶机动车.12.已知某房地产公司计划出租 70 套相同的公寓房当每套房月租金定为3000 元时，这 70 套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50

9、元时(设月租金均为 50 元的整数倍)，就会多一套房子不能出租.设已出租的每套房子每月需要公司花费100 元的日常维修等费用(设没有出租的房子不需要花这些费用)，则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为_元.答案 3300解析 设利润为y元，租金定为 3000+ 50 x(0 x 70,x N)元.贝 Uy= (3000 + 50 x)(7058 +x+ 70 x2x) 100(70 x) = (2900 + 50 x)(70 x) = 50(58 +x)(70 x) 200,则 lg 130(1+ 12%)n1lg 200 ,二 lg 130 + (n 1) lg 1.12lg 2” f

10、24+ 2, 2 + lg 1.3 + (n 1)lg 1.12lg 2+ 2，二 0.11 + (n 1)X0.050.30，解得n .5又 N , n5 , 该公司全年投入的研发资金开始超过200 万元的年份是 20198年.故选 B.14.(2015 北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是()9A.消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶5 千米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C.甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油D.某城市机动车最高限速80 千

11、米/小时相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 答案 D解析 对于 A 选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h 时的燃油效率大于5 km/L，故乙车消耗 1 升汽油的行驶路程可大于5 千米，所以 A 错误对于 B 选项，由图可知甲车消耗汽油最少.对于C 选项，甲车以 80 km/h 的速度行驶时的燃油效率为10 km/L ,故行驶 1 小时的路程为 80 千米，消耗 8 L 汽油，所以 C 错误对于 D 选项，当最高限速为 80 km/h 且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所 以 D 正确.15. （2015 四川高考）某食品的保鲜时间y（单

12、位：小时）与储藏温度x（单位：C）满足 函数关系y= ekx+b（e = 2.718为自然对数的底数，k,b为常数）.若该食品在 0C的保鲜 时间是 192小时，在 22C的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33C的保鲜时间是（）A. 16 小时 B . 20 小时 C . 24 小时 D . 28 小时答案 C-be = 192,解析由题意得2冰+be= 48,33k+b11k 3 b13=e+= (e )e=192= 24(小时).16. （2014 湖南高考）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为（）A也 B(P+1g+1尸1.

13、2 . 2解析设两年前的年底该市的生产总值为a,则第二年年底的生产总值为eb=192,即S 11k1f=2,所以该食品在 33C的保鲜时间是yP,第二年a(1 +P)(1 +102q).设这两年生产总值的年平均增长率为x,贝 ya(l +x) =a(l +p)(l +q)，由于连续两年持续增加，所以x0，因此x=寸,-1 +p1 +q 1，故选 D.17. (2018 浙江高考)我国古代数学著作 张邱建算经 中记载百鸡问题：“今有鸡翁 一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几100当且仅当v=即v=10时取“=最大车流量比(1)中的最大车流量增加 2000

14、 1900 = 100 辆/小时.三、模拟小题何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x,y,乙则x+y+z= 100,；15x+ 3y+ 3Z= 100,当z= 81 时,x=_,y=_答案 811x+y= 19,解析 把z= 81 代入方程组，化简得*解得x= 8,y= 11.5x+ 3y= 73,18. (2014 湖北高考)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长1(单位：米)的值有关，其公式为F_76000V=v2+ 18v+ 20l.(1) 如果不限定车型，I= 6

15、.05，则最大车流量为 _ 辆/小时；(2) 如果限定车型，l= 5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加 _ 辆/小时.答案 (1)1900(2)100t丄76000v解析(1)当l= 6.05时，F=v2+18v+20X6.05 ,76000v76000F= 2=wv+18v+121121v+一+ 18121=1900，当且仅当v=，即v=121vv+ 187600011 时取“=”最大车流量F为 1900 辆/小时.(2)当I= 5 时，F=v+18v+20X576000100 “,v+ 18vFw=2000,1119.(2018 福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳 14 的含量大

16、约每经过 5730 年衰12减为原来的一半，这个时间称为“半衰期” 当死亡生物体内的碳14 含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了若某死亡生物体内的碳14 用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是（）A. 8 B 9 C 10 D 11答案 C解析 设死亡生物体内原有的碳 14 含量为 1，则经过n（n N）个“半衰期”后的含量1 1 1为；，由 2n而 0 得n10.所以，若探测不到碳 14 含量，则至少经过了 10 个“半衰期”.故选 C.20 （2018 德阳一诊）某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p（单位：毫克/升）不断减

17、少，已知p与时间t（单位：小时）满足p（t） =p2 其中P。为t= 0 时的污染物数量.又测得当t 0,30时，污染物数量的变化率是101 n 2,则p（60）=（ ）A. 150 毫克/升 B 300 毫克/升C. 150ln 2 毫克/升 D 3001n 2 毫克/升答案 Ct2所以p。= 6001n 2，因为p(t) =p2 30,所以p(60) = 6001n 2X2= 150ln 2(毫克 /升)21 （2018 湖北武汉质检）某观察者站在点O观察练车场上匀速行驶的小车P的运动情 况，小车P从点A出发的运动轨迹如图所示设观察者从点A开始随小车P变化的视角为0 =ZAOP练车时间为t

18、,则函数0=f（t）的图象大致为（）解析 因为当t 0 ,30时，污染物数量的变化率是一10ln 2，所以一 101 n 2 =2p0P030 0，13答案 D解析 根据小车P从点A出发的运动轨迹可得，视角0 =ZAOP勺值先是匀速增大， 然后又减小，接着基本保持不变，然后又减小，最后又快速增大，故选D.22.（2018 河南洛阳调研）一名顾客计划到商场购物，他有三张优惠卷，每张优惠卷只 能购买一件商品，根据购买商品的标价，三张优惠券优惠方式不同，具体如下：优惠券 1 :若标价超过 50 元，则付款时减免标价的10%.优惠券 2 :若标价超过 100 元，则付款时减免 20 元.优惠券 3:若

19、标价超过 100 元，则超过 100 元的部分减免 18%.若该顾客购买某商品使用优惠券1 比优惠券 2、优惠券 3 减免的都多，则他购买的商品的标价可能为（）A. 179 元 B . 199 元 C . 219 元 D . 239 元答案 C解析 因为使用优惠券 1 比优惠券 2 减免的多，所以他购买的商品的标价超过 200 元.如 果他购买的商品的标价为 219 元，那么使用优惠券 1 可以减免 21.9 元，使用优惠券 2 可以 减免 20 元，使用优惠券 3 可以减免 21.42 元；如果标价为 239 元，那么使用优惠券 1 可以 减免 23.9 元，使用优惠券 2可以减免 20 元

20、，使用优惠券 3 可以减免 25.02 元，不满足题意.故 选 C.23.（2018 江西 4 月模拟）如图，在正方体ABCDABGD中，点P是BC的中点，动 点M在其表面上运动，且与平面A DC的距离保持不变，运行轨迹为S,M从P点出发，绕其 轨迹运行一周的过程中，运动的路程x与I=MA+MC+MD之间满足函数关系I=f（x），则 此函数图象大致是（）f)r/U)a14答案 D解析 连接AB,AC由题意可知点M的运行轨迹是BAC,不妨设M从P点出发，沿ICTA-BTP运行，设AC的中点为Q, AB的中点为R.可知M从P运行到C的过程中，MA+MD从小变大，且MC从小变大，即I从小变大，同理可

21、知M从C到Q I从大变小；M从Q到A I从小变大；M从A到R I从大变小；M从R到B,I从小变大；M从Bi到P, I从大 变小.故选 D.24.（2018 广东广州调研）某食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（单位：C）64, x0,日 10 时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示给出以下四个结论:1该食品在 6C的保鲜时间是 8 小时；2当x 6, 6时，该食品的保鲜时间t随着x的增大而逐渐减少;3到了此日 13 时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；4到了此日 14 时，甲所购买的食品已过了保鲜时间.其中，所有正确结论的序号是 _.答案解析某食品的保鲜时间t

22、（单位：小时）与储藏温度x（单位：C）满足函数关系式t且该食品在 4C时的保鲜时间是 16 小时， 24k+6= 16,即 4k+ 6 = 4,解64, x0,1564,xw0,得k=-1，At=1当x= 6 时，t= 8,故正确；当x 6,222X+6,x0,0时，保鲜时间恒为 64 小时，当x (0 , 6时，该食品的保鲜时间t随着x的增大而逐渐减少，故错误；此日 10 时，温度为 8C,此时保鲜时间为 4 小时，而随着时间的推移，1到 11 时，温度为 11C,此时的保鲜时间t= 2 2X11+ 6= 2 1.414(小时)，至U13 时,甲所购买的食品不在保鲜时间内，故错误；由可知，到

23、了此日14 时，甲所购买的食品已过了保鲜时间，故正确.故正确结论的序号为第2步电精做大题能力练*、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型.二、模拟大题1. (2018 安徽六校联考)随着新能源的发展，电动汽车在全社会逐渐普及，据某报记者了解，某市电动汽车国际示范区运营服务公司逐步建立了全市乃至全国的分时租赁服务体系，为电动汽车分时租赁在全国的推广提供了可复制的市场化运营模式.现假设该公司有750 辆电动汽车供租赁使用，管理这些电动汽车的费用是每日1725 元调查发现，若每辆电动汽车的日租金不超过90 元，则电动汽车可以全部租出；若超过90 元，则每超过 1 元,租不出的电动汽车就增加3 辆.

24、设每辆电动汽车的日租金为x(单位：元)(60wxw300,xN*)，用y(单位：元)表示出租电动汽车的日净收入(日净收入等于日出租电动汽车的总收入减去日管理费用).(1) 求函数y=f(x)的解析式；(2) 试问当每辆电动汽车的日租金为多少元时，才能使日净收入最多？解(1)当 60Wxw90,x N*时，y= 750 x 1725；当 90 xw300,x N 时，y= 750 3(x 90)x 1725 = 3x+ 1020 x 1725.f*750 x1725,60Wxw90,xN,故f(X)= =2*-3x+1020 x1725,90 xw300,xN.(2)对于y= 750 x 172

25、5, 60wxw90,x N,/y在60 , 90(x N)上单调递增，当x= 90 时，ymax= 65775.对于y= 3x+ 1020 x 1725= 3(x 170) + 84975, 9065775，故当每辆电动汽车的日租金为170 元时，日净收入最多.172.(2018 福建厦门质检)食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200 万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20 万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收1入Q

26、与投入a(单位：万元)满足P= 80 + 4 2a,Q=4a+ 120,设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元).求f(50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？解(1)由题意知甲大棚投入 50 万元，则乙大棚投入 150 万元，1 f (50) = 80 + 4 2X50+ 4X150+ 120 = 277.5(万元).(2)f(x) = 80 + 4 2x+ 寸寸( (200 -x) + 120= + 4 2x+ 250,依题意得20 xw180,1故f(x)=-4X+4 2x+250(20wxw180).1 1令t

27、=x贝 yt 25, 6 5 ,y=-4t2+ 4 2t + 250 =-4(t- 8 2)2+ 282,当t= 8 2，即x= 128 时，f(x)取得最大值，f(x)max= 282.所以甲大棚投入 128 万元，乙大棚投入 72 万元时，总收益最大，且最大总收益为282万元.3.(2018 河北衡水中学调研)已知某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万元，每生产 1 万部还需另投入 16 万元，设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售400-6x,040.x x(1) 写出年利润W万元)关于年产量x(万部)的函数解析式；(2) 当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大 利润.解(1)当 040 时，40000W=xR(