2020年高考文数(人教版)教学案第5讲函数的值域与最值

1、第 5 讲函数的值域与最值1 掌握求值域或最值的基本方法，会求一些简单函数的值域或最值.2 建立函数思想，能应用函数观点(如应用函数的值域、最值 )解决数学问题._知识梳理1.函数的值域值域是 函数值 的取值范围，它是由定义域和对应法则所确定的，所以求值域时要注意定义域2.函数的最值最值最大值最小值条件设函数 f(x)的定义域为 1，如果存在实数M 满足(1)对于任意的 x I，都有 f(x)WM ;(2)存在 x 1，使f(x0)= M(1)对于任意的 x I，都有 f(x) M ;(2)存在 x 1，使f(x0) = M结论M 是函数 y= f(x)的最大值M 是函数 y = f(x)的最

2、小 值1 .基本函数的值域一次函数 y= kx+ b (kz0)的值域为R R ;(2) 二次函数 y= ax2+ bx+ c(az0)的值域：，+4ac b2当 a0 时，值域为 ,+a)；4a4ac b2当 av0 时，值域为(一a,；4a，k(3) 反比例函数 y=_(xz0)的值域为 y R R，且yM0 ;x(4) 指数函数 y= ax(a 0 且 az1)的值域为(0, +a)；(5) 对数函数 y= logax (a 0 且 a丰1, x 0)的值域为R R ;(6) 正、余弦函数的值域为1,1，正切函数的值域为 R R .2.若 f(x)A 在区间 D 上恒成立，则等价于在区间

3、D 上，f(x)minA;若不等式 f(x)B 在区间 D 上恒成立，则等价于在区间D 上，f(x)max M ; q： M 是函 数 f(x)的最小值.贝 U p 是 q 的(B)A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件臨3 对？x R R，都有 f(x)AM = M 是函数 f(x)的最小值；M 是函数 f(x)的最小值？对? x R R，都有 f(x) M.所以 p 是 q 的必要不充分条件.3. (2016 全国卷n)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y= 10lg x的定义域和值域相同的是(D)A . y = x B. y= lg xx1C

4、.尸2 D.尸x03 函数 y= 10lg x的定义域与值域均为(0, +m).函数 y=x 的定义域与值域均为(8,+).函数 y=lg x 的定义域为(0, +)，值域为(8,+).函数 y=2x的定义域为(8,+8)，值域为(0, + 8).1函数 y=x 的定义域与值域均为(o,+8).故选D.2x 14.函数 y= +1 的值域是(C).I IA . R R B . y|y 1, y R RC . y|y 2, y R R D. 22x 1因为 y=x+1又因为一丰0，所以 2丰2,即卩 yz2.2 x+ 1 3x+ 13x+ 1x+ 1x+15A f(x)max=2, f(x)无最

5、小值B f(X)min= 1 , f(x)无最大值C f(x)max=1, f(x)min= 1D f(x)max=1, f(x)min=0GE3 f(x) = x 1-x 的定义域为0,1,易知 y= x 与 y - 1-x 在0,1上是增函数，所以函数 f(x) = x 1-x 在0,1上是增函数，所以 f(X)max= f(1) = 1 , f(x)min= f(0) =一 1，故选 C.5 . (2018 南阳月考)已知 f(x) = x . 1 x,则(C)高频 _-求函数的值域或最值OH 求下列函数的值域：y= x2+ 2x, x 0,3;2x+ 1y=(3)f(x)= 2x+ l

6、og3X, x 1,3.(1)因为 y= (x- 1)2+ 1, x 0,3,结合函数图象可知，所求函数的值域为3,1.20 3)+ 7 因为尸厂所以所求函数的值域为y R R|yM2.由于 f(x)为增函数，所以 f(1) 1，所以 02,1 + x2 一所以一 1 0)，得 x=,1 t121所以 y=石t= 2(t +1) +1W2(t0)，1所以 y (-8, 2】分段函数的值域或最值数 a 的取值范围是因为当 x 4.f(x)的值域为4 , +8),所以当 x2, a1 时，3+ logax3 + loga24,所以 loga2 1,所以 1aW2;当 0a1 时，3+ logax3

7、 + loga2，不合题意.故 a (1,2.(1,2 (1)本题主要考查单调性的应用，分段函数的值域等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力及分类讨论能力.分段函数的值域为函数f(x)在各个段上函数值域的并集.本题 f(x)在 x2 这段的值域是4 ,+8)的子集就行 了.fx2,xW1，12.(经典真题)已知函数 躯)=&+66x1则ff( 2) = ?, f(x)的最小0 且a丰1)当 xW1 时，f(x)min= 0；当 x 1 时，f(x) = x+ - 6 2 6 6,X当且仅当 x= 6，即 X= ,6 时，等号成立.所以 f(x)mi n= 26 60对于一切 x (

8、0 ,扌成立，则 a 的最小值为( )A . 0 B25C. 2 D . 3从题目条件的切入点不同可以有多种方法求解，主要有：配方法、分离变量法,F 面用分离变量法进行求解.1因为 x (0, 2】，所以111515因为 y = x+ X 在 (0, 2】上单调递减，在 X= 2 处取得最小值 2 所以(X + X)W5故 a 的最小值为2S3C(1)恒成立问题常转化为最值问题.一般地，若f(x)A 在区间 D 上恒成立，则等价于在区间 D 上，f(x)minA;若不等式 f(x)B 在区间 D 上恒成立，则等价于在区间D 上,f(x)max0 ,所以 ax2+ xw1 可化为 aw文一寸1

9、1要使 aw-2-对任意 x (0,1恒成立，4设 t=-，因为 x (0,1，所以 t 1,2彳X 11a = xX 1 1令 f(x) = X2 X, x (0,1，则只需要 aw f(x)min.所以当 t = 1 时，(一 t)min= 0 ,即 X = 1 时，f(X)min= 0.所以 aw0,即实数 a 的取值范围为(g, 0.閱时小结1 函数值的集合叫做函数的值域，值域是由定义域和对应法则所确定的，因此，在研 究函数的值域时，既要重视对应法则的作用，又要特别注意定义域对值域的制约作用.2求值域的具体方法很多，如配方法、禾 U 用函数的单调性、不等式法等，但没有通用 的方法和固定模式，要靠在学习过程中不断积累，抓住特点，掌握规律要记住各种基本函数的值域，总结什么结构特点的函数用什么样的方法求值域，以及使用各种方法的注意事项，并在解决求值域问题时注意选择最优