土木工程画法几何课件

1、2.4 2.4 直线与平面以及直线与平面以及两平面的相对位置两平面的相对位置本节提要：（1）直线与平面以及两平面平行（2）直线与平面以及两平面相交（3）直线与平面以及两平面垂直（4）点、直线、平面的综合作图题示例2.4.1 直线与平面以及两平面平行直线与平面以及两平面平行2.4.1.1 直线与平面以及两平面平行的几何条件 平面外的直线与平面平行的几何条件是：这条直线平行于平面上的一条直线2.4.1 直线与平面以及两平面平行直线与平面以及两平面平行2.4.1.1 直线与平面以及两平面平行的几何条件 两平面平行的几何条件是：一平面上的两相交直线，分别平行于另一平面上的两相交直线2.4.1 直线与平

2、面以及两平面平行直线与平面以及两平面平行2.4.1.1 直线与平面以及两平面平行的几何条件有关线、面平行的作图问题有：有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行；判别已知线面是否平行；作直线与已知平面平行；作直线与已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平包含已知直线作平面与另一已知直线平行。行。OXabcdeabcdepp例例2.24 如图所示，已知直线如图所示，已知直线AB、CDE、点、点P的两的两面投影，检验直线面投影，检验直线AB是否平行于是否平行于CDE ，并过点，并过点P作平作平行于行于CDE的平面。的平面。OXabcdeabcdeppffqrqr正平线正平线例：过例：

3、过M点作直线点作直线MN平行于平行于V面和平面面和平面ABC。唯一解唯一解nn d dc b a m abcmXOkk acebb a d dfc f e hh OXm m由于由于ek不不平行于平行于ac, ,故两平面故两平面不平行。不平行。例：判断由两平行直线例：判断由两平行直线AB、CD与与EF、MH组成的两组成的两平面是否平行。平面是否平行。例：例：试判断两平面是否平行。试判断两平面是否平行。结论：两平面平行结论：两平面平行n mnr ss rme ea b c bacd f OXdf例：已知定平面由平行两直线例：已知定平面由平行两直线AB和和CD给定。试过点给定。试过点K作一平面平行于

4、已知平面作一平面平行于已知平面 。em n mnf e fsr s rXOa b c d dcabk k2.4.1.2 当平面为特殊位置时，直线与平面以及两平面平行的投影特性当平面为特殊位置时，直线与平面相平行的投影特性（1）直线与平面的同面投影都有积聚性； （2）直线的投影与平面的有积聚性的同面投影互相平行。 DCGEFgfecdABabH2.4.1.2 当平面为特殊位置时，直线与平面以及两平面平行的投影特性它们的有积聚性的同面投影互相平行。 ijhIHJGEFgfeH当平面为特殊位置时，两平面相平行的投影特性OXabdcefgadbceg例例2.25 如图所示，已知点如图所示，已知点G和处

5、于铅垂位置的矩形和处于铅垂位置的矩形平面平面ABCD，以及直线，以及直线EF的正面投影的正面投影ef和端点和端点E的水平投的水平投影影e，并知，并知EF平行于矩形平面平行于矩形平面ABCD，补全，补全EF的水平投影，的水平投影，过点过点G作平行于矩形作平行于矩形ABCD的平面。的平面。OXabdcefgadbcegfPH直线与平面的交点是直线与平面的共有点2.4.2 直线与平面以及两平面相交直线与平面以及两平面相交直线与平面相交问题的核心是：求直线与平面的交点两个平面相交问题的核心是：求两个平面的交线两个平面的交线是两平面的共有线HVXOABCabcabc共有点HXOABCDEPabcdeab

6、cdeV共有线XOabcefabcefl（在投影图中）求交点或交线的方法：（1）利用直线或平面投影的积聚性；求交点求交点直线与特殊位置平面相交直线与特殊位置平面相交XOabcef已知已知abcefkkXOabecfabccf特殊位置直线与平面相交特殊位置直线与平面相交dXOabecfabccfkdk（1）利用直线或平面投影的积聚性；l（在投影图中）求交点或交线的方法：（2）当它们都没有积聚性时，则常用加设辅助平面的方法求做交点或交线。n判别可见性的方法cXOabcefabef交点交点分界点分界点线或平面上就产生可见与不可见部分，而交点或交线是可见与不可见的分界点或分界线。可见性：假想平面是不透

7、明的，直线穿过平面或一个平面穿过另一个平面时，一部分被挡住，直在投影图中可见部分画成实线，不可见部分画成中虚线（中线的线宽为粗线的一半）。当平面的投影有积聚性，或平面中至少有一个平面的投影有积聚性时，投影重合处的可见性，可以在投影图中通过直接观察检定，否则可用交叉线重影点的可见性来帮助检定。121(2)cXOabcefkabefk用交叉直线用交叉直线判别可见性判别可见性2.4.2.1 两相交元素中至少有一个元素的投影有积聚性时相交（1）直线与平面相交求交点问题由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交点可直接求出，且能直接判别直线的可见性。 例例2.26 如图所示，作直线如图所示，作直线AB与铅垂

8、的矩形平面与铅垂的矩形平面DEFG的交点，并表明可见性。的交点，并表明可见性。OXabdeabdegffgOXabdeabdegffgkkOZababPWOZababPW例例2.27 如图所示，作直线如图所示，作直线AB与侧垂面与侧垂面P的交点，并的交点，并表明可见性。表明可见性。kkOXabdefadeccbf例例2.28 如图所示，作正垂线如图所示，作正垂线EF与平行四边形平面与平行四边形平面ABCD的交点，并表明可见性。的交点，并表明可见性。OXabdefadeccbfkk1(2)12两个平面多边形相交时有两种情况：当一个多边形全部穿过另一个多边形时，两个平面多边形交线的端点分别是同一个

9、多边形上的两条边对另一多边形平面的交点，称为全交。全交（2）两平面相交求交线问题如果不是一个多边形全部穿过另一个多边形，则称为互交。这两个平面多边形交线的端点，分别是第一个多边形与第二个多边形平面的交点，以及第二个多边形的一条边与第一个多边形平面的交点。互交一个多边形的边与另一多边形平面的交点可以是：这条边与另一多边形平面在另一多边形范围内的实际的交点。（如、）还可以是这条边的延长线与另一多边形平面在多边形范围内或范围外的扩大面上的交点。（如、）也可以是在另一多边形范围外的扩大面上的交点。（如、）在两个多边形范围之内的一段是实际的交线，投影画成粗实线。在两个多边形范围外，实际交线的延长线，作为

10、作图过程中的作图线，投影画细实线。当两个平面都垂直于同一投影面时，它们的交线也垂直于该投影面。mnlM求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题，由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交线可直接求出。abPABCcHVNFKLkfOXabdeabdegffgccOXabdeabdegffgcc例例2.29 如图所示，作如图所示，作ABC与铅垂的矩形与铅垂的矩形DEFG的的交线，并表明可见性（三角形和矩形的正面投影重合处的交线，并表明可见性（三角形和矩形的正面投影重合处的轮廓线的投影，在未检定前，先用双点画线表示）。轮廓线的投影，在未检定前，先用双点画线表示）。kkllOXabdeabdegf

11、fgcckkllOXabdeabdegffgccOXabdeabdegffgcc例例2.30 如图所示，作如图所示，作ABC与铅垂的矩形与铅垂的矩形DEFG的的交线，并表明可见性。交线，并表明可见性。kjkjiiOXabdeabdegffgcckjkjiiOZabdcafebcdef例例2.31 如图所示，作平行于侧面的如图所示，作平行于侧面的ABC和垂直于和垂直于正面的正面的DEF的交线，并表明可见性。的交线，并表明可见性。OZabdcafebcdefk lklOZabdcafebcdefk lklOXababccPVQVOXababccPVQV例例2.32 如图所示，分别作出正垂面如图所示

12、，分别作出正垂面P与与ABC、水、水平面平面Q的交线，并表明可见性。的交线，并表明可见性。dedeffggOXababccPVQVdedeffggabcdeOXabcde2.4.2.2 两相交元素的投影都无积聚性时相交（1）直线与平面相交求交点问题 作图方法：采用辅助平面法求作交点，也就是采用通过直线加设特殊位置的辅助平面的作图方法求作交点。1 (2 )3(4)直线与平面的同面投影相重合处的可见性，可用两交叉直线重影点的可见性检定。abcdeOXabcdePHklkl33u(v)uvl(t)t以铅垂面为辅助平面求直线与平面的交点，并判断可见性。图2.44 特殊位置平面上的点和直线abcdeOX

13、abcdevgQVvg33i(j)ijg(r)r图2.44 特殊位置平面上的点和直线QV以正垂面为辅助平面求直线与平面的交点，并判断可见性。（2）两平面相交求交线问题采用辅助平面法，即加设特殊位置的辅助平面来求作它们的交线。辅助平面法的两种形式： 过一个平面上的一条直线作垂直于投影面的辅助平面，利用它作出这条直线与另一个平面的交点，同样地再作出这样的另一个交点，将这两个交点连线，即为两平面的交线。先作一个特殊位置平面作为辅助平面，分别作出辅助平面与这两个平面的交线，再作出这两条交线的交点，即为辅助平面和这两个平面的三面共有点，也就是这两个平面的共有点，同样地再作出这样的另一个共有点，将这两个共

14、有点连成线，即为这两个平面的交线。特殊位置的辅助平面：通常采用两个水平面作为辅助平面。两个平面的同面投影重合处的可见性判别：可用两交叉直线重影点的可见性来检定两个平面的同面投影重合处的可见性。两平面交线的投影是两平面的同面投影可见与不可见的分界线。如图所示，求作一般位置的三角形ABC和平行四边形DEFG的交线，并分别标明这两个平面图形在同面投影重合处的可见性。OXabdeabegfgcdfcOXabdeabegfgcdfc3344如图所示，求作一般位置的三角形ABC和平行四边形DEFG的交线，并分别标明这两个平面图形在同面投影重合处的可见性。OXabdeabegfgcdfcOXabdeabeg

15、fgcdfc3344l(t)ltu(v)uvOXabdeabegfgcdfc3344l(t)ltu(v)uv如图所示，求作由相交两直线AB、BC和平行两直线DE、FG所确定的两一般位置平面的交线。现用第二种形式的辅助平面法求作交线。OXabdeabeffgcdgcQPABCKLDEFGOXabdeabeffgcdgc1PV2341 23499QV567856781010klkl注意：当求作两平面的交线时，可能遇到这样的一种情况，一平面上有直线平行于另一个平面，也就是在另一平面上存在这条直线的平行线，按立体几何的知识可知，两平面的交线一定平行于这条直线。BCDE2.4.3 直线与平面以及两平面垂

16、直直线与平面以及两平面垂直2.4.3.1 直线与平面以及两平面垂直的几何条件与投影特性直线与平面相垂直的几何条件是：该直线垂直于这个平面上的任意两条相交直线。FGAHABCEFGHJL两平面相垂直的几何条件是：一个平面上有一条直线垂直于另一平面。VHP若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。KNknk n a b dceABEDCOXd c e abXOabcabc根据一边平行于投影面的直角的投影特性：直线与一般位置平面相垂直的投影特性：直线的水平投影与平面上水平线的水平投影相垂直；直线的正面投影与平面上正平线的正面投影相垂直；直线的侧面投影与平面上侧平线的侧面投影相垂直。dee

17、dff若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则直线必垂直于该平面。cac a f d b dbfn nkk XOb d例例2.33 如图所示，过点如图所示，过点A作一平面垂直于一般位置作一平面垂直于一般位置直线直线BC。OXababccOXababccddee例例2.34 如图所示，过点如图所示，过点A作一平面，平行于直线作一平面，平行于直线BC，垂直于垂直于DEF。OXabdeabcfcdefOXabdeabcfcdefgg1122hhOXacbeabfcdefd例例2.35 如图所示，检验两如图所示，检验两ABC与与DEF是否垂直。是否垂

18、直。OXacbeabfcdefd1122gg结论：两平面不垂直结论：两平面不垂直例：试判断ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否垂直。f fd dg ah a chc kk b bgXOe fm nmn c a ad b cdbXO例：平面由两平行线例：平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线给定，试判断直线MN 是否垂直于该平面。是否垂直于该平面。efHCDFEcdfe2.4.3.1 两元素中至少有一个处于特殊位置时，直线与平面以及两平面垂直（1）特殊位置的直线与平面互相垂直只可能有两种情况：同一投影面的平行线和垂直面相垂直；ABabHVPQRTpqtr同一投影面的垂直线和平行面相垂直

19、。IJij与水平线垂直的平面一定是铅垂面；与铅垂面垂直的直线一定是水平线。与正平线垂直的平面一定是正垂面；与正垂面垂直的直线一定是正平线。正平线的正面投影必定垂直于正垂面的有积聚性的同面投影。HCDFEcdfeABab水平线的水平投影必定垂直于铅垂面的有积聚性的同面投影。与铅垂线垂直的平面一定是水平面；与水平面垂直的直线一定是铅垂线。铅垂线的正面投影和侧面投影都分别与这条铅垂线相垂直的水平面的有积聚性的同面投影相垂直。HVPQRTpqtrIJij与正垂线垂直的平面一定是正平面；与正平面垂直的直线一定是正垂线。而且正垂线的水平投影和侧面投影一定分别与正平面的有积聚性的同面投影相垂直。结论：与投影

20、面平行线相垂直的平面，一定是这个投影面的垂直面；与投影面垂直面相垂直的直线，一定是这个投影面的平行线。与投影面垂直线相垂直的平面，一定是这个投影面的平行面；与投影面平行面相垂直的直线，一定是这个投影面的垂直线。不论哪种情况，直线的投影必定与平面的有积聚性的同面投影相垂直。例例2.36 如图所示，过点如图所示，过点A作正垂面作正垂面CDE的垂线的垂线AB和垂足和垂足B，并确定点，并确定点A与与CDE平面的真实距离。平面的真实距离。OXadecdaecOXadecdaecbb真实距离真实距离也只可能有两种情况：u平面与投影面垂直面相垂直；u平面与投影面平行面相垂直。（2）两平面中至少有一个平面处于

21、特殊位置时互相垂直HECDF结论：与某一投影面的垂直面相垂直的平面，一定包含该投影面垂直面的垂线，可以是一般位置平面，也可以是这个投影面的垂直面或平行面。ABVH与某一投影面的平行面相垂直的平面，一定包含这个投影面的垂直线，一定是这个投影面的垂直面，也可以是其它两个投影面的平行面。PQRTIJH特例：两个垂直于同一投影面的平面互相垂直、它们的有积聚性的同面投影也互相垂直。ABCDEFbacdfe例例2.37 如图所示，过直线如图所示，过直线AB作一般位置平面垂直作一般位置平面垂直于正垂面于正垂面P，过点，过点C作垂直于正垂面作垂直于正垂面P的正垂面的正垂面Q和正平面和正平面R。dQVdRH2.

22、4.4 点、直线、平面的综合作图题示例点、直线、平面的综合作图题示例空间几何问题，主要是指点、直线、平面等几何元素以及它们之间的相对位置关系的度量和定位问题。作图时，应注意下述各点：理解题意，想象清楚已知和求作的几何元素之间的空间关系。根据点、直线、平面及其相对位置的投影特征和几何条件，用推理或轨迹等方法分析和思考出解题的步骤。 运用几何原理和投影特性，按解题步骤在投影图中逐步准确作图，最后得出求解结果。例例2.38 如图所示，过点如图所示，过点A作一般位置的作一般位置的BCD的垂的垂线线AK和垂足和垂足K，并作出点，并作出点A与与BCD之间的真实距离。之间的真实距离。OXabdabccdOX

23、abdabccde1122ePV434kkz za0真实距离真实距离3z z例例2.39 如图所示，已知矩形如图所示，已知矩形ABCD的一边的一边AB的两面的两面投影及其邻边投影及其邻边BC的正面投影的正面投影bc，补全矩形，补全矩形ABCD的两面的两面投影投影。OXababcOXababc1e122ecdd求解综合问题主要包括：求解综合问题主要包括：综合问题解题的一般步骤：综合问题解题的一般步骤：1. 分析题意分析题意2. 明确所求结果，找出解题方法明确所求结果，找出解题方法3. 拟定解题步骤拟定解题步骤空间几何元素的空间几何元素的定位问题定位问题（求交点、交线）（求交点、交线）空间几何元素

24、的空间几何元素的度量问题度量问题（求距离、角度）。（求距离、角度）。2.4.4 点、直线、平面的综合作图题示例点、直线、平面的综合作图题示例c g h e f d cefghdXO空间几何元素定位问题空间几何元素定位问题例：已知三条直线例：已知三条直线CD、EF和和GH，求作一直线，求作一直线AB与与CD平行，并且与平行，并且与EF、GH均相交。均相交。1 c g h e f d cefghdXOHG 所求的直线AB一定在平行于CD的平面上，并且与交叉直线EF、GH相交。CDEF1.过EF作一平面平行于CD；2.求平面与GH的交点A；3.过点A作CD的平行线，与EF交于点B。ABk kPV12

25、 2b baa 2 1例：试过点例：试过点A作直线与已知直线作直线与已知直线EF正交。正交。eff e XOa a1 2PVkQEFAKk 过已知点A作平面垂直于已知直线EF，并交于点K，连接AK，AK即为所求。度量问题度量问题是解决距离和角度的度量问题，主要基是解决距离和角度的度量问题，主要基础是根据直角投影定理作平面的垂线或直线的垂面，并求础是根据直角投影定理作平面的垂线或直线的垂面，并求其实长或实形。其实长或实形。 1.1.距离的度量距离的度量点到点之间的距离点到点之间的距离 求二点之间线段的实长（直角三角形求二点之间线段的实长（直角三角形 法）。法）。 AB例：求点例：求点C到直线到直

26、线AB的距离。的距离。c a b cabXOPC过过C点作一平面与直线点作一平面与直线AB垂直，求出该平面与垂直，求出该平面与AB的交点的交点K，最后求出垂线，最后求出垂线CK的实长即为所求。的实长即为所求。K点到直线之间的距离点到直线之间的距离. 过点作平面垂直于直线，求出垂足，过点作平面垂直于直线，求出垂足， 再求出点与垂足之间的线段实长。再求出点与垂足之间的线段实长。 e d ed1 2 12所求距离所求距离c a b cabXOPVkk c a b cabXOd df e fe1 2 12所求距离所求距离例：求两平行直线例：求两平行直线AB 和和CD的距离。的距离。PVk k例：求例：

27、求点到点到ABC平面的距离。平面的距离。 从从M点作点作ABC平面的垂平面的垂线，然后用辅助平面法求线，然后用辅助平面法求出垂线与出垂线与ABC平面的交平面的交点（即垂足），再用直角点（即垂足），再用直角三角形法求出线段的实长三角形法求出线段的实长即可。即可。 fe hh 所求距离所求距离 MK实长实长k kef b m b a c acXOmPH点到平面之间的距离点到平面之间的距离 过点作平面的垂线，求出垂足，再求过点作平面的垂线，求出垂足，再求 出点与垂足之间的线段实长。出点与垂足之间的线段实长。P例：求交叉两直线例：求交叉两直线AB和和CD的公垂线。的公垂线。过CD作平面P平行于AB，再

28、过点A作平面P的垂线AH，求出垂足E；在平面P上过点E作直线EFAB与直线CD交于点K；过点K作直线KL AH交AB于L点，KL即为所求。g g1 122 h343 4 fcc a b abXOdd h e f k kl lPHLEFeABDCHK直线与平行平面之间的距离直线与平行平面之间的距离 过直线上任一点作平面的垂线。过直线上任一点作平面的垂线。方法同点到平面的距离。方法同点到平面的距离。 PLABK两平行平面之间的距离两平行平面之间的距离 过一平面上任一点作另一平面的垂过一平面上任一点作另一平面的垂线。余下方法同点到平面的距离。线。余下方法同点到平面的距离。 PQLK2.2.角度的度量

29、角度的度量两相交直线间的夹角两相交直线间的夹角直线与平面的夹角直线与平面的夹角两平面间的夹角两平面间的夹角任作一直线分别与两相交直线相交，构成三角形，求三角形任作一直线分别与两相交直线相交，构成三角形，求三角形的实形（分别求出三边的实长），夹角即可求得。的实形（分别求出三边的实长），夹角即可求得。 两相交直线间的夹角两相交直线间的夹角PABCEFPCAB直线和它在平面上的投影所夹的锐角，称为直线与面的夹角。过直线上直线和它在平面上的投影所夹的锐角，称为直线与面的夹角。过直线上任一点角度作平面的垂线，求出直线与垂线的夹角（方法同两相交直线任一点角度作平面的垂线，求出直线与垂线的夹角（方法同两相交

30、直线的夹角）的余角，余角即为所求。此法又称的夹角）的余角，余角即为所求。此法又称余角法余角法。 直线与平面的夹角直线与平面的夹角 作作的余角的余角，即为所求直线与平面的夹角。，即为所求直线与平面的夹角。 f XObe e b a c ac d dfdfef例：求直线例：求直线DE与与ABC平面的夹角平面的夹角。PQ两平面间的夹角两平面间的夹角两平面间的夹角就是两平面二面角的平面角。在空间任取一点，两平面间的夹角就是两平面二面角的平面角。在空间任取一点，分别作二平面的垂线，求出二垂线间的夹角分别作二平面的垂线，求出二垂线间的夹角( (方法同两相交直线间方法同两相交直线间的夹角的夹角) )的补角，补角即为所求。此法又称的补角，补角即为所求。此法又称补角法补角法。 BCAabcdefc f db e a m (n )例：求两平面的交线例：求两平面的交线 MN并判别可见性。并判别可见性。空间及投