2020年江苏省高考数学模拟试卷(5)

1、第1页（共 20 页）2020年江苏省高考数学模拟试卷（5）一填空题（共 14 小题，满分 70 分，每小题 5 分）1. （ 5 分）设（1+3i）2= a+bi，贝Va+b=_2. （ 5 分）已知全集 U = 1 , 2, 3, 4，集合 A = 2 , 3，集合 B = 1 , 3，则 An（?UB）（5 分）已知 m - 1, 0, 1, n - 2, 2，若随机选取 m, n,则直线 mx+ny+1 = 0 上存在第二象限的点的概率是（5 分）某大学对 1000 名学生的自主招生考试水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图（如图），则这 1000 名学生在该次自主招生水平测试中

2、成绩不低于80 分的学生数是3.4.第2页（共 20 页）的一个交点，若？?= 3?则 QF |=_.7. （ 5 分）已知有相同焦点 Fl、F2的椭圆和双曲线交于点 P, |F1F2|= 2|P0|,椭圆和双曲线1 1的离心率分别是 ei、e2，那么幵+語=_ （点 0 为坐标原点）.& （ 5 分）四棱锥 P - ABCD 的底面 ABCD 为平行四边形，N 为线段 PB 的中点，则三棱锥 P-ANC 与四棱锥 P - ABCD 的体积的比值为 _.9. （5 分）已知点 P（2,2込）为抛物线 y2= 2px 上一点，那么点 P 到抛物线准线的距离是 _10.（ 5 分）已知圆S

3、 的值为2字，则判断框内的整数 a 为29（5 分）已知抛物线 C: y2= 8x 的焦点为 F，准线为 I, P 是 I 上一点，Q 是直线 PF 与 C6.第3页（共 20 页）柱的底面直径与高都等于球的直径，若该球的表面积为48n,则圆柱的侧面积为_.11.（5 分）设x表示不超过 x 的最大整数，如n= 3, - 3.2 =- 4，则Ig1+lg2+lg3+lg100 =_ .12._（5 分）设曲线 y= 箸在点（2, 3）处的切线与直线 ax+y+1= 0 垂直，则 a=_ .13. （5 分）已知圆 C: （x+2）2+y2= 4,直线 l: kx-y- 2k= 0 （ kR）,

4、若直线 I 与圆 C 恒有公共点，则实数 k 的最小值是 _.?+2?+? 2 ? 0（x）w凶恒成立，则 a 的取值范围是 _.二.解答题（共 6 小题，满分 90 分）15. （14 分）已知钝角厶 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且有（v2a - c）cosB =bcosC.（1）求角 B 的大小；-8 ?（2）设向量?= （cos2A+1, cosA）, ?= （1, -8）,且？丄?求 tan （= + A）的值.5416.（14 分）如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1中.（I）求证：AC 丄 BD1；（n）是否存在直线与直线AA1, CC1, BD

5、1都相交？若存在，请你在图中画出两条满足条件的直线（不必说明画法及理由）；若不存在，请说明理由.41第4页(共 20 页)17.(14 分)已知函数 f (x)= x2+ (k+1) x+k ( k 为常数).(I)当 k=2 时，解关于 x 的不等式 f(x)0;18.(16 分)在海岸 A 处，发现北偏东 45。方向，距离 A 为(V3 - 1)海里的 B 处有一艘走私船，在 A 处北偏西 75。方向，距离 A 为 2 海里的 C 处有一艘缉私艇奉命以 10 3 海里/时的速度追截走私船，此时，走私船正以10 海里/时的速度从 B 处向北偏东 30方向逃(I)问 C 船与 B 船相距多少海

6、里？ C 船在 B 船的什么方向？(H)问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间.19.(16 分)已知椭圆?2+?2= 1(?0)的左顶点为 A,右焦点为 F,右准线为 I, I 与 x 轴相交于点T,且 F 是 AT 的中点.(1)求椭圆的离心率；(2)过点 T 的直线与椭圆相交于 M , N 两点，M , N 都在 x 轴上方，并且 M 在 N, T 之 间，且 NF= 2MF .?1记 NFM , NFA 的面积分别为 S1, &,求一；?220v41(H)若k0，在 x (0, +s)时，不等式?(?)+1?8 恒成立,k 的取值范围.第5页(共 20 页)2

7、若原点 0 到直线 TMN 的距离为-，求椭圆方程.第6页（共 20 页）1 2 - *20.（16 分）在数列an中，a1= 1, ?+i= 1 - 禱?，?=2?，其中 nN .（1）求证：数列bn是等差数列；（2） 求证：在数列an中对于任意的 nN*，都有 an+1Van;（3） 设?= （v2）?,试问数列cn中是否存在三项，它们可以构成等差数列？如果存在, 求出这三项；如果不存在，说明理由.其中 010.?+1 ?+1 ?+1 2六.解答题（共 2 小题，满分 20 分，每小题 10 分）24.（10 分）如图，已知四边形 ABCD 由 Rt ABC 和 Rt BCD 拼接而成，其

8、中/ BAC =ZBCD = 90,/ DBC = 30, AB= AC, ?= 2 v3，将 ABC 沿着 BC 折起,（1 ）若?=后，求异面直线 AB 和 CD 所成角的余弦值；（2）当四面体 ABCD 的体积最大时，求二面角 A- BC - D 的余弦值.第8页（共 20 页）(2)求展开式中系数最大的项.256.(1)求展开式中有理项的个数;25.第9页(共 20 页)2020年江苏省高考数学模拟试卷（5）参考答案与试题解析填空题（共 14 小题，满分 70 分，每小题 5 分）（5 分）设（1+3i）2= a+bi，贝 V a+b= - 2【解答】 解：由（1+3i）2= 1+6i

9、 - 9=- 8+6i= a+bi,?=-8 得?= 6 ,a+b =- 2.故答案为：-2.（5 分）已知全集 U = 1 , 2, 3, 4，集合 A = 2 , 3，集合 B = 1 , 3，则 An（?uB）2【解答】 解：全集 U = 1 , 2, 3, 4，集合 A = 2 , 3，集合 B = 1 , 3,- ?UB= 2 ,4, An（?uB）=2.故答案为：2.1.2.3.（5 分）已知 m - 1, 0,1, n - 2, 2，若随机选取m, n,则直线 mx+ny+1 = 0 上存在第二象限的点的概率是【解答】解：Im - 1 , 0, 1 , n - 2, 2，随机选取

10、m, n,4.基本事件总数 n = 3X2= 6,.直线 mx+ ny+1 = 0 上存在第二象限的点,（ m, n 可能取值为（0,- 2） （- 1,- 2） （1, 2）,直线 mx+ ny+1 = 0 上存在第二象限的点的概率是:42P= =63故答案为：彳（1,- 2）,（5 分）某大学对 1000 名学生的自主招生考试水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图（如图），则这 1000 名学生在该次自主招生水平测试中成绩不低于80 分的学生数是 300第10页（共 20 页）29-11【解答】解：= 1-召，2929由程序框图可知，输出结果是首项为若输出的 S 的值为 1-J9,2

11、9则判断框中的整数 a 为 10.故答案为：10.【解答】解：由频率分布直方图得：这 1000 名学生在该次自主招生水平测试中成绩不低于(0.020+0.010)X10=0.3,这 1000 名学生在该次自主招生水平测试中成绩不低于80 分的学生所占频率为:80 分的学生数是：1000X0.3=300.故答案为：300.S 的值为餐，则判断框内的整数 a 为 102911，公比为-的等比数列的前 k 项和,22第11页(共 20 页)6. （ 5 分）已知抛物线 C: y2= 8x 的焦点为 F，准线为 I, P 是 I 上一点，Q 是直线 PF 与 CT T8的一个交点，若？?=3?则|QF

12、|=.3-【解答】解：设 Q 到 I 的距离为 d,则|QF|= d, ?= 3? |PQ|= 2d,不妨设直线 PF 的斜率为,F ( 0, 2),直线 PF 的方程为 y= v3 （x-2）,与 y2= 8x 联立可得 x=8- |QF|= d=3,故答案为：3F1、F2的椭圆和双曲线交于点P, |F1F2|= 2|P0|,椭圆和双曲线1 1的离心率分别是 e1、e2,那么幵+語=2 （点 0 为坐标原点）.T|FiF2|= 2|PO|,.PF1丄 PF2,则 |?2+ |?2= 4?, 4a2 4c2= 4c2- 4m2,即卩 a2+m2= 2c2.1111?+?22?宁宁7. （ 5

13、分）已知有相同焦点把|PF1|+|PF2|= 2a 两边平方得,4? + 2|?|? = 4?,把|PF1|- |PF2| = 2m 两边平方得,4? - 2|?|? = 4?,贝 y|PFI|+|PF2|=2a, |PF1|- |PF2|= 2m,a,双曲线实半第12页（共 20 页）理理+亘亘=-?=-?= =石石= =2.?2故答案为：2.& （ 5 分）四棱锥 P - ABCD 的底面 ABCD 为平行四边形，N 为线段 PB 的中点，则三棱锥 P【解答】解：设平行四边形 ABCD 的面积为 2S,则三角形 ABC 的面积为 S;设四棱锥 P-ABCD 的高为 2h,则三棱锥

14、N - ABC 的高为 h, N 为线段 PB 的中点，1二 VP-ANC= VB-ANC= VN-ABC=3?314又？?-?=?3?2?2? =3?1評？1三棱锥 P-ANC 与四棱锥 P- ABCD 的体积的比值为4=-.?431故答案为：-.49.（ 5 分）已知点 P （2, 2）为抛物线 y2= 2px 上一点，那么点 P 到抛物线准线的距离是3.【解答】解：点 P （2, 2）为抛物线 y2= 2px 上一点，（2V2）2= 2pX2,解得 p= 2,抛物线焦点坐标为（1, 0）,准线方程为 x=- 1 ,点 P 到抛物线的准线的距离为 2+1 = 3.故答案为：3.10.（ 5

15、 分）已知圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若该球的表面积为48n,则圆柱的侧面积为48n.【解答】解：设球的半径为 r，贝 U 4n2= 48n,第13页（共 20 页）- r =2V3,圆柱的底面半径为 2V3，高为 4V3,圆柱的侧面积 S= 2?X2V3X4V3 = 48n.故答案为：48n第14页（共 20 页）11. (5 分)设x表示不超过 x 的最大整数，如n = 3, - 3.2 =- 4，则Ig1+lg2+lg3+ +lg100 =92 .【解答】 解：TIg1 = Ig2 = Ig3 = -Ig9 = 0,Igi0 = Igii=+Ig99 = 1,Ig100 = 2./

16、. Ig1+ Ig2+ Ig3+Ig100=90 x1+2=92.故答案为：92.12. （5 分）设曲线 y= 潇在点（2, 3）处的切线与直线 ax+y+1= 0 垂直，则 a=-舟【解答】解： y=薯,-2(?-1)曲线 y= 矣在点（2, 3）处的切线的斜率k= - 2,?-1（2-1）直线 ax+y+1 = 0 的斜率 k=- a=2，即 a= -2.故答案为：-2.13. （5 分）已知圆 C: （x+2）2+y2= 4,直线 I: kx - y - 2k= 0 （ kR）,若直线 I 与圆 C 恒有 公共点，则实数 k 的最小值是 -乞.3-【解答】解：由题意，圆心到直线的距离d

17、= =L 2,巾?+1V3v3-3 k 歹，实数 k 的最小值是-壬，3V3故答案为-孑?+2?+? 2 ? 0（x）凶恒成立，则 a 的取值范围是18.【解答】解：当 x 0 时，函数 f（x）= x2+2x+a - 2 的对称轴为 x=- 1,抛物线开口向曲y=?+1?r在点（2, 3）处的切线与直线直线ax+y+1= 0 垂直,第15页（共 20 页）上，第 11 页(共 20 页)要使 XW0 时，对任意 x-3,+8),f(x)|x 恒成立, 则只需要 f (- 3) 0 时，要使 f (X)w凶恒成立，即 f( x)=- x2+2x- 2a，在射线 y= x 的下方或在 y =x

18、上，由-x2+2x - 2awx, 即卩 x2- x+2a0,由判别式厶=1 - 8aw0,得a8，综上一Waw2,815. (14 分)已知钝角厶 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为a、b、c,且有(v2a -c) cosB=bcosC.(1) 求角 B 的大小；TT8?(2)设向量?= (cos2A+1, cosA), ?= (1, -5),且？丄?求 tan ( + A)的值.54【解答】 解：(1)V(Q?- ?)?=?由正弦定理得： (3?)?=?. y2?-?.2f?=?+?.v2?=?i(?)因为在 ABC 中 sin ( B+C)= sinA 则 込?？=?第17页（共

19、20 页）8(2) ?丄？ ?= 0 即？2?1?-?5 2?-8?即卩 2?(?0由 sin A+cos A= 1, si nA016. （14 分）如图，在正方体 ABCD - AlBlClDl中.（I）求证：AC 丄 BD1；（H）是否存在直线与直线 AA1, CC1, BD1都相交？若存在，请你在图中画出两条满足 条件的直线（不必说明画法及理由）；若不存在，请说明理由.【解答】（本题满分 9 分）（I）证明：如图，连结 BD .正方体 ABCD - A1B1C1D1,.D1D 丄平面 ABCD ./ AC?平面 ABCD，二 D1D 丄 AC .四边形 ABCD 是正方形， AC 丄

20、BD . BDnD1D = D , AC 丄平面 BDD1. BD1?平面 BDD1,. AC 丄 BD1.-（ 5 分）（n）存在.答案不唯一，作出满足条件的直线一定在平面ACC1A1中,.?=?=?厘厘. 2 ?=?4 / / ?哲哲 0.?4. ?3则?. 5，.4.o?41+?1+31-?=?3.1-4第18页（共 20 页）且过 BD1的中点并与直线 A1A, C1C 相交.下面给出答案中的两种情况，第19页（共 20 页）其他答案只要合理就可以给满分.（9 分）?（?）+1（n）：k0，在 x （0,+g）时，不等式8 恒成立,?x2+ ( k+1) x+k 8x,在 x (0,

21、+g)时恒成立,即 k-?；：7? 在 x (0, +g)时恒成立,、九 /、-?2+7?设 g(x) = -,/、-?2-2?+8g(x)=厂,(?+1)令 g ( x)= 0，解得 x= 2,函数 g （x）在（0, 2）为增函数，在（2, +g）为减函数, g (x)max= g ( 2)= 2, k 2,17.(14 分)已知函数 f (x)= x2+ (k+1) x+k ( k 为常数).(I)当k= 2 时，解关于 x 的不等式 f （x） 0;（n）若 k0，在 x（o, +s）时，不等式?(?)+i?8 恒成立,k 的取值范围.【解答】解：（I）当 k=2 时，f（x）=x2+

22、3x+2, f (x) 0, x2+3x+20,解得 x- 1,或 XV-2,故不等式的解2)U (-1,+);第20页（共 20 页）故 k 的取值范围为（2, +g）第21页(共 20 页)18.(16 分)在海岸 A 处，发现北偏东 45。方向，距离 A 为(v3 - 1)海里的 B 处有一艘走 私船，在 A处北偏西 75。方向，距离 A 为 2 海里的 C 处有一艘缉私艇奉命以 10 3 海里/ 时的速度追截走私船，此时，走私船正以10 海里/时的速度从 B 处向北偏东 30方向逃(I)问 C 船与 B 船相距多少海里？ C 船在 B 船的什么方向?(H)问缉私艇沿什么方向行驶才能最快

23、追上走私船？并求出所需时间.-BC=v6./ ABC= 45 , C 船在 B 船的正西方向.贝 U BD = 10t, CD = 10v3t,1解得 sin/ BCD=1， / BCD = 30, BCD 是等腰三角形，10t= V6，即6缉私艇沿东偏北 30方向行驶 岀小时才能最快追上走私船.10? ?19.(16 分)已知椭圆 异+= 1(?0)的左顶点为 A,右焦点为 F,右准线为 I, I 与【解答】解: (I)由题意可知AB= v3 - 1, AC = 2，/ BAC= 120 ,在厶 ABC 中,由余弦定理BC2= AB2+AC2-2AB?AC?COS120=6,由正弦定理? 2

24、,/6，即- =孚，解得?/?/?/?/v2sin /ABC=亍(II )由(1)知 BC= v6,ZDBC = 120。，设 t 小时后缉私艇在D 处追上走私船,在厶 BCD 中，由正弦定理得:10 y3?12010?/?第22页(共 20 页)x 轴相交于点 T,且 F 是 AT 的中点.(1)求椭圆的离心率;第23页(共 20 页)(2) 过点 T 的直线与椭圆相交于 M , N 两点，M , N 都在 x 轴上方，并且 M 在 N, T 之间，且 NF = 2MF .1记 NFM , NFA 的面积分别为 Si, S2,求；?220 v4T2若原点 0 到直线 TMN 的距离为-，求椭

25、圆方程.4111T x【解答】解：(1)由 F 是 AT 的中点，可得-?+-?+予予= =2?即(a - 2c) ( a+c)= 0,又 a、c 0,? 1则 a = 2c, 可得?=1;(2) 解法一：过 M , N 作直线 I 的垂线,垂足分别为 Mi, N1,? ?依题意，両= =丽丽=?=?又 NF = 2MF，故 NNi= 2MM1,故 M 是 NT 的中点，可得? 1又 F 是 AT 中点，即有$ANF= $TNF,故?=2； 解法二：有 a= 2c,即为？?= V3? ?椭圆方程为祈+3?2= 1 , F (c, 0), T (4c, 0),?3设 M (X1, y1) , N

26、 (x2, y2),点M在椭圆4?2+3?2=I II上，即有?=3?- v? , ?=V(?-(?- ?)+?=?)+?= 讥讥? ?？ - - ?2+ + 3? - -3?=V4?-2? 4? = |1?- 2?|= 2?1?,II同理？?= 2?-扌？,_ ?1又 NF = 2MF ,故 2x1- x2=4c ,得 M 是 N , T 的中点，可得-_?=, ?2? ?1? ?2第24页(共 20 页)又 M , N 都在椭圆上,又 F 是 AT 中点,解法一：设 F可得SAANF=SATNF，贝 V _?1?2?字= 13?字，由知 M 是 N ,T 的中点, 不妨设 M (xo, y

27、o),则N (2x0 4c, 2y0),?2?2_即有4?3?2_(2?盘-4?),4?+两式相减得：警?2+?2_1即4?3?_1(?3-2?)2宜_ 114?+3?_4(?吊-2?)2_3，解得?_7?4?32二二3?2- -4?字404可得?=爲5?故直线 MN 的斜率为？?=8仝7?-4?v5直线 MN 的方程为？?_?_ - -百百(?-(?- 4?,即 v5?+ 6?-4 v5?= 0,原点 0 到直线 TMN 的距离为？?_4说5?4 V5oo?V41 -,5+364 v520依题意？?_ -， 解得？?=v5,41? ?故椭圆方程为 + _ 1 .2015?乡解法二：设 F(c

28、, 0),则椭圆方程为孑+ _ 13?字,直线 MN 的斜率显然存在，不妨设为k,故其方程为 y= k (x 4c),与椭圆联立,并消去 y 得:?(?_4?)2 y+ 整理得： (4k2+3) x2 32ck2x+64k2c 12c2= 0, (* )32?+ ? _二即有3+4?,64?-12?2? _23+4?32?由?+?_3+4?解得2? - ? _ 4?_?_ 16?+4? 16?-4?即有2X2_4?+34?+316?4?23+4?216?4?23+4?G4?2?/?24?字+3解之得? _ _壬壬，即?_?_ - -三-366直线 MN 的方程为？?=-善善5(?_ 4?,即

29、v5?+ 6?_ 4 v5?= 0,原点。到直线TMN的距离为?=?=鬻鬻6?= =警警?4 v5?20 v41” +十依题意=，解得？?= v5,v4141? ?故椭圆方程为一+ = 1 .2015(1)求证：数列bn是等差数列;(3)设?= (v2)?,试问数列cn中是否存在三项,求出这三项；如果不存在，说明理由.【解答】(1)证明：？?+1_ ?=2?备备- -為為=2,所以数列bn是首项?=2?2_1= 2，公差为 2 的等差数列;(2)证明：由(1)知 hn= 2n, n N ,所以？?=?+1=1(1 +?, ?+1=2(1 +?+1),1 1 1 1 11 1所以？?+1_ ?=

30、1(1 +?_2(1 +?+1)=1(?+1_?v0.即：对任意的 n N , an+1van(3)解：由(2)知，?=(在)2?= 2?,假设在cn中存在第 m, p, q ( mvpvq,且 m, p, qN )项成等差数列,则：2?2P= 2m+2q,. 2p+1= 2m+2q,. 2p+1m= 2qm+1 ,因为 m, p, q N*所以 2p+m为偶数，2qm+1 为奇数，两者不可能相等，即假设不成立,所以在数列Cn中不存在三项可以构成等差数列.第 17 页(共 20 页)20. (16 分)在数列an中，ai= 1, ?+i= 1 -14?Q*?=右二厂，其中 nN .2?1(2)

31、求证：在数列an中对于任意的 nN*,都有 an+1Van;它们可以构成等差数列？如果存在,A-!O第26页（共 20 页）三.解答题（共 1 小题，满分 10 分，每小题 10 分）21. （10 分）已知矩阵 A= 1，求矩阵 A 的特征值和特征向量.-1【解答】B .矩阵 A 的特征多项式为？?（?=|；?1由 f(X)=0,解得乃=2,?2=3(4 分),?. 2?= 0当X=2 时，特征方程组为? 2?= 0r2?- 2?= 0当X= 3 时，特征方程组为? ?=0sina的值.2C2： p+pcos20=8sin0,即 2pcos0=8sin0,2 2pcos0=4 psin0,?= ? 1 ?= 1由? = 4?解得?=；,所以 C1与 C2公共点的直角坐标为（2, 1）;?= ?2 22(n)将?:?=-1+?代?入?36X-= 24,3 x+4y+9z 10.六.解答题（共 2 小题，满分 20 分，每小题 10 分）24. （10 分）如图，已知四边形 ABCD 由 Rt ABC 和 Rt BCD 拼接而成，其中/ BACBCD = 90,/ DBC = 30, AB= AC, ?学 23，将 AB