上海市高中数学竞赛(新知杯)试题及答案

1、精品文档2009 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试卷(20092009 年 3 3 月 2222 日星期日上午 8 8: 30103010: 3030)【说明】解答本试卷不得使用计算器 一、填空题(本题满分 6060 分，前 4 4 小题每小题 7 7 分，后 4 4 小题每小题 8 8 分)2009|2009L.20091设,L。(1,)，则-Og0江 的最小值是 _ 。l0gaL ai02x12 2已知x,y N *，且12 L y 1 9 92L 9，则将y表示成x的函数，其解析式是y _。3 3已知函数f(x) |x22|，若f(a) f(b)，且0 a b，则ab的取值范围是 _13

2、4.4. 满足方程log22cos2(xy)2y2y的所有实数对(x, y) _，2cos (xy)425.5. 若a表示不超过实数a的最大整数，则方程tanx 2sin x的解是_6.6. 不等式22x3 2x4 22 x的解集是_。7.7.设A是由不超过2009的所有正整数构成的集合，即A 1,2,L ,2009，集合L A， 且L中任意两个不同元素之差都不等于4,则集合L元素个数的最大可能值8.8. 给出一个凸10边形及其所有对角线，在以该凸10边形的顶点及所有对角线的交点为顶点的三角形中，至少有两个顶点是该凸10边形顶点的三角形有 _ 个。二、解答题9.9. (本题满分 1414 分)

3、设函数f (x)定义于闭区间0,1，满足f (0)0, f (1) 1，且对任意x y22x, y 0,1, x y，都有f ()(1 a )f(x) a f(y)，其中常数a满足0 a 1，10.10.(本题满分 1414 分)如图，直线分别与双曲线的右支交于点这样的定点，精品文档2求a的值。2x2A是双曲线y 1的右顶点，过点A的两条互相垂直的4M ,N，问直线MN是否一定过x轴上一定点？如果不存在精品文档3，11.11.(本题满分 1616 分)设 代B是集合44283,3485的两个不同子集，使得 子集，B也不是A的子集，求不同的有序集合对(A,B)的组数。12.12.(本题满分 16

4、16 分)设正整数构成的数列kN*恒成立。记该数列若干连续项的和证：所有S(i,j)构成的集合等于N*。A不是B的19对一切且i j。求an使得a10k 9a10k 8L ajap为S(i, j)，其中i, j N*p i 1精品文档1 1、5 5、9 9、2009 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试卷参考答案100；2 2、3X23 3、(0,2)；4、(k+-2，2(k Z)-(k,l4Z)；6 6、0,4；7 7、1005;8 8、960。解:f(3)因为讨)11今)10 1f(RfG)0 f (-a2f所以ff(21(1 a2)f(ya2f(1)2a2(1)34)(1 a2)fG)a2f

5、2a63a4642a 3a,而0 a 1,1010、解法一：A(2,0)，将y轴向右平移2个单位，使点A成为新直角坐标系的原点，在新所以a1414 分由此得a2坐标系下，双曲线的方程为空y21，即4y2x24x 0(*)44 444若MN x轴，则kAM1，即1AM: y X，代入(* *)式可得M(,)，进而N(,)。3 333所以P(4，。)，则点P在原坐标系中的坐标为(扣。若MN不垂直x轴，设lMN: y kx t(t 0)，则y严1,2y于是(* *)可以改写成4y2x24x1kx0,t该方程的两个根k1, k2既是AM , AN的斜率。4k t因为AM AN，所以k1k2込一t1,4

6、t444所以t k，故lMN: y kx k k(x)3334所以过定点P(,0)，则点P在原坐标系中的坐标为3即4t24k t1010 分10(亍0)。10综上所述，直线MN过x轴上的定点P(100)1414 分精品文档3，精品文档51111、解：集合ai,a2,a3, a4,a5有2个子集，不同的有序集合对B的有序集合对(代B)有8 8 分1010 分所以，满足条件的有序集合对(代B)的组数为25(251) 2(3525) 570组。1212、证明：显然S(i,j) N*2 2 分下证对任意n0N *,存在S(i, j)n0用Sn表示数列an的前n项和，考虑10n。10个前n项和：S S2

7、L Sn010(1)由题设S10n010(a1a2La10)(anLa20)L伽01La10Q)10)6 6 分另外，再考虑如下10n010个正整数：显然Son。10n020n0191010 分,X24y48k22 4k2k284k由M(2)，同理得N(牙yk(x 2)4k21 4k214 k24 k1010当k1时，XMXN，所以过(,0)8 8 分33当k1,k2,k-时,由直线MN的方程得，y k(x10 )23所以，10直线MN过x轴上的定点P(,0)1414 分解法二：设直线AM的斜率为k(k 0,k12，k 2)1010 分2)若A B，并设B中含有k(1 k555Cs(2k1)C：2kC5kk 1k 0k 0(代B)有25(251)组。5)个元素，则满足A3525组1616 分S|nS2n LS10n010n2 2)式中各数也两两不等,S(i, j)2 2 分同理，满足B A的有序集合对(代B)也有3525组。精品文档3，这样(1 1)，(