空间向量解决立体几何的向量方法(三)求距离

1、空间向量之应用空间向量之应用3利用空间向量求距离利用空间向量求距离课本P42alaa an A P O 一、求点与平面间距离例例1、已知正方形、已知正方形ABCD的边长为的边长为4，CG平面平面ABCDABCD，CG=2,ECG=2,E、F F分别是分别是ABAB、ADAD的中点，求点的中点，求点B B到平面到平面GEFGEF的距离。的距离。DABCGFExyzDABCGFExyz(2, 2,0),( 2, 4,2),EFEG nEF nEG ，|BE|2 11.11ndn 2202420 xyxy 1 1(,1),3 3n B(2,0,0)E 例例1练习练习1:的的距距离离。到到平平面面求求

2、，平平面面SCDAaADaBCABSAABCDABABCDSA,290 SBCDAxyzAPDCBMN练习练习2:DMPNAxCBzy例2、已知正方形ABCD的边长为4，CG平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面GEF的距离。DABCGFExyz二、求直线与平面间距离|BE|2 11.11ndn 正方体正方体AC1棱长为棱长为1，求求BD与平面与平面GB1D1的的距离距离A1B1C1D1ABCDXYZnnDDd1练习练习3:G 例例3、正方体、正方体AC1棱长为棱长为1， 求平面求平面A1DC1与平面与平面AB1C的距离的距离A1B1C1D1ABCDXYZ三、求

3、平面与平面间距离三、求平面与平面间距离nnBDd1练习4、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，求平面AMN与平面EFDB的距离。ABCDA1B1C1D1MNEFxyznnABd BAaMNnAB ndn ab四、求异面直线的距离四、求异面直线的距离zxyABCC1).4 , 2 , 0(),0 , 0 , 2(),0 , 1 , 1 (),0 , 0 , 0(,1BAECxyzC则解：如图建立坐标系1(1,1,0),(2,2,4),CEAB 1,( , , ).CE ABnx y z 设的公垂线的方向向量为则100

4、n CEn AB 即02240 xyxyz取x=1,z则y=-1,z=1,所以) 1 , 1, 1 ( n, ,(1,0,0).C ACA 在两直线上各取点1|2 3.|3n CACEABdn 与与的的距距离离EA1B1例例4已知正方体已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为的棱长为1，求异面，求异面直线直线DA1与与AC的距离。的距离。ABDCA1B1C1D1xyz练习练习5练习练习6:如图如图, ,的距离。的距离。与与，求，求距离为距离为的的到面到面，点，点所成的角为所成的角为面面与与，且，且面面是正方形，是正方形，SDACABCDSABCDSAABCDSBABCD145 ASCDBx

5、yz评述：评述：此题用找公垂线的方法比较难下手，用向量代数此题用找公垂线的方法比较难下手，用向量代数的方法则简捷，高效，显示了向量代数方法在解的方法则简捷，高效，显示了向量代数方法在解决立体几何问题的优越性决立体几何问题的优越性平行平面间的距离可转化为直线到平面的距离或平行平面间的距离可转化为直线到平面的距离或再转化为点到平面的距离再转化为点到平面的距离小结：小结：1 1、怎样利用向量求距离？、怎样利用向量求距离？点到平面的距离：点到平面的距离：连结该点与平面上任意一点的向量在平面定连结该点与平面上任意一点的向量在平面定向法向量上的射影（向法向量上的射影（如果不知道判断方向，可取其射影的绝对如果不知道判断方向，可取其射影的绝对值值）。）。点到直线的距离：点到直线的距离：求出垂线段的向量的模。求出垂线段的向量的模。直线到平面的距离：直线到平面的距离：转化为点到平面的距离。转化为点到平面的距离。平行平面间的距离：平行平面间的距离：转化为直线到平面的距离、点到平面的距离。转化为直线到平面的距离、点到平面的距离。异面直线间的距离：异面直线间的距离：转化为直线到平面的距离、点到平面的转化为直线到平面的距离、点到平面