2020年高考文数二轮专题复习：题型2第6讲第2课时圆锥曲线综合问题含解析

1、第 2 课时圆锥曲线综合问题考情分析圆锥曲线综合问题包括：探索性问题、定点与定值问题、范围与 最值问题等这类问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，参数处理为核 心，需要运用函数与方程、不等式、平面向量等诸多知识求解，试题难度较大.热点题型分析热点 1 定点、定值问题方法结论V1直线恒过定点是指无论直线如何变动，必有一个定点的坐标适合这条直线 的方程问题就归结为用参数把直线方程表示出来，无论参数如何变化，这个方 程必有一组常数解.2定值的证明和探索一般是先利用特殊情形确定定值，再给出一般化的证明 或直接证得与参数无关的数值，在这类问题中，选择消元的方法是非常关键的.【题型分析】(2019 全

2、国卷I)已知点 A，B 关于坐标原点 O 对称，|AB|= 4，OM 过点 A，B 且与直线 x+ 2 = 0 相切.(1) 若 A 在直线 x+ y= 0 上，求OM 的半径.(2) 是否存在定点 P，使得当 A 运动时，|MA|MP|为定值？并说明理由.解(1)因为。M 过点 A，B,所以圆心 M 在线段 AB 的垂直平分线上.由已知 A 在直线x+ y= 0 上，且 A，B 关于坐标原点 O 对称，所以 M 在直线 y=x 上，故 可设 M(a, a).因为。M 与直线 x+ 2 = 0 相切，所以。M 的半径为 r = |a + 2|.由已知得|AO|= 2.又 MO 丄 AO,故可得

3、 2a2+ 4= (a+ 2)2，解得 a = 0 或 a=4.故OM 的半径 r = 2 或 r = 6.(2)存在定点 P(1,0)，使得|MA|MP|为定值.理由如下：设 M(x，y)，由已知，得OM 的半径为 r = |x+ 2|，|AO|= 2.由于 MO 丄 AO，故可得 x2+ y2+ 4= (x+ 2)2，化简，得 M 的轨迹方程为 y2= 4x.因为曲线 C: y2= 4x 是以点 P(1,0)为焦点，以直线 x= 1 为准线的抛物线，所以 |MP|= x+ 1.因为 |MA| |MP|= r- |MP| = x+ 2-(x+ 1)= 1,所以存在满足条件的定点 P.【通法指

4、导】1. 动直线过定点问题的解法：设动直线方程(斜率存在)为 y= kx+ m,由题设 条件将 m 用 k 表示为 m= f(k)，借助于点斜式方程思想确定定点坐标.2. 定值问题的解法(1) 首先由特例得出一个值(此值一般就是定值).(2) 将问题转化为证明待定式与参数(某些变量)无关；或先将式子用动点坐标或 动直线中的参数表示；再利用其满足的约束条件消参得定值.【针对训练】(2018 北京高考)已知抛物线 C: y2= 2px 经过点 P(1,2).过点 Q(0,1)的直线 I 与抛物线 C 有两个不同的交点 A, B,且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N.(1)

5、求直线 I 的斜率的取值范围；1 1设 o 为原点，QM= Q),QN=qO,解 因为抛物线 y2= 2px 经过点 P(1,2),所以 4= 2p,解得 p = 2,所以抛物 线的方程为 y2= 4x.由题意可知直线 I 的斜率存在且不为 0,设直线 I 的方程为 y=c 2/y=4x,2 22kx+ 1(kM0).由得 k x + (2k- 4)x+ 1 = 0.依题意有 = (2 k - 4)-y=kx+1,4Xk2X10,解得k0或0k1.又PA, PB与y轴相交， 故直线I不过点(1, -2)从 而3.所以直线 I 的斜率的取值范围是(, 3)U(-3, 0)U(0,1).2k-41

6、(2) 证明：设 A(X1, y1), B(X2, y2).由(1)知 X1+ X2二一齐 L, X1X2= k2.直线 PAy1 2的方程为 y- 2=x-1).令 x= 0,得点 M 的纵坐标为kx1+ 1厲+ 2.同理可得点X1 1N 的纵坐标为 yN=彳+ 2.由 QM =XQO, QN=QO,X2 1得 入=1yM, q=1-1111X1 1X2 1-yN.所以)+=+ .=+=入Q1 yM1 yN(k 11(k 1 )X2yM=y1+ 2X1- 122k 42+212x1x2 X1+ X2k1 1k2 3热点 2 范围、最值问题方法结论V解决有关范围、最值问题时，先要恰当地引入变量

7、(如点的坐标、角或斜率等), 建立目标函数，然后利用函数的有关知识和方法求解.具体可采用如下方法：(1)利用判别式构造不等式，从而确定参数的取值范围；利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个 参数之间建立相等关系；(3) 利用已知或隐含的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(4) 利用函数值域的求法，确定参数的取值范围.【题型分析】2, 4，B 2, 4，抛物线上21x ._41k=1=x2,x+ 2因为一4x0).所以 PQ 丄卩 6,即厶 PQG 是直角三角形.22uk k + 1由得 |PQ|= 2u .1 + k5, |PG|=2+k2，所以 PQG 的

8、面积218k 1 + kS二 1PQ| |PG= 1 + 2/ 2+了1+21+k设 t=k+则由 k0,得 t2,当且仅当 k= 1 时取等号.尸 kx, 由右号得 x= 1 +2k1 2设 u=22，则 P(u, uk), Q( u, uk), E(u,0).1+ 2kkk于是直线 QG 的斜率为 2，方程为 y=k(x u).ky= 2xu， 由22冷+y2= 14 十 2，得(2 + k2)x2 2uk2x+ k2u2 8= 0.(*)设G(XG, yG)，则u 和XG是方程(*)的解, 故XG=U二于，由此得 yG=2+R.从而直线 PG 的斜率为鼎 uk IF1k.因为 S= 1+

9、2t在2，+x)上单调递减,16所以当 t= 2,即 k= 1 时，S 取得最大值，最大值为 g16因此， PQG 面积的最大值为热点 3 探索性问题方法结论V圆锥曲线中的探索性问题常考查结论存在和条件探究两种题型，一般的解题 思路如下：(1) 结论存在型：即证明在给定的条件下，一些给定的结论是否存在.解题时 一般先对结论作肯定假设，然后结合已知条件进行推证，若推证无矛盾，则正确；若推出矛盾，则否定此结论.过程可归纳为：假设 一推证一定论；(2) 条件探究型：即给出结论，需要分析出具备的条件，并加以证明.解题时 一般从结论出发，依据其他已知条件，通过必要的逻辑推理，逐步找到结论成立 的等价条件

10、，即“执果索因”.【题型分析】2 2(2019 全国卷U)已知 F1, F2是椭圆 C：拿+b= 1(ab0)的两个焦点，P 为 C上的点，0 为坐标原点.(1)若厶 P0F2为等边三角形，求 C 的离心率；如果存在点 P,使得 PF1丄卩卩2， 且厶 F1PF2的面积等于 16,求 b 的值和 a 的取值范围.解 连接 PF1.由厶 P0F2为等边三角形可知在 F1PF2中，/ F1PF2= 90 |PF2|=C, |PF1|=J3C,于是 2a= |PF1|+ |PF2|= (Q3+ 1)c，故 C 的离心率为 e=字血a-1.由题意可知，满足条件的点 P(x, y)存在当且仅当彳2 21

11、y yx y2|y|= 16,= 1, a2+1,2x+CxCa b即 c|y| = 16,2 | 2 2x + y =C，2 2拿+1a bb4由及 a2= b2+ c2,得 y2=y.又由，知 y2=啰，故 b=4.由及 a2= b2+C得 x2= |2(c2- b2),所以 c2b2,从而 a2= b2+ c22b2= 32,故 a4 2.当 b = 4, a4 2 时，存在满足条件的点 P.所以 b = 4, a 的取值范围为4 2 , + )【通法指导】解决探索性问题时要注意： 先假设存在， 推证满足条件的结论，若结论正确 则存在，若结论不正确则不存在.1当条件和结论不唯一时，要分类

12、讨论.2当给出结论，推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.3当条件和结论都未知时，按常规方法解题较难，因此要开放思维，采取其 他途径.【针对训练】2 2设椭圆 M: |2+治=1(ab0)的左、右焦点分别为 A(- 1,0), B(1,0), C 为椭圆M 上的点，且/ ACB=n，SABC3.(1)求椭圆 M 的标准方程；设过椭圆 M 右焦点且斜率为 k 的动直线与椭圆 M 相交于 E, F 两点，探究在 x 轴上是否存在定点 D，使得 DE DF 为定值？若存在，试求出定值和点 D 的坐标；若不存在，请说明理由.解 在厶 ABC 中， 由余弦定理得 AB2= CA2+ CB2-2CA

13、 CBcosZACB= (CA + CB)2-3CA CB= 4.13f3又 SMBC= qCA CBsin/ ACBCA CB = 3, CA CB= 4,代入上式得 CA+ CB= 2 2.椭圆长轴 2a= 2 2，焦距 2c= AB= 2.2所以椭圆 M 的标准方程为号+ y2= 1.设直线方程为 y= k(x-1), E(x1, y1), F(x2,舶,c 2X 2.I+汁6,6 + 2k2联立y= kx-1 .消去 y,得(1+ 2k7 i 8)x9 10-4k2x+ 2k2 2 = 0, 二 8k2+ 80,4k22k2 2-X1+x2= 1+k2，X1X2= 1+k2.假设在 x

14、 轴上存在定点 D(Xo,O),使得 DE DF 为定值，二 DE DF = (xi xo, yi) (x2 xo, y2)2=xix2 xo(xi+ X2)+ xo+ yiy222=XiX2 Xo(xi+ X2)+ xo+ k (xi i)(X2 i)2 2 2 2=(i + k )xiX2 (xo+ k )(xi+ X2) + xo+ k2xo 4xo+ i k2+ Xo 21由得直线 AB 的方程为尸 tx+仓y=tx+2，2由2可得 x 2tx 1 = 0.要使DEDF为定值，则DEDF的值与 k 无关，=28252xo 4xo+ i = 2(xo 2),解得 xo= 4,此时 DED

15、F= 为定值，定点为 4, o .专题作业 x2ii.(2oi9 全国卷川)已知曲线 C: y=2, D 为直线 y=上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别为 A, B.(1)证明：直线 AB 过定点；(2) 若以 E o,5为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求四 边形ADBE 的面积.解(i)证明：设 D t, 2 , A(xi, yi),则 x2= 2yi.iyi+2X尸 2于是 xi+ x2= 2t, X1X2= 1 ,2y1+ y2= t(X1+ X2)+ 1= 2t + 1,|AB|=1+t2X1X2|=1+t2XX1+X22-4X1X2=2(t2+1

16、).设 d1, d2分别为点 D, E 到直线 AB 的距离，贝Ud1= #t2+ 1，d2=;.7Vt2+ 1因此，四边形 ADBE 的面积S= 2|AB|(d1+ d2)= (t2+ 3) t2+ 1.设M为线段 AB 的中点，贝UM(t，t2+2j因为 EM 丄 AB,而 EM = (t，t2 2)，AB 与向量(1, t)平行，所以 t + (t2 2)t= 0，解得 t = 0 或 t=.当 t= 0 时，S= 3;当 t= 1 时，S= 4 迈.因此，四边形 ADBE 的面积为 3 或 4,2.2 22. (2017 全国卷I)已知椭圆 C: az+ 活=1(ab0)，四点 P1(

17、1,1), P2(0,1)， P3 1，扌3，卩)，号3中恰有三点在椭圆 C 上.(1)求 C 的方程；设直线 I 不经过 P2点且与 C 相交于 A，B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的 斜率的和为一 1，证明：l 过定点.解(1)由于 P3，P4两点关于 y 轴对称，故由题设知椭圆 C 经过 P3，P4两点.1113又由 a2+b2二+荷，知椭圆C不经过点 P1，a b a 4b所以点 P2在椭圆 C 上.2故椭圆 C 的方程为才+ y2= 1.(2)证明：设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 ki, k2.如果 I 与 x 轴垂直，设 I: x=t,由题设知 tM0,且|

18、t| 0.设 A(X1, y1), B(x?, y2),ntt8km4m2 4则x1+ X2= 4+1,x1x2=4k2+ 1.当且仅当 m 1 时，0,于是 I: y=号 x+ m,即 y+ 1 =号(x-2),所以 I 过定点(2， 1).3.(2019 北京高考)已知抛物线 C: x2= 2py 经过点(2, 1).a2=解得2=4,1.y1 1 y2 1 kx1+ m 1 kx2+ m 1+x2而 k1+ k2=+=X1X22kx1X2+ m 1 X1+ X2X1X2.由题设 k1+ k2= 1,故(2k+ 1)X1X2+ (m 1)(x1+ X2) = 0.阳4m 48kmX10,解

19、得 k=m+ 12(1) 求抛物线 C 的方程及其准线方程；(2) 设 0 为原点，过抛物线 C 的焦点作斜率不为 0 的直线 I 交抛物线 C 于两点M，N,直线 y= 1 分别交直线 0M , ON 于点 A 和点 B.求证：以 AB 为直径的圆 经过 y轴上的两个定点.解 由抛物线 C: x2二一 2py 经过点(2, 1),得 p = 2.所以抛物线 C 的方程为 x2二4y,其准线方程为 y= 1.证明：抛物线 C 的焦点为 F(0, 1).设直线 I 的方程为 y= kx 1(kM0).设 M(x1, y1),N(X2,y2)，贝 U x1x2= 4. 直线0M的方程为 y=齐.令

20、 y= 1,得点A的横坐标XA=翌.y1x2同理得点 B 的横坐标XB= y.y2设点 D(0, n),则 DA =打，一 1 n ,DB = 一 yj,1n,f f X1x2 ,八2X1Q,八2DA DB=+ (n+ 1)2=2龙+ (n+ 1)2yy )iMf x2 !10令 DA DB = 0,即一 4+ (n+ 1)2= 0,得 n = 1 或 n= 3.综上，以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的定点(0,1)和(0, 3).2 214已知椭圆 C:拿+ *= 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1, F2，离心率为 3, 点 P 在椭圆 C 上，且 PF1F2的面积的最大值为 2 2.(1)求椭圆 C 的方程；已知直线 I: y= kx+ 2(kM0)与椭圆 C 交于不同的两点 M , N,若在 x 轴上 存在点10 4 丿 I 4 丿y= k