2018-2019学年天津市南开区九年级(上)期中数学试卷(word版含详细解析)

1、第1页（共 25 页）2018-2019 学年天津市南开区九年级（上）期中数学试卷、选择题（每小题 3 分，共 36 分）1. （ 3 分）方程 x2- x=0 的解为（）2.（3 分）下列图形中，AB 与 CSABC 成中心对称的是（）3.(3分)用配方法解方程 3x2- 6x+仁 0,则方程可变形为()A. (x-3)2=-B.3(x-1)2hC.(3x-1)2=1D. (x-1)2h4.(3 分)在下列二次函数中， 其图象对称轴为直线x=2 的是()A. y= (x+2)2- 3 B. y=2x - 2C. y= - 2x2- 2D. y=2 (x- 2)5.（3 分）如图，/ AOB=

2、90, / B=30, AO 可以看作是由 AOB 绕点 O 顺 时针旋转a角度得到的.若点 A在 AB 上，则旋转角a的大小可以是（）A. xi=x2=1B. xi=x?=0C. Xi=0, X2=1D. xi= 1, X2=- 1C.A.D.0第2页（共 25 页）（3 分）下随有关圆的一些结论：任意三点确定一个圆；相等的圆心角所 对的弧相等；平分弦的直径垂宜于弦；并且平分弦所对的弧，圆内接四 边形对角互补.其中错误的结论有（A.1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个（3 分）函数 y=a+ax+a （a 0）的图象可能是下列图象中的（3 分）如图，四边形 ABCD 内接于。0,连接

3、OB、0D,若/ BOD=ZBCD,则B. 70C. 120D. 140y=ax2- 2ax- 1（a 是常数，a0）,下列结论正确的是（）A. 当 a=1 时，函数图象经过点（-1,1）A. 30B. 45C. 60D. 906.7.y11!u/1111-耳D.9.（3 分）已知函数B.8.第3页（共 25 页）B. 当 a=- 2 时，函数图象与 x 轴没有交点C.若 av0,函数图象的顶点始终在 x 轴的下方D.若 a0,则当 x 1 时，y 随 x 的增大而增大10. （3 分）如图，AB 是圆 O 的弦，AB=20 一，点 C 是圆 O 上的一个动点，且/ACB=45,若点 M、N

4、分别是 AB、BC 的中点，贝 U MN 的最大值是（）11. （3 分）如图，。O 的半径为 1,动点 P 从点 A 处沿圆周以每秒 45圆心角的 速度逆时针匀速运动，即第 1 秒点 P 位于如图所示的位置，第 2 秒中 P 点位 于点 C 的位置，-则第 2018 秒点 P 所在位置的坐标为（）A. （, ）B. （0, 1）C. （0,- 1）D.12. （3 分）如图，抛物线 y=ax2+bx+3 （a0）的对称轴为直线 x=1，如果关于 x 的方程 a/+bx-8=0（a0）的一个根为 4,那么该方程的另一个根为（）yjp11f0：ii111iA.- 4B.- 2C. 1D. 3二、

5、填空题（每小题 3 分，共 18 分）13._（3 分）已知圆的直径是 13cm,圆心到某条直线的距离是 6cm,那么这条直 线与该圆的位置关系是 .14. （3 分）已知点 P （a+1, 1）关于原点的对称点在第四象限，贝Ua 的取值范围第4页（共 25 页）是_ .15. （3 分）已知点 A 的坐标为（a, b）, O 为坐标原点，连接 OA,将线段 OA 绕点 O 按逆时针方向旋转 90得 OA1，则点 A1的坐标为_.16. （3 分）如图，有长为 24 米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，第5页（共 25 页）且花圃的长可借一段墙体（墙体的最大可用长度 a=10m）,设

6、 AB 的长为 xm,所围的花圃面积为 ym2,则当 x=_ 时，y 的值最大.ADB17.（3 分）在平面直角坐标系中 P 的圆心是（2, a） （a2）,半径为 2,函数 y=x 的图象被。P 截得的弦 AB 的长为 一，则 a 的值是_.18.（3 分）如图，在直角三角形 ABC 中，/ ACB=90, CA=4,点 P 是半圆弧 AC的中点，连接 BP,线段即把图形 APCB（指半圆和三角形 ABC 组成的图形）分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是 _.三、解答题.19.（8 分）已知，关于 x 的方程（m - 1） x2-（m - 2） x -m=0（1） 当 m 取何值时方程有

7、一个实数根？（2） 当 m 取何值时方程有两个实数根？（3） 请你在（2）的条件下，取 m 的一个适当数值代入方程，并求出方程的解.20.（8 分）已知，二次函数 y=a+bx+c （a 0）中的 x, y 满足下表x-10123第6页（共 25 页）y0-3-4-3m(1) 求该二次函数的解析式；(2)_ m 的值为;(3)若 A (p, yj、B (p+1, yj 两点都在该函数的图象上，且 pv0,试比较 yi与y2的大小.21.(10 分)数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面的问题：已知：平面内一点 A,求作：/ A,使得/ A=30.小明同学的作法如下：如图作射线 AB;在射线 A

8、B 上取一点 O,以 O 为圆心，OA 为半径作圆，与 射线AB 交于点 C;以 C 为圆心， OC 为半径作弧， 与。 O 交于点 D， 作射线 AD， ZDAB即为所求作的角.老师说小明的作法是正确的.(1、请你按照小明提示的作法完成作图；(2、请你对小明的作图方法的正确性进行证明.22.(10 分)如图，AB=AC=8 / BAC=90 直线 I 与以 AB 为直径的。O 相切于点B,点 D 是直线 I 上任意一动点，连结 DA 交点 E.(1、当点 D 在 AB 上方且 BD=6 时，求 AE 的长；(2、当 CE 恰好与。O 相切时，求 BD 的长为多少？23.(10 分、我市某童装

9、专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为40 元，若销售价为 60 元，每天可售出 20 件，为迎接双一 ”，专卖店决定采取适当 的降价措施，以扩大销售量，经市场调查发现，如果每件童装降价1 元，那么平均可多售出 2 件.设每件童装降价 x 元(x 0)时，平均每天可盈利 y 元.第7页(共 25 页)(1、写出 y 与 x 的函数关系式；(2)当该专卖店每件童装降价多少元时，平均每天盈利400 元？(3) 该专卖店要想平均每天盈利 600 元，可能吗？请说明理由.24.(10 分)探究：如图 1 和图 2,四边形 ABCD 中，已知 AB=AD, / BAD=90 , 点 E、F 分别在 BC

10、 CD 上，/ EAF=45.(1) 如图 1,若/ B、/ ADC 都是直角，把 ABE 绕点 A 逆时针旋转 90至厶 ADG,使 AB 与 AD 重合，直接写出线段 BE、DF 和 EF 之间的数量关系；2_如图 2,若/ B、/D 都不是直角，则当/ B 与/D 满足_ 关系时，线段BE DF 和 EF 之间依然有中的结论存在，请你写出该结论的证明过程；(2) 拓展：如图 3,在厶 ABC 中，/ BAC=90, AB=AC=2 ，点 D、E 均在边 BC 上，且/ DAE=45, 若 BD=1, 求 DE 的长.25.(10 分)如图，在直角坐标系中，抛物线经过点 A( 0, 4),

11、 B( 1, 0), C( 5, 0),其对称轴与 x 轴相交于点 M .(1) 求抛物线的解析式和对称轴；(2) 在抛物线的对称轴上是否存在一点 P,使厶 PAB 的周长最小？若存在，请求 出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连接 AC,在直线 AC 的下方的抛物线上，是否存在一点 ”，使厶 NAC 的面 积最大？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由.第8页（共 25 页）2018-2019学年天津市南开区九年级 （上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题 3 分，共 36 分）1. （3 分）方程 x2- x=0 的解为（）A. Xl=X2=1B. X1

12、=X2=0C. Xl=0, X2=1D. X1= 1 , X2= - 1【解答】解：X2- X=0,X（X-1） =0,X=0或X-仁 0,X1=0, X2=1 ,故选：C.2.（3 分）下列图形中，AB 与 CSABC 成中心对称的是（）【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项正确;B、 是轴对称图形，故本选项错误；C、 是旋转变换图形，故本选项错误；D、 是旋转变换图形，故本选项错误.故选：A.A. -第9页（共 25 页）3.（3 分）用配方法解方程 3x2- 6x+仁 0,则方程可变形为（ ）2 2 2 2A. （x- 3）2二一B. 3 （x- 1）=C. （3x-1）2=1D.（x

13、-1）2【解答】解：原方程为 3x2- 6x+仁 0,二次项系数化为 1,得 x2- 2x 二-,即 x2- 2x+仁-+1，所以（x- 1）2二.故选 D.4.（3 分）在下列二次函数中，其图象对称轴为直线x=2 的是（）A. y= （x+2）2- 3 B. y=2x - 2C. y= - 2x2- 2D. y=2 （x- 2）【解答】解：A、y= （x+2）2- 3 的对称轴为 x=- 2,所以选项 A 错误；B、 y=2x2- 2 的对称轴为 x=0,所以选项 B 错误；C、 y=- 2x2- 2 的对称轴为 x=0,所以选项 C 错误；D、 y=2 （x- 2）2对称轴为 x=2,所以

14、选项 D 正确；故选：D.5.（3 分）如图，/ AOB=90，/ B=30,AO 可以看作是由 AOB 绕点 O 顺A 在 AB 上，则旋转角a的大小可以是（）【解答】解：I/AOB=90，/ B=30,/ A=60.AO 可以看作是由 AOB 绕点 O 顺时针旋转a角度得到的， OA=OA. OAA 是等边三角形./AOA =60；即旋转角a的大小可以是 60.C.60D.90第10页（共 25 页）故选：C.6.（3 分）下随有关圆的一些结论：任意三点确定一个圆；相等的圆心角所 对的弧相等；平分弦的直径垂宜于弦；并且平分弦所对的弧，圆内接四 边形对角互补.其中错误的结论有（）第11页（共

15、 25 页）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个【解答】解：任意三点确定一个圆；错误，应该的不在同一直线上的三点可 以确定一个圆；2相等的圆心角所对的弧相等；错误，应该是在同圆或等圆中；3平分弦的直径垂宜于弦；并且平分弦所对的弧，错误，此弦不是直径；4圆内接四边形对角互补；正确；故选：C.7.（3 分）函数 y=a+ax+a （a0）的图象可能是下列图象中的（）【解答】解：在函数 y=aX+ax+a （a 0）中，当 av0 时，则该函数开口向下，顶点在 y 轴左侧，抛物线与 y 轴的负半轴相交, 故选项 D 错误；当 a0 时，则该函数开口向上，顶点在 y 轴左侧，抛物线与 y

16、轴的正半轴相交,故选项 A、B 错误；故选项 C 正确;故选：C.8. （3 分）如图，四边形 ABCD 内接于。0,连接 OB、OD,若/ BOD=ZBCD,则第12页（共 25 页）【解答】解：由圆周角定理得，/A=/ BOD,由圆内接四边形的性质得，/ A+ZBCD=180, 3ZA=180,解的，ZA=60,故选：A.9. （ 3 分）已知函数 y 二 ax2-2ax- 1（ a 是常数，a 0）,下列结论正确的是（）A. 当 a=1 时，函数图象经过点（-1，1）B. 当 a=- 2 时，函数图象与 x 轴没有交点C. 若 av0,函数图象的顶点始终在 x 轴的下方D. 若 a0,则

17、当 x 1 时，y 随 x 的增大而增大【解答】解：A、当 a=1 时，函数解析式为豪-2x- 1,当 x=- 1 时，y=1+2 - 1=2,当 a=1 时，函数图象经过点（-1, 2）, A 选项不符合题意；B、当 a=- 2 时，函数解析式为 y=-2x2+4x- 1,令 y=-2X2+4X-仁 0,则厶=42-4X（ -2）x（ -1）=80,当 a=- 2 时，函数图象与 x 轴有两个不同的交点，B 选项不符合题意；2 2Cvy=ax-2ax-1=a（x-1） -1-a,二次函数图象的顶点坐标为（1,- 1 - a）,当1 - av0 时，有 a- 1,C 选项不符合题意；B. 70

18、C.120D.140第13页（共 25 页）D、ty=al 2ax- 1=a （x- 1）2- 1 - a,二次函数图象的对称轴为 x=1.若 a0,则当 x 1 时，y 随 x 的增大而增大，D 选项符合题意.故选：D.10. （3 分）如图，AB 是圆 O 的弦，AB=20 一，点 C 是圆 O 上的一个动点，且ZACB=45,若点M、N 分别是 AB、BC 的中点，贝 U MN 的最大值是（）第14页（共 25 页）11. （3 分）如图 O 的半径为 1,动点 P 从点 A 处沿圆周以每秒 45圆心角的速度逆时针匀速运动，即第 1 秒点 P 位于如图所示的位置，第【解答】解：作PELO

19、A 于 E, OP=1, / POE=45,A. 10B. 5【解答】解：连接 OA、OB,如图,/ AOB=2/ ACB=20,且 10 24 - 3x0二 一 xv8;故 y 与 x 的函数关系为 y=-3/+24X,( xv8);/ y=-3X2+24X=-3(x-4)2+48 (2),半径为 2,函数 y=x 的图象被。P 截得的弦 AB 的长为 一，则 a 的值是_ .第18页（共 25 页）【解答】解：过 P 点作PEL AB于 E,过 P 点作 PC 丄 x 轴于 C,交 AB 于 D,连接PA AB=2 :.AE, PA=2 PE=1.点 D 在直线 y=x 上,/AOC=45

20、,vZDCO=9,/ODC=4,ZPDE=/ ODC=4,ZDPE=/ PDE=45,DE=PE=1PD= 一.vP 的圆心是（2, a）,点 D 的横坐标为 2,OC=2DC=OC=2a=PDDC=2b .故答案为：2+18. （3 分）如图,在直角三角形 ABC 中,ZACB=90 , CA=4,点 P 是半圆弧 AC的中点，连接 BP,线段即把图形 APCB（指半圆和三角形 ABC 组成的图形）第仃页(共 25 页)分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是4图形 BAP 的面积= AOB 的面积+ BOP 的面积+扇形 OAP 的面积,图形 BCP 的面积= BOC 的面积+扇形 OCP

21、 的面积- BOP 的面积,又点 P 是半圆弧 AC 的中点，OA=OC扇形 OAP 的面积二扇形 OCP 的面积， AOB 的面积= BOC 的面积,两部分面积之差的绝对值是2SABOP=OP?OC=4三、解答题.219.（8 分）已知，关于 x 的方程（m - 1） x -（m - 2） x -m=0(1)当 m 取何值时方程有一个实数根？(2)当 m 取何值时方程有两个实数根？(3)请你在(2)的条件下，取 m 的一个适当数值代入方程，并求出方程的解.【解答】解：(1)当 m-仁 0,即 m=1 时，该方程为一元一次方程，方程有一个(2)当 m - 1 工 0,即 m 工 1 时，该方程

22、为一元二次方程;当厶=-(m-2)2-4(m-1)x -m0 时，方程有两个实数根.OB,第20页(共 25 页)解得：mW-,且 m 工 1,当 mW-,且 mH1 时方程有两个实数根;(3)当 m=0 时，方程可化为-X2+2X=0,解得：Xl=0，X2=2.20. (8 分)已知，二次函数 y=a+bx+c (aH0)中的X,y 满足下表X-10123y0-3-4-3m(1) 求该二次函数的解析式；(2) m 的值为 0;(3)若 A (p, yi)、B (p+1 , yi)两点都在该函数的图象上，且 pv0,试比较 yi与 y2的大小.【解答】解：(1)把点(-1 , 0), (2,-

23、 3), (0,- 3)分别代入 y=a+bx+c 中，得解得，这个二次函数的关系式为：y=X -2X-3;(2)由已知表格可得函数的对称轴为 X=1,m=0.故答案是：0;(3) vpv0,pvp+1v1,对称轴为 X=1,第仃页(共 25 页)A、B 两点位于对称轴的左侧,又因为抛物开口向上， yi y2,故答案为 0, yiy2.21.(10 分)数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面的问题： 已知：平面内一点A,求作：/ A,使得/ A=30.小明同学的作法如下：如图作射线 AB;在射线 AB 上取一点 0,以 0 为圆心，OA为半径作圆，与 射线 AB交于点 C;以 C 为圆心，0C

24、 为半径作弧，与。0 交于点 D,作射线AD,ZDAB 即为所求作的角. 老师说小明的作法是正确的.(1)请你按照小明提示的作法完成作图;(2)请你对小明的作图方法的正确性进行证明.【解答】解：(1)如图，/ A 即为所求.(2)连接 0D 0C,由作图知，0B=0C=CD0CD 为等边三角形，贝 U/ C0D=6,/ DAC= / C0D=3.22.(10 分)如图，AB=AC=8 / BAC=90 直线 I 与以 AB 为直径的。0 相切于点B,点 D 是直线 I 上任意一动点，连结 DA 交。0 点 E.(1) 当点 D 在 AB 上方且 BD=6 时，求 AE 的长；(2) 当 CE

25、恰好与。0 相切时，求 BD 的长为多少？第22页(共 25 页)c丄1D1B【解答】解：(1)vAB 为直径,/ AEB=90, BD 为切线， AB 丄 BD,/ ABD=90,在 RtAABD 中, AD= -BE?AD=AB?BD, BE=,在 RtAABE 中，AE=(2)连接 OC,如图，vZBAC=90, CA 为。O 的切线，vCE 为OO 的切线， CA=CE而 OA=OE OC 垂直平分 AE,Z1+Z3=90,而Z1+Z2=90, Z2=Z3,而 AB=CAZCAO=/ ABD, ABDACAO, BD=A0=4=10,第23页（共 25 页）23.(10 分)我市某童装

26、专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为40 元，若销售价为 60 元，每天可售出 20 件，为迎接双一 ”，专卖店决定采取适当 的降价措施，以扩大销售量，经市场调查发现，如果每件童装降价1 元，那么平均可多售出 2 件.设每件童装降价 x 元(x 0)时，平均每天可盈利 y 元.(1) 写出 y 与 x 的函数关系式；(2)当该专卖店每件童装降价多少元时，平均每天盈利400 元？(3) 该专卖店要想平均每天盈利 600 元，可能吗？请说明理由.【解答】解：(1)根据题意得，y 与 x 的函数关系式为 y= (20+2x) (60- 40-x) = - 2x2+20 x+400;(2) 当 y=

27、400 时，400= - 2/+20X+400,解得 X1= 10，x2=0 (不合题意舍去).故当该专卖店每件童装降价 10 元时，平均每天盈利 400 元；(3) 该专卖店不可能平均每天盈利 600 元.当 y=600 时，600= - 2x2+20 x+400，整理得 x2- 10 x+100=0， =(-10)2-4X1X100=-300V0，方程没有实数根，即该专卖店不可能平均每天盈利600 元.24.(10 分)探究：如图 1 和图 2,四边形 ABCD 中，已知 AB=AD, / BAD=90，点 E、F 分别在 BC CD 上，/ EAF=45.(1)如图 1,若/ B、/ A

28、DC 都是直角，把 ABE 绕点 A 逆时针旋转 90至厶 ADG,第24页(共 25 页)使 AB 与 AD 重合，直接写出线段 BE、DF 和 EF 之间的数量关系；如图 2,若/ B、/ D 都不是直角，则当/ B 与/ D 满足 / B+/D=180 关系 时，线段BE DF 和 EF 之间依然有中的结论存在，请你写出该结论的证明 过程；（2）拓展：如图 3,在厶 ABC 中，/ BAC=90, AB=AC=2 ，点 D、E 均在边 BC 上，且/ DAE=45，若 BD=1,求 DE 的长.图1郢副【解答】解：（1）如图 1， 把 A B E 绕 点 A 逆 时 针 旋 转 9 0

29、至 厶 A D G , 使 A B 与 A D 重 合 , AE=AG/BAE=/ DAG, BE=DG/B=/ADG=90, v/ADC=90,/ ADO/ADG=90 F、D、G 共线，v/BAD=90, /EAF=45,/ BAEn/ DAF=45,/ DAGb/ DAF=45, 即/ EAF=/ GAF=45, 在厶 EAFP GAF 中，EAFAGAF（SAS, EF=GFvBE=DG EF=GF=D+DG=BDF;解：/ B+/D=180 ,理由是：如图 2,把厶 ABE 绕 A 点旋转到厶 ADG,使 AB 和 AD 重合,第25页（共 25 页）贝 U AE=AG / B=ZA

30、DG / BAE=Z DAG,vZB+ZADC=180,/ADOZADG=180, C D、G 在一条直线上，与同理得，ZEAFZGAF=45,在厶 EAFP GAF 中EAFAGAF(SAS, EF=GFvBE=DG EF=GF=B+DF;故答案为：ZB+ZD=180;(2)解：ABC 中,AB=AC=2 一 ,ZBAC=90,ZABC=/ C=45 ,由勾股定理得：BC=4 ,如图 3,把厶 AEC 绕 A 点旋转到厶 AFB 使 AB 和 AC 重合,连接 DF.则 AF=AEZFBA=/ C=45 ,ZBAF=/ CAEvZDAE=45, ZFAD=/ FABZBAD=ZCAEFZBAD=ZBAC-ZDAE=90-45=45, ZFAD=/ DAE=45,在 EAD 中 FADAEAD(SAS,DF=DE设 DE=x 则 DF=xvBC=4第26页(共 25 页) BF=