理工大解析函数课件

1、1CH2 解析函数解析函数 1 1、解析函数的概念解析函数的概念 2 2、解析函数的充要条件解析函数的充要条件 3 3、初等函数初等函数2 2009, Henan Polytechnic University2& 1. 1. 复变函数的导数定义复变函数的导数定义2.1 2.1 解析函数的概念解析函数的概念& 2. 2. 解析函数的概念解析函数的概念3 2009, Henan Polytechnic University3 1. 复变函数的导数复变函数的导数(1)导数定义导数定义定义定义 设函数设函数w=f (z) zD, 且且z0、 z0 +zD，如果极限如果极限 存在，则称函

2、数存在，则称函数f (z)在点在点z0处可导处可导.称此极限值为称此极限值为f (z)在在z0的导数，的导数，记作记作zzfzzfz )()(lim000zzfzzfdzdwzfzzz )()(lim)( 00000 如果如果w=f(z)在区域在区域D内处处可导，则称内处处可导，则称f (z)在区域在区域D内可导内可导.4 2009, Henan Polytechnic University4A (1) (1) z0是在平面区域上以任意方式趋于零是在平面区域上以任意方式趋于零. .A (2) (2) z=x+iy,z=x+iy, f=f(z+z)-f(z) .Re)(:可可导导在在平平面面上上

3、的的任任何何点点都都不不证证明明zzf 例例1zzzzzf )Re()Re(:证证明明yixxxx yixx ;0,0; 1,0zfzzfz时时取取纯纯虚虚数数趋趋于于当当时时取取实实数数趋趋于于当当.lim0不不存存在在zfz 5 2009, Henan Polytechnic University5(2)求导公式与法则求导公式与法则 常数的导数常数的导数 c =(a+ib) =0. (zn) =nzn-1 (n是自然数是自然数).证明证明 对于复平面上任意一点对于复平面上任意一点z0，有，有10010021000)(limlimlim000 nnnnzznnzzzznzzzzzzzzzzz

4、zzz -实函数中求导法则的推广实函数中求导法则的推广6 2009, Henan Polytechnic University6 设函数设函数f (z), ,g (z) 均可导，则均可导，则 f (z)g (z) =f (z)g (z)， f (z)g(z) = f (z)g(z) + f (z)g (z)0)( ,)()( )()()( )()(2 zgzgzgzfzgzfzgzf.0)()()()(10外外）处处处处可可导导在在复复平平面面上上（除除分分母母为为导导；在在整整个个复复平平面面上上处处处处可可由由以以上上讨讨论论zQzPzRzazaazPnn 7 2009, Henan Po

5、lytechnic University7复合函数的导数复合函数的导数 ( f g(z) =f (w)g (z)， 其中其中w=g(z). 反函数的导数反函数的导数 ，其中，其中: w=f (z)与与z= (w)互为单值的反函数，且互为单值的反函数，且(w) 0.)( 1)( wzf 8 2009, Henan Polytechnic University8例例3 问：函数问：函数f (z)=x+2yi是否可导？是否可导？不存在不存在时时当当时时当当 0, 020, 012lim0yxxyyixyixz)( 11)5()(22zfzzzzf，求求已已知知 例例2解解22)1(1)52)(5(2

6、)( zzzzzfyixyixiyyxxzzfzzfzz )2()(2lim)()(lim00解解.2)(处处处处不不可可导导故故函函数数yixzf 9 2009, Henan Polytechnic University9例例4 证明证明 f (z)=zRez只在只在z=0处才可导处才可导. 时时不不存存在在时时0)(Re(lim00Relim00zyixxzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz Re)Re(limRe)Re()(lim00证明证明不存在不存在时时当当时时当当 0, 010, 00lim0yxxyyixxz10 2009, Henan Polytechnic Uni

7、versity10A (1) (1) 复变函数在一点处可导，要比实函数复变函数在一点处可导，要比实函数 在一点处可导要求高得多，也复杂得在一点处可导要求高得多，也复杂得 多，这是因为多，这是因为z00是在平面区域上是在平面区域上 以任意方式趋于零的原故以任意方式趋于零的原故. . (2) (2) 在高等数学中要举出一个处处连续，在高等数学中要举出一个处处连续， 但处处不可导的例题是很困难的但处处不可导的例题是很困难的, , 但在复变函数中，却轻而易举但在复变函数中，却轻而易举.11 2009, Henan Polytechnic University11(3)可导与连续可导与连续若若 w=f

8、(z) 在点在点 z0 处可导处可导 w=f (z) 点点 z0 处连续处连续.? 连续连续在在所以所以由此可得由此可得则则令令有有时时使得当使得当则则可导可导在在若若证明证明0000000000000000000zzfzfzzfzzzzfzfzzfzzfzzfzzfzzfzzfzzfzzzfzz)(),()(lim,)()()(,lim),()()(,)()()(,)(: 12 2009, Henan Polytechnic University122. 解析函数的概念解析函数的概念定义定义 如果函数如果函数w=f (z)在在z0及及z0的某个邻域内处处的某个邻域内处处 可导，则称可导，则称

9、f (z)在在z0解析；解析； 如果如果f (z)在区域在区域D内每一点都解析，则称内每一点都解析，则称 f (z)在在D内解析，或称内解析，或称f (z)是是D内的解析函数内的解析函数 (全纯函数或正则函数）全纯函数或正则函数）.如果如果f (z)在点在点z0不解析，就称不解析，就称z0是是f (z)的的奇点奇点.A (1) w=f (z) 在在 D 内解析内解析 在在D内可导内可导. (2) 函数函数f (z)在在 z0 点可导，未必在点可导，未必在z0解析解析.13 2009, Henan Polytechnic University13例如例如(1) w=z2 在整个复平面处处可导，故

10、是整个复平面在整个复平面处处可导，故是整个复平面 上的解析函数；上的解析函数；(2) w=1/z，除去，除去z=0点外，是整个复平面上的解析点外，是整个复平面上的解析 函数；函数； (3) w=zRez 在整个复平面上处处不解析在整个复平面上处处不解析.定理定理1 设设w=f (z)及及w=g(z)是区域是区域D内的解析函数，内的解析函数，则则 f (z)g(z)，f (z)g(z) 及及 f (z) g(z) (g (z)0时时)均是均是D内的解析函数内的解析函数.14 2009, Henan Polytechnic University14.)0()()()()(10的的解解析析函函数数点

11、点外外除除分分母母为为是是复复平平面面上上函函数数；是是整整个个复复平平面面上上的的解解析析由由以以上上讨讨论论zQzPzRzazaazPnn 定理定理 2 设设 w=f (h) 在在 h 平面上的区域平面上的区域 G 内解析内解析, h=g(z) 在在 z 平面上的区域平面上的区域 D 内解析内解析, h=g(z)的函数值的函数值集合集合 G，则复合函数，则复合函数w=f g(z)在在D内处处解析内处处解析. 15 2009, Henan Polytechnic University152.2 2.2 解析函数的充要条件解析函数的充要条件& 1. 解析函数的充要条件解析函数的充要条件

12、& 2.举例举例16 2009, Henan Polytechnic University16 如果复变函数如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定在定义域义域 D内处处可导，则函数内处处可导，则函数 w = f (z) 在在 D内解析内解析.问题问题 如何判断函数的解析性呢？如何判断函数的解析性呢？17 2009, Henan Polytechnic University171. 解析函数的充要条件解析函数的充要条件yixyxivyxuyyxxivyyxxu ),(),(),(),(则则可可导导在在点点设设函函数数,),(),()(iyxzyxi

13、vyxuzfw zzfzzf)()(18 2009, Henan Polytechnic University18xyxvyxxvixyxuyxxuxyxivyxuyxxivyxxuzzfzzfzfxxxz ),(),(lim),(),(lim ),(),(),(),(lim )()(lim)(0000)0( yzzz若若沿沿平平行行于于实实轴轴的的方方式式xvixu 19 2009, Henan Polytechnic University19yiyxvyyxviyiyxuyyxuyiyxivyxuyyxivyyxuzzfzzfzfyyyz ),(),(lim),(),(lim),(),()

14、,(),(lim)()(lim)(0000)0( xzzz若沿平行于虚轴的方式若沿平行于虚轴的方式yuiyvyvyui 1 20 2009, Henan Polytechnic University20yuxvyvxuyuiyvxvixuzf )( 存存在在A 记忆记忆yvxvyuxu 定义定义 方程方程称为称为Cauchy-Riemann方程方程(简称简称C-R方程方程).yuxvyvxu 21 2009, Henan Polytechnic University21定理定理1 设设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在在 D 内有定义，内有定义， 则则 f (z)在点在

15、点 z=x+iy D处可导的充要条件是处可导的充要条件是 u(x, y) 和和 v(x, y) 在点在点 (x, y ) 可微，且满足可微，且满足 Cauchy-Riemann方程方程yuxvyvxu 上述条件满足时上述条件满足时,有有xyyyyxxxivviuviuuivuzf )( 22 2009, Henan Polytechnic University22证明证明（由由f (z)的可导的可导 C-R方程满足上面已证！只须证方程满足上面已证！只须证 f (z)的可导的可导 函数函数 u(x, y)、v(x, y)可微可微）. 函数函数 w =f (z)点点 z可导，即可导，即)( )()

16、()(zfzzfzzfz 设设则则 f (z+ z)-f(z)=f (z)z+ (z)z (1), 且且zzfzzfzfz )()(lim)( 00)(lim0 zz 23 2009, Henan Polytechnic University23u+iv = (a+ib)(x+iy)+( 1+i 2)(x+iy)=(ax-by+ 1x 2y)+i(bx+ay+ 2x+ 1y)令：令：f (z+z) f (z)=u+iv，f (z)= a+ib， (z)= 1+i 2 故（故（1）式可写为）式可写为因此因此 u=ax by+ 1x 2y , v=bx+ay+ 2x 1y0)(lim0 zz 0l

17、imlim200100 yxyx0lim2100 zyxyx 0lim1200 zyxyx 所以所以u(x, y)，v(x, y)在点在点(x, y)处可微处可微.24 2009, Henan Polytechnic University24 （由函数（由函数u(x,y) ,v (x,y)在点在点(x,y)处可微及满足处可微及满足 C-R方程方程 f (z)在点在点z=x+iy处可导）处可导）u(x，y)，v(x，y)在在(x，y)点可微，即：点可微，即：yxyyuxxuu 21 yxyyvxxvv 43 )4 ,3,21( ,0lim00，其其中中 kkyx yixiyyviyuxxvixu

18、viuzfzzf )()()()()()(4231 25 2009, Henan Polytechnic University25yixizxvixuRC )()()(4231 方方程程由由0)(1|,1|31 izxzyzxxvixuzzfzzfzfz )()(lim)(0zyizxixuizuzzfzzf )()()()(4231 26 2009, Henan Polytechnic University26定理定理2 函数函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在在D内解析充要内解析充要 条件是条件是 u(x, y) 和和 v(x, y)在在D内内可微，且可微，且 满足满足Cau

19、chy-Riemann方程方程yuxvyvxu A 由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系联系. .当一个函数可导时当一个函数可导时, ,仅由其实部或虚部就可以仅由其实部或虚部就可以求出导数来求出导数来. .A 利用该定理可以判断哪些函数是不可导的利用该定理可以判断哪些函数是不可导的. .27 2009, Henan Polytechnic University27使用时使用时: i) 判别判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性，偏导数的连续性， ii) 验证验证C-R条件条件.iii) 求导数求导数：yvyuixvixuzf 1)

20、( A 前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的的, , 但是求复变函数的导数时要注意但是求复变函数的导数时要注意, , 并不是两个并不是两个实函数分别关于实函数分别关于x, ,y求导简单拼凑成的求导简单拼凑成的. .28 2009, Henan Polytechnic University282. 举例举例2)3( )sin(cos)()2(;)1(zwyiyezfzwx ；例例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析判定下列函数在何处可导，在何处解析.解解 (1) 设设z=x+iy w=x-iy u=x, v= -y 则则. 1001析析在在全全平平

21、面面不不可可导导，不不解解故故zwyvxuyvxvyuxu 29 2009, Henan Polytechnic University29(2) f (z)=ex(cosy +isiny) 则则 u=excosy, v= exsiny.)sin(cos)( cossinsincos在在全全平平面面可可导导，解解析析故故yiyezfyuxvyvxuyeyvyexvyeyuyexuxxxxx )(sincos)( zfyieyexvixuzfxx 30 2009, Henan Polytechnic University30仅在点仅在点z = 0处满足处满足C-R条件，故条件，故.02处处可可导导

22、，但但处处处处不不解解析析仅仅在在 zzw (3) 设设z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 则则 0022 yvxvyyuxxu31 2009, Henan Polytechnic University31例例2 求证函数求证函数.0 ),(),( 2222dzdwiyxzyxyiyxxyxivyxuw处解析，并求处解析，并求在在 证明证明 由于在由于在z0处，处，u(x,y)及及v(x,y)都是可微函数，都是可微函数，且满足且满足C-R条件：条件：,)(22222yxxyyvxu 222)(2yxxyxvyu 故函数故函数w=f (z)在在z0处解析，其导数为处解析，

23、其导数为32 2009, Henan Polytechnic University3222222222222221)()()(2)(zyxiyxyxxyiyxxyxvixuzw DzCzfDzzf ,)(,0)( 若若例例3 复复常常数数）()(001)( 2121CiCCzfCvCuvuvuvuiivuzfyyxxyyxx 证明证明33 2009, Henan Polytechnic University33例例4 如果如果f (z)=u(x, y)+i v(x, y)是一解析函数，是一解析函数， 且且 确定确定,)2(,) 1(2),(uifyxyx. ),(yxv34 2009, Hen

24、an Polytechnic University34?)(,)()(2222在复平面内处处解析在复平面内处处解析取何值时取何值时问常数问常数若若zfdcbaydxycxibyaxyxzf 练习练习: a=2 , b=-1 , c=-1 , d=235 2009, Henan Polytechnic University352.32.3初等函数初等函数& 3. 对数函数对数函数& 1. 指数函数指数函数& 2. 三角函数和双曲函数三角函数和双曲函数& 4. 幂函数幂函数& 5. 反三角函数反三角函数36 2009, Henan Polytechnic U

25、niversity361. 指数函数指数函数它与实变指数函数有类似的性质它与实变指数函数有类似的性质：0exp)1( zz)0exp,( xez事实上事实上xezzfxz exp)(,)2(时时为为实实数数当当)0( y , 2, 1, 02)expArg(expkkyzezx )1()sin(cosexp)(:expyiyezzfzziyxzx 如如下下的的指指数数函函数数定定义义复复变变数数对对定义定义.exp)(expexp)()3(zzzzf 且且在复平面上处处解析，在复平面上处处解析，37 2009, Henan Polytechnic University37右右边边左左边边设设事

26、事实实上上 )exp()sin()cos()sincoscos(sinsinsincoscos )sin(cos)sin(cos expexp)2 , 1(,21212121212121221121212121zzyyiyyeyyyyiyyyyeyiyeyiyezzjiyxzxxxxxxjjj)exp(expexp:)4(2121zzzz 加法定理加法定理.expzez代替代替为了方便，我们用以后为了方便，我们用以后38 2009, Henan Polytechnic University38:)(的的周周期期性性由由加加法法定定理理可可推推得得zezf ZkikTzfTzf ,2),()(

27、.2 )()2sin2(cos)2(,22为为任任意意整整数数事事实实上上kikTzfekikeeeeikzfzzikzikz A 这个性质是实变指数函数所没有的这个性质是实变指数函数所没有的.zzxxzzeeeyyiyyeee111)sin()(cos(0 又又2121zzzzeee 39 2009, Henan Polytechnic University39没没有有幂幂的的意意义义. .它它的的定定义义为为仅仅仅仅是是个个符符号号，)sin(cos ,) 1 (yiyeexzyiyexziysincos:Euler0)2( 公公式式 就就得得时时, ,的的实实部部特特别别当当到到A )I

28、m(zie求求例例1 ie 141求求例例2iez 解方程解方程例例3xeysin ie 12241, 2, 1, 022 kikiz 40 2009, Henan Polytechnic University40)2(2cos2sin:,sincossincos,0:Ryeeyieeyyiyeyiyexiyiyiyiyiyiy 从从而而得得到到时时当当由由指指数数函函数数的的定定义义2. 三角函数和双曲函数三角函数和双曲函数推广到复变数情形推广到复变数情形的正弦与余弦函数的正弦与余弦函数称为称为zeezieezzizizizi )3(2cos2sin定义定义41 2009, Henan Po

29、lytechnic University41周周期期函函数数是是及及 2cossin)1 Tzzcos222)2cos(22)2()2(zeeeeeeeeziziziiziizzizi zzzzsin)(coscos)(sin,)2 且且在在复复平平面面上上处处处处解解析析zeeeeizizizizizcos)(21)(21)(sin q正弦与余弦函数的性质正弦与余弦函数的性质42 2009, Henan Polytechnic University42.cos,sin)3是是偶偶函函数数是是奇奇函函数数zzzzzieezizizcos)cos(;sin2)sin( 同理同理zizezizsi

30、ncosEuler,)3()4 成成立立公公式式对对一一切切式式由由思考题思考题. 1cos, 1sin:,cos,sin zzzz有类似的结果有类似的结果是否与实变函数是否与实变函数作为复变函数作为复变函数显得。显得。由由2)cos(yyeeiy 43 2009, Henan Polytechnic University43三三角角公公式式的的加加法法定定理理可可推推知知一一些些及及指指数数函函数数由由正正弦弦和和余余弦弦函函数数定定义义)5 1cossinsincoscossin)sin(sinsincoscos)cos(22212121212121zzzzzzzzzzzzzziyxiyx

31、iyxiyxiyxiyxsincoscossin)sin(sinsincoscos)cos( 44 2009, Henan Polytechnic University44)4(2sin2cos ishyieeiychyeeiyyyyy由正弦和余弦函数的定义得由正弦和余弦函数的定义得 xshyixchyiyxxshyixchyiyxcossin)sin(sincos)cos(zzzzzzzzzzsin1csccos1secsincoscotcossintan 其它三角函数的定义其它三角函数的定义(详见详见P51)45 2009, Henan Polytechnic University45 c

32、hyiyshyieeiyyyycos2sin)4()7当当式式知知由由)(0sin,sin)6Zkkzzz 的的根根为为即即方方程程的的零零点点Zkkzz 2cos 的零点为的零点为.1sin, 1cos不不再再成成立立在在复复数数范范围围内内 zz46 2009, Henan Polytechnic University46)1(thzcthzchzshzthz 22zzzzeechzeeshz 定义定义称为双曲正弦和双曲余弦函数称为双曲正弦和双曲余弦函数q双曲正弦和双曲余弦函数的性质双曲正弦和双曲余弦函数的性质为为周周期期的的函函数数都都是是以以、ichzshz 2)1奇奇函函数数偶偶函函

33、数数 shzchz,)247 2009, Henan Polytechnic University47.,一一定定是是多多值值函函数数反反函函数数且且是是周周期期函函数数，故故它它的的定定义义的的函函数数双双曲曲函函数数均均是是由由复复指指数数三三角角函函数数yishxychxiyxchychiyyishiysincos)(cossin)4 由由定定义义析析在在整整个个复复平平面面内内处处处处解解和和chzshzchzshzshzchz )()()348 2009, Henan Polytechnic University483. 对数函数对数函数定义定义 指数函数的反函数称为对数函数指数函数

34、的反函数称为对数函数.即，即，Lnzwzfwzzew 记作记作称为对数函数称为对数函数的函数的函数把满足把满足,)()0()(2,lnZkkvrureerezivuwiivui 那么那么令令), 1, 0()2(ln kkirLnzw ), 2, 1, 0()2(arglnArgln kkzizzizLnz 或或(1) 对数的定义对数的定义49 2009, Henan Polytechnic University49.2,)0(的的一一个个整整数数倍倍相相差差其其任任意意两两个个相相异异值值即即虚虚部部无无穷穷多多角角的的一一般般值值的的幅幅的的虚虚部部是是的的模模的的实实自自然然对对数数；它

35、它实实部部是是它它的的的的对对数数仍仍为为复复数数这这说说明明一一个个复复数数 zzzz 的的无无穷穷多多值值函函数数是是即即zLnzw ,)(,)2(lnargln ,0主主值值支支的的主主值值称称为为的的一一单单值值函函数数为为时时当当记记作作LnzLnzzzizLnzk )(2lnZkkizLnz 故故50 2009, Henan Polytechnic University50.(负数也有对数).(负数也有对数), ,1)1)复数都有意义复数都有意义对一切非零对一切非零不仅对正数有意义不仅对正数有意义Lnzw ZkikaLnzazLnzaz 2lnlnln0 的的主主值值当当例例如如i

36、kaLnziazLnzaaz )12(lnlnln)0( 的的主主值值当当A .,这与实函数不同这与实函数不同多值性多值性了对数函数的了对数函数的指数函数的周期性导致指数函数的周期性导致 2)2)51 2009, Henan Polytechnic University51(2) 对数函数的性质对数函数的性质21212121,)()1LnzLnzzzLnLnzLnzzzLn .ln:)2处处处处连连续续在在除除去去原原点点与与负负实实轴轴外外连连续续性性z,arglnln:zizz 主主值值;ln续续除除原原点点外外在在其其它它点点均均连连其其中中z.arg 连连续续在在原原点点与与负负实实轴

37、轴上上都都不不而而z.ln,在在复复平平面面内内处处处处连连续续除除原原点点及及负负实实轴轴外外z52 2009, Henan Polytechnic University520)( eeezzeddzzdzd111)(ln zz1)(ln 即即.ln析析的的除除原原点点及及负负实实轴轴外外是是解解z .ln:)3平平面面内内解解析析在在除除去去原原点点与与负负实实轴轴的的解解析析性性zzLnzLnz1)( 且且负负实实轴轴外外均均是是解解析析的的，的的每每个个分分支支除除了了原原点点和和.,2ziez求求设设 例例4, 1, 0222ln kikiz 53 2009, Henan Polyt

38、echnic University534. 乘幂乘幂 与幂函数与幂函数 babzq 乘幂乘幂ab, 0, aba且且为为复复数数设设定义定义.bLnabea 定定义义乘乘幂幂.,0,为为实实数数实实变变数数情情形形ba A kiaLna2ln 多值多值一般为多一般为多值值)2(ln kiabbLnabeea 54 2009, Henan Polytechnic University54.,它它是是单单值值函函数数为为整整数数时时bababebkibkelnln)2sin2(cos kbiabkiabbLnabeeeea2ln)2(ln 为为整整数数当当 b)0,( qqpqpb且且为为互互质质的的整整数数当当)2(argln)2arg(ln kaiaikaiabqpqpqpeeea )1,3 , 2 , 1 , 0( qk)