华中科技大学流体力学第三章_3

1、3.10 3.10 动量方程和动量矩方程动量方程和动量矩方程V2AADBCBDCV1 ABC D1ABCD0ABCD1DCC D1ABBA0ABCD0 tttttt IIIIIII ABCD0ABCD1tt IIDCC DABB A III10ttt定常流动1ABBAdnAvt A IV2DCCDdnAvt A IVV2AADBCBDCV1DCC DABB A00dlimlimdttttt IIIIF21ddnnAAvAvAVVF21ddnnAAvAvAQ111111ddnnAAvAvAQVVV222222ddnnAAvAvAQVVV221 1QVVF21QVVF21ddnnAAvAvAVVF

2、取 为 1 - 动量修正系数 FVVinoutQQ控制体控制体2211QQVVF同样由动量矩定理ddmtrVrFFrVrVr111222QQFrVrVrinoutQQ可以得到或者 动量方程和动量矩方程都是在控制体上推导的， 使用时要注意控制体的选取； 动量方程和动量矩方程都是矢量方程，分别等 价于三个标量方程。动量矩方程解解 取坐标和控制体如图。从解决工程实际问题的角度出发只需考虑表压强。 11122221aappAppAQFnnVV对控制体列出动量方程 2F例例 求水流对弯管的作用力 。F分量形式 112221coscosxaaFppAppAQ V V222sinsinyaFppAQV11

3、122221aappAppAQFnnVV2F12141.13 m/sQVd22112222pVpVgggg22211219387 Pa2aapppp VV22121221coscos506.6 N44xaaddFppppQ VV 2222sinsin249.5 N4yadFppQV例例 已知 Q = 0.08 m3/s， d1 = 0.3 m，d2 = 0.2 m， = 30， 截面 A1中心点表压强 p1-pa=12 kPa，求Fx和Fy。 112221coscosxaaFppAppAQ VV222sinsinyaFppAQVxFyF 解解 流体对管壁的作用力 , xxyyFFFF 2224

4、2.55 m/sQVd例例 消防水龙喷嘴横截面积由 A1收缩至 A2，高速水流由 管道经喷嘴以速度V2射入大气，求水流喷射时作用 给喷嘴的力 F 。解解 取控制体如图。因为只涉及到一个方向的运动和受 力，对速度和力都采用标量表示。设截面 A1上的表 压强为 p1-pa 。对控制体内流体列出动量方程 2111aQ VVppAF在出口截面压强为大气压，故 p2 = pa 222121112aAppVA2221212VFAAA2111aQ VVppAF22AVQ 由于没考虑流体粘性的影响，所以当 A1= A2 时 F = 0 。 2211AVAV22112222pVpV由连续性方程和伯努利方程求 p

5、1和V1例例 射流速度V，射流截面积A，叶片转角，求叶片与流 体之间的作用力Fx和Fy 。由 y 方向动量方程得到解解 列 x 方向动量方程yVFxFyxAVVcosxFVA VV21 cosxFV A2sinyFV A于是得到yFxFyxAVV-uuV-u解解 采用固结于叶片上的运动坐标系, 则在此动坐标系中流动是定常的。 取控制体如图, 此控制体进出口截面上的速度应为相对速度 (V u), 应用动量方程有射流对叶片作的功率例例 射流速度V，射流截面积A，叶片折角，叶片速度u，求叶片与流体之间的作用力Fx和Fy 。21 cosxFVuA21 cosxPF uVuuA2sinyFVuAhF0F

6、1HF0 x11z0例例 考虑矩形平板闸下出流，已知 B = 6 m，H = 5 m，hc= 1 m， Q = 30 m3/s，不计粘性影响， 试求水流对闸门推力。解解 取控制体如图， 两个截面的速度为，设闸门对水流作用力为 F ，则 x 方向的动量方程为030 m/s1 m/s65QVBH1001Q VVFFF130 m/s5 m/s61QVBhhF0F1HF0 x11z00110221022511 2211 1000 9.8 561000 9.8 16 1000 305 1 N22 5.856 10 NFFFQ VVgH Bgh BQ VV 1001Q VVFFF解出 F，并代入数据计算，

7、例例 求射流对斜置平板(单位厚度) 的作用力F。 设：流量为 Q，速度为V， 来流方向与板的夹角为 。 解解 取控制体如图。因射流处于大 气之中，射流中压强都近似等 于大气压。又由伯努利方程知 V1 = V2 = V。 x 方向动量方程： VQFsiny 方向动量方程： 0cos21VQVQVQQQ2cos11QQ2cos12当 V 和 Q 已知，可以由 y 方向的动量方程计算 F 。由连续性条件 Q = Q1 + Q2 和 x 方向的动量方程还可以解出0cos21VQVQVQVQFsin例例 求叶轮机功率。 流体由内向外流动，叶轮以等角速度 旋转，体积流量 Q ，进口 r = R1 处和出口

8、 r = R2 处绝对速度分别为 V1 和 V2 ，绝对速度在两处与圆周切线的角为1和2。 解解 取内轮与外轮之间的环形空间为控制体。 运用动量矩方程可以写出叶片对流体所作用的力矩 222111coscosMQ V RV R叶轮对流体做功的功率为 222111coscosPMQV RV R 对于水泵、风机等，叶片对流体做功，P 0 ；对于水轮机、气轮机等，流体对叶片做功 ，P 0 .222111coscosMQ V RV R例例 流量2Q的水由转轴流入转臂， 再从喷嘴流出。当水喷出时， 水流的反推力使洒水器转动。 不计摩擦力的作用，求旋转 角速度。 解解 取半径为R的圆周为控制面，流入控制体的流体相对 于转轴的动量矩为零，由