题型四 规律探索题

1、题型题型四四 规律探索题规律探索题类型一类型一数式规律数式规律(2015 年年 T13，2014 年年 T16，2010 年年 T9，2009 年年 T17)试题演练试题演练1. ( (1515 荆州荆州) )把所有正奇数从小到大排列把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：并按如下规律分组：(1)，(3，5，7)，(9，11，13，15，17)，(19，21，23，25，27，29，31)，现有等式现有等式 Am(i，j)表示正奇数表示正奇数 m是第是第 i 组第组第 j 个数个数(从左往右数从左往右数)，如如 A7(2，3)，则则 A2015()A. (31，50)B. (32，47)C

2、. (33，46)D. (34，42)2. ( (1515 绥化绥化) )填填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，据此规律得出据此规律得出 abc .第第 2 题图题图3. ( (1515 恩施州恩施州) )观察下列一组数：观察下列一组数：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，其中每个数其中每个数 n 都连续出现都连续出现 n 次次，那么这一组数的第那么这一组数的第 119 个数是个数是.4. ( (1616 原创原创) )按一定顺序排列的一组数：按一定顺序排列的一组数：2，2，4，16，256，若若 a 表示这列数中

3、表示这列数中的第的第 8 个数个数，则则 a 的值为的值为.5. ( (1515 黔东南州黔东南州) )将全体正整数排成一个三角形数阵：根据上述排列规律将全体正整数排成一个三角形数阵：根据上述排列规律，数阵中数阵中第第10 行从左至右的第行从左至右的第 5 个数是个数是.第第 5 题图题图6. ( (1515 亳州模拟亳州模拟) )观察下列等式观察下列等式：124142，124146243，124146168344.(1)猜想并写出第猜想并写出第 n 个等式；个等式；(2)这个等式的结果能等于这个等式的结果能等于1980吗？若能吗？若能，请写出这个等式；若不能请写出这个等式；若不能，请说明理由

4、请说明理由.7. (15 安庆外国语学校二模安庆外国语学校二模)观察下列等式：观察下列等式：1223113221，1334114331，2335225332，3447337443，6228668226，以上每个等式中两边数字是分别对称的以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律间具有相同规律，我们称这类等式为我们称这类等式为“数字对称等式数字对称等式”(1)根据上述各式反映的规律填空根据上述各式反映的规律填空，使式子成为使式子成为“数字对称等式数字对称等式”：5225；396693；(2)设这类等式左边两位数的

5、十位数字为设这类等式左边两位数的十位数字为 a， 个位数字为个位数字为 b， 且且 2ab9， 写出表示写出表示“数数字对称等式字对称等式”一般规律的式子一般规律的式子(含含 a，b)，并证明并证明类型二类型二点坐标规律点坐标规律(2011、2008 年年 T18)试题演练试题演练1. ( (1515 衢州衢州) )已知已知，正六边形正六边形 ABCDEF 在直角坐标系内的位置如图所示在直角坐标系内的位置如图所示，A(2，0)，点点 B 在原点在原点，把正六边形把正六边形 ABCDEF 沿沿 x 轴正半轴作无滑动的连续翻转轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转每次翻转 60，经经过过 2015

6、次翻转之后次翻转之后，点点 B 的坐标是的坐标是第第 1 题图题图2. ( (1414 绥化绥化) )如图如图，在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中，已知点已知点 A(1，1)、B(1，1)、C(1，2)，D(1，2)，把一根长为把一根长为 2014 个单位长度且没有弹性的细线个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计线的粗细忽略不计)的一端固定的一端固定在在 A 处处，并按并按 ABCDA的规律紧绕在四边形的规律紧绕在四边形 ABCD 的边上的边上，则细线的另一端所则细线的另一端所在位在位置的点的坐标是置的点的坐标是.第第 2 题图题图3. ( (1515 东营东营) )如图放置的如图放置

7、的OAB1，B1A1B2，B2A2B3，都是边长为都是边长为 1 的等边三角的等边三角形形，点点 A 在在 x 轴上轴上，点点 O，B1，B2，B3，都在直线都在直线 l 上上，则点则点 A2015的坐标是的坐标是.第第 3 题图题图4. 在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中，一机器人从原点一机器人从原点 O 出发出发，按向上按向上、向左向左、向下向下、向下向下、向左向左、向上的方向依次不断移动得向上的方向依次不断移动得 A1，A2，A3，A4，A5，每次移动的距离分别为每次移动的距离分别为 1，1，1，2，2，2，3，3，3，其行走路线如图所示：其行走路线如图所示：(1)填写下列各点的坐标：

8、填写下列各点的坐标：A3(，)，A6(，)，A9(，)；(2)写出点写出点 A3n的坐标的坐标(n 是正整数是正整数)；(3)原点原点 O 到点到点 A33的距离是的距离是第第 4 4 题图题图5. 如图如图，在直角坐标系中在直角坐标系中，第一次将第一次将OAB 变换成变换成OA1B1，第二次将第二次将OA1B1变换变换成成OA2B2，第三次将第三次将OA2B2变换成变换成OA3B3，依此类推依此类推，已知已知 A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)观察每次变化后的三角形观察每次变化后的三角形，找出规律找出规

9、律，按此规律再将按此规律再将OA3B3变换成变换成OA4B4，则则A4的坐标为的坐标为（16，3），B4的坐标为的坐标为（32，0）；若按上述规律若按上述规律，将将OAB 进行进行 n 次次变变换换，得得OAnBn，比较每次变换三角形顶点的比较每次变换三角形顶点的变化规律变化规律，探索顶点探索顶点 An的坐标为的坐标为（2n，3），顶点顶点 Bn的坐标为的坐标为（2n1，0）第第 5 题题图图类型三类型三图形规律图形规律(2013 年年 T18，2012 年年 T17)试题演练试题演练1. ( (1515 珠海珠海) )如图如图，在在A1B1C1中中，已知已知 A1B17，B1C14，A1C1

10、5，依次连接依次连接A1B1C1的三边中点的三边中点，得得A2B2C2，再依次连接再依次连接A2B2C2的三边中点得的三边中点得A3B3C3，则则A5B5C5的周长为的周长为.第第 1 题图题图2. ( (1515 潍坊潍坊) )如图如图，正正ABC 的边长为的边长为 2，以以 BC 边上的高边上的高 AB1为边作正为边作正AB1C1，ABC 与与AB1C1公共部分的面积记为公共部分的面积记为 S1；再以正；再以正AB1C1边边 B1C1上的高上的高 AB2为边作正为边作正AB2C2， AB1C1与与AB2C2公共部分的面积记为公共部分的面积记为 S2； ， 以此类推以此类推， 则则 Sn(用

11、用含含 n 的式子表示的式子表示)第第 2 题图题图3. 一定数量的石子可以摆成如图所示的三角形和四边形一定数量的石子可以摆成如图所示的三角形和四边形，古希腊科学家把数古希腊科学家把数 1，3，6，10，15，21，称为称为“三角形数三角形数”；把把 1，4，9，16，25，称为称为“正方形数正方形数”同样的同样的，可以把数可以把数 1，5，12，22，称为称为“五边形数五边形数”第第 3 题图题图将三角形数、正方形数、五边形数都整齐地由左到右填在所示表格里：将三角形数、正方形数、五边形数都整齐地由左到右填在所示表格里：三角形数三角形数136101521a正方形数正方形数1491625b49五

12、边形数五边形数151222c5170(1)按照规律按照规律，表格中表格中 a，b，c；(2)观察表中规律观察表中规律，第第 n 个个“正方形数正方形数”是是n2；若第；若第 n 个个“三角形数三角形数”是是 x，则用含则用含 x、n 的代数式表示第的代数式表示第 n 个个“五边形数五边形数”是是.4. 如图所示是一列用若干根火柴棒摆成的正方形组成的图案：如图所示是一列用若干根火柴棒摆成的正方形组成的图案：第第 4 题图题图(1)请将下表补充完整：请将下表补充完整：正方形个数正方形个数123456n火柴棒根数火柴棒根数471013(2)某同学用若干根火柴棒按如上图方式摆图案，摆完了第某同学用若干

13、根火柴棒按如上图方式摆图案，摆完了第 1 个后个后，摆第摆第 2 个个，接着摆接着摆第第 3 个个，第第 4 个个，当他摆完第当他摆完第 n 个图案时剩下个图案时剩下 20 根火柴棒根火柴棒，要刚好再摆完第要刚好再摆完第 n1 个个图案还差图案还差 2 根根，问最后摆的图案是第几个图案？问最后摆的图案是第几个图案？5. 如图所示如图所示，已知等边三角形已知等边三角形 ABC 的边长为的边长为 1，按图中所示的规律进行排列按图中所示的规律进行排列第第 5 题图题图(1)用用 2015 个这样的等边三角形组成的四边形的周长是个这样的等边三角形组成的四边形的周长是；(2)如图如图，将图将图放在直角坐

14、标系中放在直角坐标系中，设第设第 1 个等边三角形最右边的顶点坐标是个等边三角形最右边的顶点坐标是(1，0)，则第则第 2015 个等边三角形最右边的顶点坐标是个等边三角形最右边的顶点坐标是第第 5 题图题图【答案】【答案】类型一类型一数式规律数式规律试题演练试题演练1.B1.B【解析解析】设设 20152015 在第在第n n组组，则则 1 13 35 57 7(2(2n n1)1)10081008，即即(1 12 2n n1 1)n n2 210081008，解得解得：n n 10081008 ，当当n n3131 时时，1 13 35 57 76161961961；当当n n3232 时

15、时，1 13 35 57 7636310241024；故第；故第 10081008 个数在第个数在第 3232 组组，第第 10241024 个数为：个数为：2 2102410241 120472047，第第3232 组的第一个数为：组的第一个数为：2 29629621 119231923，则则 20152015 是第是第( (20152015192319232 21)1)4747 个数个数，故故A A20152015(32(32，4747) )2. 110【解析解析】根据左上角根据左上角4左下角左下角，左上角左上角3右上角右上角，右下角左下角右下角左下角右上右上角角1，可得可得 64a，63

16、c，ac1b，即即 a10，c9，b91，所以所以 abc10919110.3. 15【解析】【解析】将这组数列表分析如下：将这组数列表分析如下：行数行数每行上的数每行上的数前前n n行数的个数和行数的个数和第一行第一行1 11 1第二行第二行2 2，2 21 12 23 3第三行第三行3 3，3 3，3 31 12 23 36 6第四行第四行4 4，4 4，4 4，4 41 12 23 34 41010第第n n行行n n，n n，n n( (n n个个) )1 12 23 3n n所以前所以前n n行一共有数行一共有数 w12nn（n1）2，当当 n14 时时，w105119；当当 n15

17、 时时，w120119，第第 119119 个数是第个数是第 1515 行倒数第行倒数第 2 2 个数个数，所以第所以第 119119 个数是个数是 1515.4. 264【解析解析】观察可知观察可知，从第从第 3 个数开始个数开始，第第 n 个数等于前个数等于前 n1 个数的乘积个数的乘积又又221，422，1624，25628，第第 6 个数为：个数为：2121222428216，第第 7 个数为：个数为：2121222428216232，第第 8 个数为：个数为：2121222428216232264，故，故 a 的值的值为为 264.5. 50【解析】【解析】第第n n行行每行最后一个

18、数每行最后一个数这个数与行序号的关系这个数与行序号的关系1 11 11 12 23 33 31 12 23 36 66 61 12 23 34 4101010101 12 23 34 4n nn n（n n1 1）2 21 12 23 3n n由表可知由表可知，每一行最后一个数是前面所有行数之和每一行最后一个数是前面所有行数之和；而每一行从第一个数开始向后而每一行从第一个数开始向后 ，后一后一个数比前一个数多个数比前一个数多 1，所以要求第所以要求第 10 行第行第 5 个数个数，先求第先求第 9 行最后一个数行最后一个数，即即 12399（91）245，第第 10 行的第行的第 1 个数为个

19、数为 46，第第 5 个数为个数为 46(51)50.6. 解：解：(1)12414612n（2n2）=n4（n1）；(2)能这个等式是能这个等式是12414613840194（191）1980.7. 解：解：(1)275，572；解法提示解法提示：5 52 27 7，左边的三位数是左边的三位数是 275275，右边的三位数是右边的三位数是 572572，52522752755725722525；63，36；解法提示解法提示：左边的三位数是左边的三位数是 396396，左边的两位数是左边的两位数是 6363，右边的两位数是右边的两位数是 3636，636339639669369336.36.(

20、2)左边两位数的十位数字为左边两位数的十位数字为 a，个位数字个位数字为为 b，左边的两位数是左边的两位数是 10ab，三位数是三位数是 100b10(ab)a，右边的两位数是右边的两位数是 10ba，三三位数是位数是 100a10(ab)b，一般规律的式子为一般规律的式子为(10ab)100b10(ab)a100a10(ab)b(10ba)证明：左边证明：左边(10ab)100b10(ab)a(10ab)(100b10a10ba)(10ab)(110b11a)11(10ab)(10ba)，右边右边100a10(ab)b10ba(100a10a10bb)(10ba)(110a11b)(10ba

21、)11(10ab)(10ba)，左边右边左边右边类型二类型二点坐标规律点坐标规律试题演练试题演练1. (4031， 3)【解析解析】在正六边形翻转过程中在正六边形翻转过程中，点点 B 翻转时每经过六次翻转就重新落翻转时每经过六次翻转就重新落在在x 轴上轴上，正六边形每翻转六次称为一个翻转周期正六边形每翻转六次称为一个翻转周期，在一个翻转周期内点在一个翻转周期内点 B 平移的距离为平移的距离为 12个单位个单位，又又201563355，2015 次翻转实际上是次翻转实际上是 335 个翻转周期零个翻转周期零 5 次次，第第 5次翻转时次翻转时 B 点的坐标为点的坐标为(11， 3)，2015 次

22、翻转后次翻转后 B 点的横坐标为点的横坐标为 33512114031，纵坐标为纵坐标为 3，故其坐标为故其坐标为(4031， 3).2. (1，1)【解析解析】矩形四个顶点坐标分别为矩形四个顶点坐标分别为：A(1，1)，B(1，1)，C(1，2)，D(1，2)ABCD2，BCAD3，矩形的周长为矩形的周长为 232310，则循环周期所则循环周期所需的单位长度是需的单位长度是 10，2014102014，细线的另一端在绕四边形第细线的另一端在绕四边形第 202 圈的第圈的第 4 个个单位长度的位置单位长度的位置， 其坐标为其坐标为(1，1)3. (20172，2015 32)【解析解析】如解图如

23、解图，过过 B1向向 x 轴作垂线轴作垂线 B1C，垂足为垂足为 C，由题意可得由题意可得：A(1，0)，AOA1B1，OB1C30，CB1OB1cos3032，B1的横坐标为的横坐标为：12，B1的的纵坐标为纵坐标为：32，B1(12，32)，点点 B1，B2，B3，都在直线都在直线 y 3x 上上，同理可得出：同理可得出：B2的横坐标为：的横坐标为：1，y 3，A2(2， 3)，An(1n2，3n2)A2015(20172，2015 32)第第 3 题解图题解图4.解：解：(1)A3(1，0)，A6(3，0)，A9(6，0)；(2)由由(1)得出规律为：点得出规律为：点 A3n的坐标为的坐

24、标为(12n(n1)，0)；(3)原点原点 O 到点到点 A33的距离是的距离是12111266.5. 解：解：(16，3)，(32，0)；(2n，3)，(2n1，0)解法提示解法提示：A A(1(1，3)3)，A A1 1(2(2，3)3)，A A2 2(4(4，3)3)，A A3 3(8(8，3)3)；纵坐标不变纵坐标不变，为为 3 3，横坐标横坐标都和都和 2 2 有关有关，为为 2 2n n，A An n(2(2n n，3)3)；B B(2(2，0)0)，B B1 1(4(4，0)0)，B B2 2(8(8，0)0)，B B3 3(16(16，0)0)；纵坐标纵坐标不变不变，为为 0

25、0，横坐标都和横坐标都和 2 2 有关有关，为为 2 2n n1 1，B Bn n(2(2n n1 1，0).0).类型三类型三图形规律图形规律试题演练试题演练1. 1【解析】【解析】由三角形的中位线定理得：线段由三角形的中位线定理得：线段 A2B2、B2C2、C2A2分别等于线段分别等于线段 A1B1、B1C1、C1A1的一半的一半，所以所以A2B2C2的周长等于的周长等于A1B1C1的周长的一半的周长的一半，以此类推可求出以此类推可求出A5B5C5的周长为的周长为A1B1C1的周长的的周长的124，A5B5C5的周长为的周长为124(745)116161.2.32(34)n【解析解析】等边

26、三角形等边三角形 ABC 的边长为的边长为 2，AB1BC，BB11，AB2，根据根据勾股定勾股定理理得得 AB1 3，S11234( 3)232(34)1；等边三角形等边三角形 AB1C1的边长为的边长为 3，AB2B1C1，B1B232，根据勾股定理得根据勾股定理得：AB232，S21234(32)232(34)2；依此依此类推：类推：Sn32(34)n.3. (1)28,36,35；(2)n2；22nx或或32xn或或2nxn（答案不唯一（答案不唯一） 4. 解：解：(1)补充完整的表如下：补充完整的表如下：正方形个数正方形个数1 12 23 34 45 56 6n n火柴棒根数火柴棒根数4 47 710101313161619193 3n n1 1解法提示：解法提示：观察题中图案的摆放方式观察题中图案的摆放方式，可知每增加可知每增加 1 1 个正方形火柴图案个正方形火柴图案，火柴棒的根，火柴棒的根数相应地增加数相应地增加 3 3 根根，若摆成若摆成 5 5 个