等比数列前n项和公式的推导

1、复习复习: :等比数列等比数列 a an n an+1an =q(定值) (1)(1) 等比数列等比数列: :(2) 通项公式通项公式:an=a1qn-1(4) 重要性质重要性质:n-man=amqm+n=p+qanaqam = ap注:以上 m, n, p, q 均为自然数成等比数列成等比数列(3)bGa,)0( ,2ababG).0, 0(1qaq, 得nqS.11121211nnnqaqaqaqaqa，得,111nnqaaSq由此得q1时，qqaSnn111等比数列的前n项和nnaaaaS321设等比数列,321naaaa它的前n项和是.11212111nnnqaqaqaqaaS即说明：

2、这种求和方法称为错位相减法当q1时，qqaSnn111,111qaqqaqannnqqaaSnn11显然，当q=1时，1naSn,11111qqaaqqannnS,1na( q=1).(q1).等比数列的前n项和表述为：证法一：证法一：Sn=a1+a2+ an=a1+a1q+a1q2+a1qn-2 +a1qn-1 qSn=a1q+a1q2+a1qn-1 +a1qn - 得得Sn-qSn=a1-a1qn qqasnn 111证法二：证法二：Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-2 +a1qn-1 =a1+q(a1+a1q+a1qn-2)=a1+q(Sn-an)qqaasnn 11证法三：证法三

3、：qaaaaaann 12312qaaaaaann 12132qaSaSnnn1qqaasnn 11例1、求下列等比数列前8项的和,81,41,21)1(0,2431,27)2(91qaa解：时所以当8n 256255211211218nS:,2431,2791可得由aa)2(8272431q)1(因为21,211qa可得：又由, 0q31q时于是当8n 811640)31(1311278nS :a2n量中，求满足下列条件的、在等比数列例nnsaanq和求.21,5,2)2(1nqsaann和求.341,512, 1)3(1nsaa求,2)1(31解：21,5,2)2(1anq得：代入qqas

4、qaannnn11,11182214415qaa2311221212121555s可得代入将qqaannnnSSaa111341,512,1)3(2.1)512(1341qqq解得：10)2(1512,111nqaannn解得：所以因为112)1(231qqaa即nnaSqn222211，所以，时，数列为常数列当nqqannnSq) 1(11) 1(1) 1(1 21)1 (1时，当说明：选择适当的公式。并且要根据具体题意，中，只知三可求二，在五个变量nnSanqa,1.作为第一要素来考虑。的取值，应把它意在利用公式，一定要注q？台（结果保留到个位）可使总销售量达到几年，那么从今年起，大约比上

5、一年的销售量增加售量台，如果平均每年的销某商场今年销售计算机30000%105000：例3分析：第1年产量为 5000台第2年产量为 5000(1+10%)=50001.1台第3年产量为5000(1+10%) (1+10%)台21 . 15000第n年产量为台11 . 15000n则n年内的总产量为：121 . 151 . 151 . 155n？台（结果保留到个位）可使总销售量达到几年，那么从今年起，大约比上一年的销售量增加售量台，如果平均每年的销某商场今年销售计算机30000%105000：例3解：30000, 1 . 1%)101 (,50001nSqa数列，每年的销售量成等比由题意可知，

6、从今年起 值。的，求满足比数列分析：本例相当于在等nSann300001 .11)1 .11(500030000n由公式得：6.11.1n整理得,6.1lg1.1lgn两边取对数，得5041.02 .06 .1lg1 .1lgn用计算器算得台。年可使总销售量达到答：从今年起，大约300005 (1)(1) 等比数列前等比数列前n n项和公式：项和公式：等比数列前等比数列前n项和公式项和公式你了解多少？你了解多少？Sn=1-q(q=1)(q=1)qaan11naSn=1-q(q=1)(q=1)1 (1nqa1na (2)(2) 等比数列前等比数列前n n项和公式的应用：项和公式的应用：1.1.在

7、使用公式时在使用公式时. .注意注意q q的取值的取值是利用公式的前提；是利用公式的前提；. .在使用公式时，要根据题意，适当选择公式。在使用公式时，要根据题意，适当选择公式。利用“错位相减法”推导.n, 1132nsxxx项和的前、求等比数列台厂的销售总量是多少万年内该家电，问从今年起每一年比上一年增加内万台，计划在以后量是、某家电厂去年的销售10%10102aqnsn、求,126 ,128,66) 1 (3121nnnaaaaa 中，在等比数列、 ,14,n)2(nnnssa若项和为的前设等比数列nnss32,126 求?n, 1132nsxxx项和的前、求等比数列xqa , 11解：由已

8、知条件得，nSxxnn11所以)1()1(xxxxxxnnnS111)1 (1时，当1xnnaSn1时，当1x?n,4,3,2, 1132nnsnxxxx项和的前变式：求数列?10%10102台厂的销售总量是多少万年内该家电，问从今年起每一年比上一年增加内万台，计划在以后量是、某家电厂去年的销售a总量组成等比数列。起，每年家电厂的销售解：由题意得，从今年101 . 1%1011 . 1%)101 (1nqaaa，)11 .1 (1 .1101 .11)1 .11(1 .11010aSa所以.) 11 . 1 (1 . 11010万台量是年内该家电厂的销售总答：从今年起a ,128,66) 1 (3121nnnaaaaa 中，在等比数列、qnsn、求,126 1286612866111121nnnnaaaaaaaa即解：的两根是方程012866,21xxaan26464211nnaaaa或解得：1,1qaan126,64,2111qqaannnsaa则若2,1261642qqq即即6,2264,111nqaannn又6,2,64211nqaan则同理可得若2, 6,21或综上所述qn ,14,