2020高三数学一轮复习(人教版文)：集合

1、第一章 集合与常用逻辑用语第一节集 合2019 考纲考题考情考编荽求考劭举例考向掠签耕與含的含重+兀累与集告的训于孟 慕1轻用叫幣法或搞建注挖*怙合蛋越昔帕了篥宅了杆电血耳空越的舍宝井会拿井Venn(卞战)罔夜込if.合的Jt黍与运算却厨Of耳总I - T荣件的补如皿全号欖n畢 a 的義系方臨曲占*全Nllt * T,tJ&合的空tfc込謀)Ml了*牝科卷I - Tifft合的交*井适算)別】7全国趙U TJ卑合的幷黒运真】.集台的需文歴左小2.集售间的壯眾羌乘乳事令的运算橙心當導放学远博.数为抽魚1. 集合的含义与表示方法(1)集合的含义：研究对象叫做元素，一些元素组成的总体叫做集合

2、。集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性。(2) 元素与集合的关系：属于，记为殳；不属于，记为？。(3) 集合的表示方法：列举法、描述法和图示法。(4) 常用数集的记法：自然数集 N，正整数集 N*或 N+,整数 集 Z,有理数集 Q,实数集 R。2. 集合间的基本关系微知识微知识小題练小題练-基础微械理-知识必备国报革 qq a q q丄a *.JICHU WSHL.1J I示/表、W语号符法己1.1基本关系EB &b2或B A匚亠AH真子集子少A勺巨tn 5-于B中属合B不集扌素是严元*1 k y-lx合亦一丈U- & A E全完素元的B合同庠相f.B匚AB-集空集合的集

3、素仏任I是fi, BF写糜枉空子舎的不合A0齐0, B= 0,1,2, 则AnB=( )A. 0B. 1C. 1,2D. 0,1,2解析 因为 A= x|x 1 0 = x|x 1, B= 0,1,2，所以AnB= 1,2。故选 Co答案 C5.(2017 全国卷山)已知集合 A= (x,y)|x2+ y2= 1, B= (x,y)|y=x，则 AnB 中元素的个数为(A. 3B. 2 C. 1解析2 | 2x + y = 1,联立方程组ly=x,解得x=2 ，y=x=2，y=2 ，所以交点坐标分别是2，故选 B解析：集合 A 表示单位圆上的点的集合，集合 B 表示直线 y=x 上的点的集合，

4、根据图象容易判断有两个交点，故选B答案 B三、走出误区微提醒：忽视集合的互异性致使出错；分类讨论不全面导致漏解。6. 已知集合 A= 1,3 , . m, B= 1 , m，若 B? A，贝 U m=_ o解析 因为 B? A,所以 m= 3 或 m= m,即 m= 3 或 m= 0或 m= 1，根据集合元素的互异性可知，mz1，所以 m= 0 或 3。答案 0 或 37. 已知集合M= x|x a= 0, N= x|ax 1 = 0，若MnN=N，则实数 a 的值是_o解析 易得 M = a。因为 MnN= N,所以 N? M，所以 N=?或 N= M，所以 a= 0 或 a= 1答案 0

5、或 1 或1考点一集合的含义及表示【例 1】(1)已知集合 A= 1,2,4，则集合 B = (x,y)|x A,y A中元素的个数为()A . 3B . 6微与点微与点C. 8(2)设集合 A=-D. 9一 4,2a 1, a?, B = 9 , a 5,1 a,B 中有唯一的公共元素 9 则实数 a 的值为_ 。解析集合 B 中元素有(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (2,4),(4,1), (4,2), (4,4)，共 9 个。故选 D。(2)因为集合 A， B 中有唯一的公共元素 9,所以 9 汝。 若 2a -1 = 9,即卩 a = 5,此时 A

6、= -4, 9,25 , B= 9,0，- 4，则集 合 A, B 中有两个公共元素4,9,与已知矛盾，舍去。若 a2= 9, 则 a= 3，当 a= 3 时，A= 4,9,5, B= 2, 2,9, B 中有 两个元素均为一2,与集合中元素的互异性矛盾，应舍去；当 a =3 时，A = 4, 7,9, B= 9 , 8,4，符合题意。综上 所述，a= 3。答案(1)D(2) 31.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么， 即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构 成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义。2 .利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素

7、 的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性。【变式训练】(1)(2019 湖北天门等三地联考)设集合 A= 1,2,3 ,B= 4,5 , M = x|x= a+ b, a A, b B，贝 U M 中元 素的个数为( )A. 3B. 4 C. 5D. 6(2)若集合 A=a 3,2a 1, a2 4，且一 3 A,则实数 a=解析(1)aQ1,2,3 , b4,5，则 M = 5,6,7,8，即 M 中元素的个数为 4。故选 B。(2)若 a 3= 3,贝 U a= 0,此时集合 A 中含有兀素一 3,1, 4,满足题意；若 2a 1 = 3,贝 U a = 1,此时集合 A 中 的三个

8、元素为4,- 3,- 3,不满足集合中元素的互异性；若 a2 4=-3,贝 U a=1，当 a= 1 时，集合 A 中的三个元素为一2,1, 3,满足题意；当 a = 1 时，不符合题意。综上可知，a =0 或a= 1。答案(1)B(2)0 或 1考点一集合的含义及表示【例 2】(1)已知集合 A= x|x2 2x 3 0, x N*，则集合 A 的真子集的个数为()A. 7B. 8 C. 15D. 16(2)已知集合 A= x| 2Wxw5, B= x|m+ 1 x 2m 1,若 B? A,则实数 m 的取值范围为_ 。解析(1)A=x|1wxw3, xN* = 1,2,3，其真子集有： ?

9、, 1 ,2 , 3 , 1,2 , 1,3 , 2,3，共 7 个。或因为集合 A 中有 3 个元素，所以其真子集的个数为 23 1 = 7(个)。(2)因为 B? A,所以若 B = ?,则 2m 1m+ 1，此时 mm+1,若 BM?，贝 U m+ 1 2,解得 2wmW3。由、可I-2m1w5。得，符合题意的实数 m 的取值范围为 mW3答案(1)A(2)( a,3【互动探究】本例(2)中的集合 A 改为 A= x|xv 2 或 x5,如何求解？解析 因为 B? A,所以当 B= ?时，即 2m 1m+ 1 时，m+ 1W2m 1,m5,m+ 1W2m 1,m 2,m 2,解得或1即

10、m4。综上2m 14,m2可知，实数 m 的取值范围为(一, 2)U(4,+a)答案(一a,2)U(4,+a)ft1. 空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解。2. 已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题。【变式训练】(1)(2019 湖北省部分重点中学联考)已知集合M = x|y= 1 x2, x R, N= x|x= m2, m M，则集合M, N 的关系是()A. M NB. N MC. M?RND. N?RM(2)(2019 长春市调研)已知集

11、合 M = 0,1，则满足条件 MUN= M 的集合 N 的个数为()A.1B. 2 C. 3D. 4解析 依题意知，M = x|y =：1 x2, x R = x| 1 x 1, N= x|x= m2, mCM = x|0 x 1，所以 NM。故 选 B。(2)由 M LN= M，得 N? M。又 M 中有 2 个元素，故其子集 的个数为 22= 4,所以集合 N 的个数为 4。故选 D。答案(1)B(2)D考点三 集合的运算微点小专题方向 1:集合的基本运算【例 3(2018 天津高考)设集合 A = 123,4 , B= 1,023, C= x R| 1Wx2，则(AUB)nC =()A

12、 . 1,1B . 0,1C. 1,0,1D. 2,3,4解析 由题意得，AUB= 1,0,123,4，又 C = xR| 1Wx2，所以(ALB)nC= 1,0,1。故选 Co答案 C集合的运算要注意数形结合，特别是数轴，Venn 图等。方向 2：利用集合运算求参数【例 4(1)(2019 南昌二中模拟)已知集合 A = x|y =4 x2, B= x|awxwa + 1，若 AUB= A,则实数 a 的取值范 围为()A.( s,3U2,+s)B. 1,2如图，集合 A 表示如图所示的所有圆点“”，集合 B 表示c. -2,1D.2,+x)(2)集合 A= 0,2 , a, B = 1 ,

13、 a2，若 AUB= 0,1,2,4,16, 则a 的值为()A. 0B. 1 C. 2D. 4解析 集合 A= x|y=_4 x2 = x|-2Wx 2,因为 AUa一 2,B= A,贝 U B? A，所以有所以一 2W a 1。故选 C。la+1w2,(2)由题意可得a, a2 = 4,佝，所以 a= 4。故选 D答案(1)C(2)D参数问题要注意分类讨论和等价转化。方向 3:集合的新定义问题【例 5】 已知集合 A=(x, y)|x2+ y2w1, x, y Z, B = (x, y)|x|w2, |y|w2, x, y Z，定义集合 AB= (刘 +沁,%+ y2)|(x, yjA,(

14、X2, y2) B，则AB 中元素的个数为()A. 77B. 49 C. 45D. 30解析如图所示的所有圆点“” +所有圆点“-”，集合 AB 显然是 集合(x,y)|x|w3, |y|w3, x, y中除去四个点( - 3, - 3),(3,3), (3,- 3), (3,3)之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整 数的点)，则集合 AB 表示如图所示的所有圆点“” +所有圆点“ ” +所有圆点“”，共 45 个。故 AB 中元素的个数为 45。故选C。答案 C解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：紧扣新定义。首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程

15、之中；用好集合的性质。解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素。【题点对应练】1.(方向 1)设集合 M = x|x4，集合 N= x|x2- 2x0，则下列关系中正确的是()A.MUN=MB.MU(?RN)=MC. NU(?RM)=RD.MnN=M解析 因为 M = x|x4 ,N = x|0 x2，所以 M LN= x|x4 =M ,A 正确；M Ut?RNI= R 工 M , B 错误；NU?RM)=x|0 x4工 R, C 错误；MnN= x|0 x0，集合 B = x|x2-2ax-10，若 AnB 中恰含有一个整数，则实数 a 的取值范围是()(3卫 4、A., 4丿B.

16、(4,3 丿3、C. -4，+TOD(1, +TO)解析 A = x|x1 2+ 2x 30 = x|x1 或 xv 3，设函数 f(x)=x2 2ax 1,因为函数 f(x) = x2 2ax 1 图象的对称轴为直线 x=a(a0), f(0) = 10,f3a434以/即 4= a0,1. (配合例 1 使用)设集合 A= 0,123 , B= x| x A,1 x?A ，则集合 B 中元素的个数为 ()A. 1B. 2C. 3D . 4解析 若 x 田，则xCA,故 x 只可能是 0, 1, 2, 3, 当 0田时，1 0 = 16A;当一 1 田时，1 ( 1) = 23;当一 2 田

17、 时，1 ( 2) = 33;当一 3 时，1 ( 3)= 4?A,所以 B = 3 ,故集合B 中元素的个数为 1。故选 A。答案 A2. (配合例 1 使用)若集合 A= x R|ax2+ ax+ 1 = 0中只有一个元素，则 a=()A. 4B. 2C. 0D. 0 或 4解析 由题意知方程 ax2+ ax+ 1 = 0 只有一个实数解。当 a =0 时，方程无实数解；当 a 工 0 时，= a2 4a= 0,解得 a= 4(a =0 不合题意舍去)。故选 A。答案 A3. (配合例 4 使用 )已知集合 A= x|y= lg(x x2) , B= x|x2cx0，若 A? B,则实数

18、c 的取值范围为()A . (0,1B . 1 , + )C. (0,1)D. (1 , + )解析 解法一：由题意知, A= x|y= lg(xx2) = x|x x20=x|0 x1 , B= x|x cx0 = x|0 x 1。故选 B。A- o-o- 01 c解法二：A= x|y= lg(x x2) = x|x x20 = x|0 x1,取 c =1,得 B= x|0 x1，贝 U A? B 成立，可排除 C, D ;取 c= 2, 得 B=x|0 x0, Q= y|y= 2凶，x R = y|yw2,所以 PnQ = y|y 0ny|yW2= y|Owyw2。【变式训练 1】 已知集

19、合 M = (x, y)|y= x2+ 1, x R, N=(x, y)|y= x+ 1, x R，贝UMnN =_。而可知 MnN = (0,1) , (1,2)答案(0,1) , (1,2)二、因忽视区间端点而致误【典例 2】已知集合 A= x|2wxw3，集合 B= x|axa+ 4，若 AnB = ?，求实数 a 的取值范围。【错解】因为 A= x|2wxw3, B= x|axa+ 4，要使AnB= ?，需满足 a+ 43,即 a3,所以实数 a 的取y= x2+ 1,解析解方程组ly= x+ 1x= 0,x= 1,得或从y= 1y= 2,值范围是（g,2）口 3,+）。【剖析】 上述

20、解法的错误原因是忽视了集合 A = x|2wxw3的两个端点值 2 和 3，事实上，当 a = 3 时，B = x|3vx7，满足 AnB= ?。当 a+ 4 = 2 即 a = 2 时，B= x| 2x2，满足 AnB= ?。【正解】因为 A= x|2wxw3, B= x|ax3 或 x 3 ,T= x|awxwa+ 8，若 SUT= R，则实数 a 的取值范围是_。a+ 83,解析要使 SUT= R，只需解得5waw 3。law 3,答案5, 3三、因忽视空集的特殊性而致误【典例 3】 已知集合 A = x|x2 3x+ 2= 0, B = x|x2 ax+ a 1 = 0, C= x|x2 mx+ 2= 0，且 AUB= A, AnC= C, 求实数 a 及 m 的取值范围。【错解】 由题意得，A=