第一章n阶行列式

1、第一章 n阶行列式§1 全排列及逆序数解方程是代数中的一个基本问题，中学代数中，解线性方程组问题时引出了二阶和三阶行列式，我们知道它们的展开式分别为=a11a22-a12a21， (1-1)=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a11a23a32-a1a2a33， （1-）其中元素aij的两个下标i与j分别表示aij所在的行与列的序数.我们观察到(1.2)式的右端是一些项的代数和，其中，每一项是位于不同行不同列的三个数相乘，这三个数的第一个下标是按自然顺序排列的，第二个下标则不按自然顺序排列.我们不禁要问：这个代数和的项数、每一项前的符号与

2、第二个下标的排列顺序有无关系?有什么关系？为此我们引入全排列与逆序数等概念.定义1 由1，2，n组成的一个有序数组称为一个n级全排列(简称排列).有序数组12和21，由两个数构成，称为二级排列，有序数组213则称为三级排列，三级排列的总数为3!=6个，4321为四级排列，四级排列的总数为4!=24个，n级排列的总数是n(n-1)(n-2)··2·1=n!，读为“n阶乘”.显然12n也是一个n级排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的顺序排起来的，其它的排列都或多或少地破坏自然顺序.定义2 在一个排列中，如果两个数(称为数对)的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于

3、后面的数，那么称它们构成一个逆序(反序).一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数.一个排列j1j2jn的逆序数，一般记为(j1j2jn).排列12的逆序数为0；排列21的逆序数为1；排列231的数对21、31均构成逆序，而23不构成逆序，因此排列231的逆序数为2；同理排列213的逆序数是1，即(213)=1.进一步我们有以下定义.定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列.二级排列12为偶排列，21为奇排列；三级排列231为偶排列，213为奇排列.现在我们探讨(1-1)、(1-2)式右端各项的规律：(1-1)式右端各项的第一个下标按自然顺序排列，对它们第二个下标进行

4、观察：第二个下标由两个自然数1和2组成，只能构成两个二级排列：12和21，排列个数等于(1-1)式右端的项数，且排列12的逆序数为0，对应项的符号为“+”，而排列21的逆序数为1，所对应项的符号为“-”.(1-2)式右端各项的第一个下标按自然顺序排列，第二个下标由自然数1、2和3组成，构成的三级排列共有3!=6个：123、231、312、132、213、321，这正好等于(1-2)式右端的项数，排列为123、231、312的逆序数分别为0、2、2，它们均为偶排列，对应项的符号为“+”，排列132、213、321的逆序数分别为1、1、3，它们都是奇排列，对应项的符号为“-”.综上所述：(1-2)

5、式右端各项可写成，这里j1j2j3是1、2、3的一个三级排列，当j1j2j3为偶排列时，项前面的符号为正，当j1j2j3为奇排列时，项前面的符号为负，各项所带符号均可表示为(-1)J，其中J=（j1j2j3）为排列j1j2j3的逆序数.从而(1-2)式可写为，表示对全体三级排列求和.例1计算以下各排列的逆序数，并指出它们的奇偶性.(1) 42531，（2） 135（2n-1）246(2n).解（1） 对于所给排列，4排在首位，逆序个数为0；2的前面有一个比它大的数，逆序个数为1；5的前面有0个比它大的数，逆序个数为0；3的前面有两个比它大的数，逆序个数为2；1的前面有四个比它大的数，逆序个数为

6、4.把这些数加起来，即0+1+0+2+4=7故排列42531的逆序数为7，即(42531)=7，因而是奇排列.(2) 同理可得：135(2n-1)246(2n)=0+(n-1)+(n-2)+2+1=.所给排列当n=4k或4k+1时为偶排列，当n=4k+2或4k+3时为奇排列.§2行列式的定义定义4 n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积 （1-3）的代数和，这里j1j2jn是1，2，n的一个排列，每一项（1-3）都按下列规则带有符号：当j1j2jn是偶排列时，（1-3）带有正号，当j1j2jn是奇排列时，（1-3）带有负号.这一定义可以写成， (1.4)这里表示对所有n级

7、排列求和.例2 计算四阶行列式.解 根据定义，D是4!=24项的代数和，但每一项的乘积中只要有一个元素为0，乘积就等于0，所以只需计算展开式中不明显为0的项.由于第1行元素除a11外全为0，故只需考虑j1=1，第2行元素中只有a21,a22不为0，现已取j=1，故必须取j=2，同理必须取j3=3，j4=4，这就是说行列式展开式中不为0的项只可能是，而列标排列1234的逆序数为0，即此项符号为正，因此行列式.行列式中，从左上角到右下角的直线称为主对角线.主对角线以上的元素全为零(即i<j时元素aij=0)的行列式称为下三角行列式，它等于主对角线上各元素的乘积.主对角线以下的元素全为零(即i

8、>j时元素aij=0)的行列式称为上三角行列式，同理可证它等于主对角线上各元素的乘积.行列式中，除主对角线上的元素以外，其他元素全为零(即ij时元素aij=0)的行列式称为对角行列式，由上面可知它等于对主角线上元素的乘积，即.例3 证明.上面的行列式中，未写出的元素都是0.证 由于行列式的值为：，只需对可能不为0的乘积求和，考虑第n行元素，知jn=1，再考虑第n-1行元素an-1,jn-1，知jn-1=1或jn-1=2，由于jn=1知jn-1=2，如此类推j2=n-1,j1=n,排列j1j2jn只能是排列n(n-1)21,它的逆序数为J=(n-1)+(n-2)+2+1=n(n-1)2,所

9、以行列式的值为.由此可见.例4 设，证明D=D1D2.证 记 ，其中dij=aij(i,j=1,2,，k)；dk+i,k+j=bij(i,j=1,2,，n)；di,k+j=0(i=1,2,，k; j=1,2,，n).考察D的一般项，R是排列的逆序数，由于 (i=1,2,，k; j=1，2，n)，因此均不可大于k值，否则该项为0，故只能在1，2，k中选取，从而只能在k+1,k+2,k+n中选取，于是D中不为0的项可以记作，这里,，R也就是排列的逆序数，以P，Q分别表示排列与的逆序数，则有R=P+Q，于是.§3对换定义5 排列中，将某两个数对调，其余的数不动，这种对排列的变换叫做对换，将

10、相邻两数对换，叫做相邻对换(邻换).定理1 一个排列中的任意两数对换，排列改变奇偶性.证 先证相邻对换的情形.设排列为，对换与排列变为，显然这些数的逆序数经过对换并不改变，仅与两数的逆序数改变：当时，经对换后，是逆序，新排列的逆序数增加1，当时，不是逆序，新排列的逆序数减少1，所以排列与排列的逆序数相差1，奇偶性改变.下证一般对换的情形.设排列为，对换与,把往后连续作次相邻对换，排列变为，再把往前连续作次相邻对换，排列变为，从而实现了与的对换，它是经次相邻对换而成，排列也就改变了次奇偶性，所以两个排列的奇偶性相反.由于数的乘法是可交换的，所以行列式各项中的元素的顺序也可任意交换，例如四阶行列式

11、中乘积可以写成，一般n阶行列式中乘积可以写成，其中与都是n级排列.定理2 n阶行列式的一般项可以写成，其中S与T分别是n级排列与的逆序数.证 该项中任意两元素互换，行下标与列下标同时对换，由定理1知n级排列与同时改变奇偶性，于是S+T的奇偶性不变，如果将排列对换为自然顺序12n(逆序数为0)，排列也相应对换为 (逆序数为J)，则有.由定理2可知，行列式也可定义为. （1.5）若将行列式中各项的列下标按自然顺序排列，而相应行下标排列为，于是行列式又可定义为. （1.6）§4行列式的性质记，行列式D称为行列式D的转置行列式.性质1 行列式与它的转置行列式相等.证 记，即(i,j=1,2,

12、，n)，按行列式定义.性质1表明：行列式中行与列的地位是对称的，即行列式中行具有的性质，其列也具有.性质2 互换行列式的两行(列)，行列式反号.证，交换第p，q两列得行列式.将D与D1按(1-6)式计算，对于D中任一项其中I为排列的逆序数，在D1中必有对应一项（当jp,q时，第j列元素取，第p列元素取，第q列元素取)，其中 为排列的逆序数，而与只经过一次对换，由定理1知，与相差一个符号，又因,所以对于D中任一项，D1中必定有一项与它的符号相反而绝对值相等，又D与D的项数相同，所以D=-D1.交换行列式i，j两行记作r(i，j)，交换行列式i，j两列，记作c(i，j).推论 若行列式有两行(列)

13、元素对应相等，则行列式为零.性质3 行列式的某一行(列)中所有元素都乘以同一个数k，等于用数k乘以此行列式.第i行(列)乘以数k，记作r(i(k)c(i(k).推论 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子，可以提到行列式符号的外面.性质4 行列式中若有两行元素对应成比例，则此行列式为零.性质5 若行列式的某行(列)的元素都是两个数之和，例如，则行列式D等于下列两个行列式之和：.性质6 把行列式某一行(列)的元素乘以数k，加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变.例如，以数k乘以第i行（列）上的元素加到第j行(列)对应元素上,记作，有性质3性质6的证明请读者自证. 例5 计算四阶行列式.解

14、.例6 计算行列式.解.§5行列式的计算定义6 在行列式中划去元素aij所在的第i行与第j列，剩下的(n-1)2个元素按照原来的排法构成一个n-1阶的行列式称为元素的余子式，记为.记，叫做元素的代数余子式.由定义可知，与行列式中第i行、第j列的元素无关.引理 在n阶行列式D，如果第行元素除外全部为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即.证 先证的情形.即 .对一般情形，只要适当交换D的行与列的位置，即可得到结论.定理3 行列式D等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即（i=，n）或（j=，n）.证 .我们称定理3为行列式的按行（列）展开处理，也称之为拉普拉

15、斯（Laplace）展示定理.例7 计算行列式.解 由定理3知.例8 计算行列式.解 例9 计算行列式(加边法).解 当x=0或y=0时，显然D=0，现假设x0且y0，由引理知.例10 证明范德蒙（Vander monde）行列式,其中连乘积是满足条件1j<in的所有因子的乘积.证 用数学归纳法证明.当n=2时，有,结论成立.假设结论对n-1阶范德蒙行列式成立，下面证明对n阶范德蒙行列式结论也成立.在Vn中，从第n行起，依次将前一行乘-x1加到后一行，得按第1列展开，并分别提取公因子，得上式右端的行列式是n-1阶范德蒙行列式，根据归纳假设得,所以.推论 行列式D中任一行(列)的元素与另一

16、行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 (ij)或 (ij).证.当ij，因为与行列式中第j行的元素无关，将上式中的换成（k=1，2，n)，有.同理可证 (ij).综上所述，即得代数余子式的重要性质（行列式按行(列)展开公式）：或例11 计算n阶行列式(递推公式法).解 由行列式可知，.将按第1列展开，即.这个式子对任何n(n2)都成立，故有例12 求方程的根，其中.解 由观察可知是一个根，因为时，行列式第1、2列成比例，所以.要求其他根需展开这个行列式，将第1列乘-1加到2，3，4列；再将变换后的第2列加到第4列，结合例4，即得 .所以方程有两个根：0与-1.§6克莱姆法

17、则由二元、三元线性方程组的克莱姆法则，我们有n元线性方程组的克莱姆法则.克莱姆法则 如果线性方程组 （1-7）的系数行列式不等于零，即，那么，方程组(1.7)有惟一解 （1-8）其中（j =，n)是把系数行列式D中的第j列元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即.证明（1） 把方程组(1-7)简写为.把(1-8)式代入第个方程，左端为.因为，所以 .这相当于把(1-8)式代入方程组(1-7)的每个方程使它们同时变成恒等式，因而(1-8)式确为方程组(1-7)的解.（2） 用中第列元素的代数余子式依次乘方程组(1-7)的个方程，再把它们相加，得.于是有 .当D0时，得解一定满足(1-

18、8)式.综上所述方程组(1-7)有惟一解.例13 解线性方程组解,.于是方程组有解.克莱姆法则亦可叙述为定理4 如果线性方程组(1-7)的系数行列式D0，则方程组(1-7)一定有解，且解是惟一的.它的逆否命题如下定理4如果线性方程组(1-7)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零(D=0).特别地，当方程组右边的常数项全部为零时，方程组(1-7)称为齐次线性方程组 （1-9）它总有解，称为齐次线性方程组(1-9)的零解.若一组不全为零的数，它是齐次线性方程组(1-9)的解，则称它为齐次线性方程组(1.9)的非零解.由定理4知定理5 如果齐次线性方程组(1-9)的系数行列式不等于零，则齐次

19、线性方程组(1-9)没有非零解.推论 如果齐次线性方程组(1-9)有非零解，则齐次线性方程组(1-9)的系数行列式必为零.在第四章我们会进一步证明，如果齐次线性方程组(1-9)的系数行列式为零，则齐次线性方程组(1-9)有非零解.例14 问为何值时，齐次线性方程组 （1-10）有非零解?解 方程组的系数行列式为.若方程组(1.10)有非零解，则它的系数行列式,从而有=2,=5,=8,容易验证，当=2，=5或=8时，齐次线性方程组(1-10)有非零解.例15 求4个平面相交于一点的充分必要条件.解 我们把平面方程写成,其中，于是4个平面交于一点，即的齐次线性方程组有惟一的一组非零解（,1），根据

20、齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于0，即4个平面相交于一点的充分必要条件为.本章小结与补充行列式在教学中有着重要的作用，在本书的后续部分是一个有力的工具.为了引进n阶行列式的定义，揭示行列式中各项符号的规律，我们介绍了全排列及逆序数的概念。由于在确定行列式中项的符号时，需要计算排列的逆序数，要求读者能熟练地掌握逆序数的计算方法。一般来说，计算排列逆序数的方法有两种，第一种方法：分别计算出排在1，2，n-1,n前面比它大的数码之和，即分别求出1，2，n-1,n这n个元素的逆序数，则这n个元素的逆序数之总和即为这个n级排列的逆序数.第二种方法：分别计算出排列中每个元素前面比它大的

21、数码个数之和，即分别求出排列中每个元素的逆序数，则每个元素的逆序数之总和即为这个排列的逆序数.行列式的计算是行列式理论中的一个重要问题.关于n阶行列式的计算，除了应用定义计算外，还有以下几种常见的方法：1.化三角形法：我们知道，上三角形行列式或下三角形行列式的值等于它的主对角线上各元素的乘积.所谓化三角形法，也就是利用行列式的性质将原行列式化为上三角形行列式或下三角形行列式来进行计算.2.降阶法：所谓降阶法，也就是利用行列式的按行（列）展开处理（第一章§5定理3）将行列式展开降阶.通常先利用行列式的性质把原行列式的某行（列）的元素尽可能多地变为零，使该行（列）不为零的元素只有一个或两个，然后再按该行（列）展开降阶后进行计算.3.加边法：所谓加边法，也就是把行列式添加一行和一列，使升阶后的行列式的值保持不变.一般来讲，如果一个n阶行列式除主对角线上的元素外，每一行（列）的元素分别是n-1个元素的倍元，即为 则可添加第1行列的元素依次为1第一列（行）的元素依次为100将转化为进行计算（如第一章§5 例9）.计算行列式的方法比较灵活，除了上面介绍的几种方法外，还可以利用递推法、数学归纳法以及范德蒙行列式等