第三章第6节函数图形的描绘

1、1第一节、微分中值定理第一节、微分中值定理 第三节、泰勒公式第三节、泰勒公式 第第3 3章章 本章内容：本章内容：第二节、洛必达法则第二节、洛必达法则 第四节、函数的单调性与曲线的凹凸性第四节、函数的单调性与曲线的凹凸性 第五节、函数的极值与最大值最小值第五节、函数的极值与最大值最小值 第六节、函数图形的描绘第六节、函数图形的描绘 第第3 3章章微分中值定理微分中值定理 与导数的应用与导数的应用 第七节、曲率第七节、曲率 2函数图形的描绘第六节一、渐近线一、渐近线二、图形描绘的步骤二、图形描绘的步骤三、作图举例三、作图举例四、小结四、小结3点点M M与某一直线与某一直线L L的距离趋于的距离趋

2、于0 0, ,一、一、 曲线的渐近线曲线的渐近线定义定义. .若曲线若曲线C C上的点上的点M M 沿着曲线无限地远离原点沿着曲线无限地远离原点时时, ,则称直线则称直线L L为为曲线曲线C C的的渐近线渐近线 . .例如例如, , 双曲线双曲线12222 byax有渐近线有渐近线0 byax或为或为“纵坐标差纵坐标差”NLbxkyMxyoC)(xfy Pxyo41. 1. 水平与铅直渐近线水平与铅直渐近线若若,b)x(flimx 则曲线则曲线)x(fy 有水平渐近线有水平渐近线.by ),( x或或若若,)x(flimxx 0则曲线则曲线)x(fy 有铅直渐近线有铅直渐近线.xx0 )x,x

3、x( 00或或例例1.1.求曲线求曲线211 xy的渐近线的渐近线 . .解解: :2211 )x(limx2y 为水平渐近线为水平渐近线; ;,)x(limx 21111 x为铅直渐近线为铅直渐近线. .2152. 2. 斜渐近线（以斜渐近线（以x+x+为例）为例）有则曲线)(xfy 斜渐近线斜渐近线.bxky若若,0)(limxfx)(bxk 0)(limxbkxxfxx0)(limxfx)(bxk 0)(limxbkxxfx)(limxbxxfkxxxfkx)(lim)(limxkxfbx6例例2.2.求曲线求曲线3223xxxy的渐近线的渐近线 . .解解: :,) 1)(3(3xxx

4、y,ylimx 3) 1(x或所以有铅直渐近线所以有铅直渐近线3x及及1x又因又因xxfkx)(lim32lim22xxxx1)(limxxfbx3232lim22xxxxx22xy为曲线的斜渐近线为曲线的斜渐近线 . .312 xy2xy 无渐近线无渐近线 . .注：但抛物线注：但抛物线7注意注意:;x)x(flim)(x不不存存在在 1,ax)x(flim,ax)x(flim)(xx不存在不存在但但存在存在 2.)x(fy不存在斜渐近线不存在斜渐近线可以断定可以断定 例例3 3.1)3)(2(2)(的渐近线的渐近线求求 xxxxf解解)., 1()1 ,(: D如果如果8 )x(flimx

5、1, .1是曲线的铅直渐近线是曲线的铅直渐近线 x xxfx)(lim又又)1()3)(2(2lim xxxxx, 2 )()(limxxxxx213221)1(2)3)(2(2lim xxxxxx, 4 .42是是曲曲线线的的一一条条斜斜渐渐近近线线 xy9的两条渐近线如图的两条渐近线如图1)3)(2(2)( xxxxf10 求曲线求曲线4sin52cosxxyxx的水平渐近线方程。的水平渐近线方程。练习：练习：11二、函数图形的描绘二、函数图形的描绘步骤：步骤：1.1.确定函数确定函数)(xfy 的定义域的定义域, ,期性；期性；2.2.求求, )(, )(xfxf 并求出并求出)(xf

6、及及)(xf 3.3.列表判别增减及凹凸区间列表判别增减及凹凸区间, ,求出极值和拐点；求出极值和拐点；4.4.求渐近线；求渐近线；5.5.确定某些特殊点确定某些特殊点, ,描绘函数图形描绘函数图形 . .为为0 0和不存在和不存在的点；的点；并考察其对称性及周并考察其对称性及周12三、作图举例例例4 4.2)1(4)(2的图形的图形作函数作函数 xxxf解解, 0: xD非奇非偶函数非奇非偶函数,且无对称性且无对称性.,)2(4)(3xxxf .)3(8)(4xxxf , 0)( xf令令,x2 , 0)( xf令令.x3 得特殊点得特殊点2)1(4lim)(lim2 xxxfxx, 2 ;

7、 2 y得水平渐近线得水平渐近线得驻点得驻点132)1(4lim)(lim200 xxxfxx, . 0 x得得铅铅直直渐渐近近线线列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点凹凸区间及极值点和拐点:x)3,( ), 0( )2, 3( 3 )0 , 2( )(xf )(xf 00)(xf 2 0 不存在不存在拐点拐点极值点极值点间间断断点点3 )926, 3( ,)2(4)(3xxxf .)3(8)(4xxxf 14:补补充充点点);0 , 31(),0 , 31( ),2, 1( A),6 , 1(B).1 , 2(C作图作图xyo2 3 2111 2 3 6ABC)9

8、26, 3( )3, 2( 15例例5 5.1)(23的图形的图形作函数作函数 xxxxf解解),(:D无奇偶性及周期性无奇偶性及周期性. .),1)(13()( xxxf).13(2)( xxf, 0)( xf令令. 1,31 xx得驻点得驻点, 0)( xf令令.31 x得特殊点得特殊点:补补充充点点),0 , 1( A),1 , 0(B).85,23(C列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间, ,凹凸区间及极值点与凹凸区间及极值点与拐点：拐点：16x)31,( ), 1( )31,31( 31 )1 ,31( 0311 拐点拐点极大值极大值2732)2716,31(0)(xf )(xf

9、)(xf 极小值极小值0 xyo)0 , 1( A)1 , 0(B)85,23(C11 3131 ),1)(13()( xxxf).13(2)( xxf17例例6.6.描绘函数描绘函数21y22xe的图形的图形. . 解解: : 1) 1) 定义域为定义域为, ),(图形对称于图形对称于y y 轴轴. .2) 2) 求关键点求关键点 y21,22xex y2122xe)1 (2x得令0 y;0 x得令0 y1x2100e21xyy y10) 1,0(), 1 (3) 3) 判别曲线形态判别曲线形态( (极大极大) )( (拐点拐点) )18(极大极大)(拐点拐点)0limyx0y为水平渐近线为

10、水平渐近线5) 5) 作图作图4) 4) 求渐近线求渐近线2100e21xyy y10) 1,0(), 1 (2221xeyxyoBA2119水平渐近线水平渐近线 ; ; 垂直渐近线垂直渐近线; ; 内容小结内容小结1. 1. 曲线渐近线的求法曲线渐近线的求法斜渐近线斜渐近线按作图步骤进行按作图步骤进行2. 2. 函数图形的描绘函数图形的描绘20思考与练习思考与练习 1. 1. 曲线曲线)(1122xxeey ( (A A) ) 没有渐近线；没有渐近线；( (B B) ) 仅有水平渐近线；仅有水平渐近线；( (C C) ) 仅有铅直渐近线；仅有铅直渐近线；( (D D) ) 既有水平渐近线又有

11、铅直渐近线既有水平渐近线又有铅直渐近线. .提示提示: :;111lim22 xxxee 2211lim0 xxxeeD210sinlim xxx0 y是是其其图图象象的的渐渐近近线线.0 x不不是是其其图图象象的的渐渐近近线线. 1sinlim0 xxxxxysin 223. 求函数求函数,1arctan)1ln(21)(2xxxfy )0( x的单调区间的单调区间, 凸凹区间和极值凸凹区间和极值.解解:, 011111)(222 xxxxxxf1 x驻点驻点0)1(21)1(2)1(1)(222222 xxxxxxxxf)21(, 21 xx舍去舍去解得解得)(xf)(xf)(xfy )1

12、2,( 12 0拐点拐点)1, 12( 1 极极小小)0 , 1( 极小值极小值42ln21)1( f2332( )(25)f xxx 1,231310)(xxxf1x0 x23(1)3,(0)0,( 1)7,(2)2ffff 0)0(f. 7) 1(f4. 求函数求函数在闭区间在闭区间解解:，得驻点，得驻点 和不可导点和不可导点由由 比较可得比较可得 最大值为最大值为最小值为最小值为上的最大值和最小值。上的最大值和最小值。24322( )2221设由确定yy xyyxyx并判断它是否为极值点。2642220yyy yyxyx0令得yyx32210 xx 22212()64()44220yyyyyy yyxy11102xyy5.解：解：代入方程：代入方程：得唯一驻点：得唯一驻点： x = 1 所以，所以，故故x = 1为极小点。为极小点。 的驻点的驻点求求y(x)y 25221(0)4xttytt ( 1,0)222312110 (0)2dydd ydxtdxdxdttttdt 处(0所以，曲线在处)是凸的。Lt 6.6.已知曲线已知曲线L的方程为的方程为（1）讨论）讨论L的凹凸性；的凹凸性；（2）过点）过点引引