理论力学@9动能定理

1、第9章 动能定理9.1 主要内容9.1.1 力的功力的元功：在一无限小位移中力所做的功称为力的元功。d或d直角坐标形式力在有限路程上的功：力在有限路程M1M2上的功为力在此路程上元功的定积分。即或 常见力的功：重力的功弹性力的功定轴转动刚体上作用力的功 平面运动刚体上力系的功 9.1.2 质点系和刚体的动能质点系内所有质点在某瞬时动能的算术和称为该瞬时质点系的动能，即动能是描述质点系运动强度的一个物理量。（1）平动刚体的动能：（2）定轴转动刚体的动能： （3） 平面运动刚体的动能9.1.3 质点系的动能定理质点系动能定理建立了质点系动能的变化与作用于质点系上力的功之间的关系。动能定理的微分形式

2、为即在质点系无限小位移中质点系动能的微分等于作用在质点系上所有力的元功之和。动能定理的积分形式为即在有限路程中质点系动能的改变量等于作用在质点系上所有的力在该路程上的有限功之和。9.1.4 功率 功率方程单位时间内力所做的功 功率方程 机械效率 9.1.5 势力场 势能 机械能守恒定律质点在空间任意位置都受到一个大小、方向均为确定的力的作用，该空间称为力场。在势力场中质点从某一位置M移至选定的基点M0的过程中势力所做的功。势力的功仅与质点起点与终点位置有关，而与质点运动的路径无关。（1）重力场中的势能若零势能点选在z0=0处，于是对于质点系或刚体其中是系统的重力，zC是质心的坐标。（2）弹性力

3、场中的势能如取弹簧的自然位置为基点机械能守恒定律质点或质点系在某一位置的动能与势能之代数和称为机械能。若质点系在运动过程中只受有势力作用，则其机械能保持不变。称为机械能守恒定律。 9.2 基本要求1 能理解并熟练计算动能、功、势能等基本物理量。2 会正确应用动能定理的微分形式，解决主动力与加速度之间的关系，主要可求出物体的加速度，以解决系统的动力学问题。3 会正确应用动能定理的积分形式，解决系统的力与运动的问题，主要解决位移、速度与力之间的关系。9.3 重点讨论在动能定理中，力一般按主动力和约束力分类，在理想约束的情况下，约束力的元功之和为零，具有理想约束的一个自由度系统，利用动能定理就可以决

4、定质点系在已知主动力作用下物体的运动规律。特别对于物系问题，可以整体为研究对象，利用动能定理的微分形式求解物系中某一物体的加速度更为方便。动能定理的积分形式也给出了质点系在运动过程中速度与位置之间的关系。9.4 例题分析例9-1 刚度系数为k的弹簧，将上端A固定，下端挂一重量FP的小球（图9-13）。将小球托起，使弹簧具有原长，即小球在自然位置O，然后放手并给小球以向下的初速度v0。求小球所能下降的最大距离。解：以小球在自然位置O为始点，这时速度大小为v0；小球下降到最低处B为终点时，这时速度v=0，而弹簧的伸长为。小球运动时所受的力有重力FP和弹性力F。当小球由O运动到B时，重力FP所做的功

5、等于FP；至于弹性力F所做的功，在式（9-9）中令1=0，2=，即知为。由质点动能定理得即 解得 例9-1图令为FP的静力作用下弹簧的伸长，称为静伸长，于是例92 图9-2所示系统中，滚子A 、滑轮B 均质，重量和半径均为FP1 及r，滚子沿倾角为a 的斜面向下滚动而不滑动，借跨过滑轮B的不可伸长的绳索提升重FP的物体，同时带动滑轮B绕O轴转动，求滚子质心C的加速度aC 。 解法一 求加速度宜用动能定理的微分形式 (a)先写出系统在运动过程中任意位置的动能表达式 (b)A轮纯滚动，D为A轮瞬心，所以 例9-2图又代入式（b），得 (c) (d)主动力FP1、FP的元功 (e)因纯滚动，滑动摩擦

6、力F不作功，将式（d）及式（e）代入式（a），两边再除以dt，且知，得解法二 此题亦可用动能定理的积分形式，求出任意瞬时的速度表达式，再对时间求一阶导数，得到加速度。 由该系统在任意位置的动能表达式（c）所示，设系统的初始动能为T0，它是一个定值，设从初始至任意位置，圆轮质心C走过距离s，由式（922），得任意位置的动能 （f）这里vC和s均为变量，将式（f）两边对时间求一阶倒数，得同样得到例93 椭圆规位于水平面内，由曲柄带动规尺AB运动，如图所示。曲柄和AB都是均质杆，重量分别为FP和2FP，且OCACBCl，滑块A和B重量均为Q。常力偶M作用在曲柄上，设j0时系统静止，求曲柄角速度和角加

7、速度 (以转角j 表示)。 FP2FPIFP2FP (a) (b)例9-3 图解：由图9-3a所示的几何条件，OCBC，jq ，因此OC×w = AB×w = w，系统由静止开始运动，当转过j角时，系统的动能为对AB如图9-3b所示，瞬心为，有运动关系为 所示系统中力做的功为 由动能定理的积分形式为其中 ，解得由动能定理的微分形式，得 其中所以解得例94图示系统中，物块A重FP，均质圆轮B重Q，半径为R，可沿水平面纯滚动，弹簧刚度系数为k，初位置y=0时，弹簧为原长，系统由静止开始运动，定滑轮D 的质量不计，绳不可伸长。试建立物块 A 的运动微分方程，并求其运动规律。 FP

8、例9-4图解：为建立物块 A 的运动微分方程，宜对整个系统应用动能定理。以 A 的位移为变量，当A从初始位置下降任意距离y时，它的速度为vA，此系统的动能 （a）为建立A的运动微分方程，需找出vB、B与vA的关系。有运动学知 （b） （c）将式（b）和式（c）代入式（a），得 （d）由题意，此系统的初动能 初始位置时，弹簧为原长，当A下降y时，弹簧伸长，则外力做功为 （e）根据式（d）和式（e），由动能定理得 （f）对时间求一阶导数，其中，得 （g）此即物块A的运动微分方程。可以看出，对整个系统应用动能定理，以此来建立系统中某物体的运动微分方程是很方便的。如果用微分形式的动能定理求解此题，则要

9、注意到 （h）将式（d）和式（h）代入式（921），得此式两边被dt除，同样得到物块A的微分方程（g）。为便于求解其运动规律，对式（g）作变量变换，令 （i）将式（i）代入式（g），得为消去常数项，令，得到以y1为变量的标准形式的微分方程 设其解为 （j）物块A的运动规律为 （k） （l）其中 （m）将初始条件：t = 0时，代入式（k）和式（l），得，将式（m）和式（n）代入式（j），物块A的运动规律为例9-5 图9-5所示矿井升降机的链带上挂有重FP1、FP2的两重物；绞车由电动机带动。开始时，重物FP1以匀加速度a被提升，当速度达到vmax时，将保持匀速不变。已知绞车的半径为r1，其对轴

10、的转动惯量为I1；滑轮、的半径各为r2 、r3，对轴的转动惯量各为I2、I3；链带的单位长度重量为q，全长为l。试求在变速和匀速两个阶段，电动机的输出功率。忽略各处摩擦。例9-5图解：用功率方程求解，设链带速度为v，系统总动能、有用功率、无用功率为P(有用)=( FP1FP2) vP(有用)=0代入式功率方程，得 （a）注意到链带的重心位置不变，所以其重力的功率为零。由式（a）得到变速运动阶段电动机的输出功率其中，v=at，t是从启动开始计算的时间。匀速运动阶段，电动机的输出功率9.5 习题解答9-1 为什么切向力做功，法向力不做功？为什么作用在瞬心上的力不做功？解：法向力作用点的法向位移为零

11、，做功为零。瞬心上的速度为零，位移为零，所以作用在瞬心上的力不做功。9-2 题9-2图所示，质点受弹簧拉力运动。设弹簧自然长度cm，系数为N/m。当弹簧被拉长到cm时放手，问弹簧每缩短2cm，弹簧所做的功是否相同？解：由弹性力功的公式 所以，弹簧所做的功不相同。9-3 一质点M在粗糙水平圆槽内滑动如题9-3图所示。如果该质点获得的初速度v0恰能使它在圆槽内滑动一周，则摩擦力的功等于零。这种说法对么？为什么?解：这种说法不对。其中，摩擦力的功为9-4 自A点以相同大小但倾角不同的初速度v0抛出物体（视为质点），如题9-4图所示。不计空气阻力，当这一物体落到同一水平面时，它的速度大小是否相等？为什

12、么？解：不计空气阻力时，系统机械能守恒。由机械能守恒定律得 所以，只要初速度v0相同，H相同，则落地的速度大小相等。9-5 题9-5图所示两轮的质量相同，轮A的质量均匀分布，轮B的质心C偏离几何中心O。设两轮以相同的角速度绕中心O转动，问他们的动能是否相同？解：（a） （b）因为，所以两轮的动能不同。9-6 题9-6图所示一纯滚圆轮重，半径为R和r，拉力FT与水平成角，轮与支撑水平面间的静摩擦因数为f，滚动摩擦因数为；求轮心C移动s过程中力的全功。解：圆轮在运动过程中，有两种力做功：一是摩擦力滑动做功和滚动做功；二是拉力平移做功和拉力使轮转动做功。FNFM (a) (b)题9-6图9-7 如题

13、9-7图所示，计算下列情况下各均质物体的动能：a)重为、长为l的直杆以角速度绕O轴转动；b）重为、半径为r的圆盘以角速度绕O轴转动；c) 重为、半径为r的圆轮在水平面上作纯滚动，质心C的速度为v;d) 重为、长为l的杆以角速度绕球铰O轴转动，杆与铅垂线的夹角为（常数）。解：a) xdm b) c) d) ,其中，9-8 题9-8图所示坦克履带质量为m，两个车轮的质量均为m1。车轮可看作均质圆盘，半径为R，两车轮轴间的距离为pR。设坦克前进的速度为v，试计算此质点系的动能。题9-8图解：车轮作平面运动，其中一轮的动能CD段为平动，其动能AC段和BD段合看作一圆环，作平面运动，其动能AB段动能T4

14、0 总动能9-9 题9-9图 所示滑轮重Q、半径为R，对转轴O的回转半径为，一绳绕在滑轮上，绳的另一端系一重为的物体A，滑轮上作用一不变转矩M，使系统由静止而运动；不计绳的质量，求重物上升距离为s时的速度及加速度。题9-8图题9-9图解：由动能定理T1=0 补充方程为 ，代入，得对速度求导数，得9-10 弹簧原长l010cm。弹簧常量k4.9 kN/m，一端固定在O点，此点在半径为R10cm的圆周上，如图示。当弹簧的另一端由B点沿圆弧运动至A点时，弹性力所作的功是多少？已知ACBC，OA为直径。题9-题9-10图解：在B点时 OBl110cm d1l1l010cm 在A点OAl220cmd2l

15、2l0201010cm 弹性力所做的功为9-11 质量为2kg的物体A在弹簧上处于静止，如题9-11图所示。弹簧刚度系数为k=400N/m。现将质量为4kg的物体B放置在物块A上，刚接触就释放它。求：（1）弹簧对两物块的最大作用力；（2）两物块得到的最大速度。题9-11图解：（1）该系统初动能，弹簧压缩量达到最大值时弹簧力最大，两物块速度为零，动能；设这时两物块的位移为xmax；由得式中从而求出弹簧的最大压缩量是弹簧的最大作用力为 （2）设两物块速度为v时，位移为x，动能为T2，得 （1）对时间求导数，注意，得 （2）在速度最大时，解出此时的位移，和一起代入式（1）即可求出最大速度 m/s9-

16、12 链条长l、重，展开放在光滑桌面上，如题9-12图所示。开始时链条静止，并有长度为a的一段下垂。求链条离开桌面时的速度。laa（a）（b）题9-12图解：链条在运动时，各点处速度大小均相等，设为v，所以初状态T00末状态将链子分为两部分，一部分长度为a，另一部分长度为la，则重力做功写成即9-13 题9-13图所示滑轮组中，定滑轮O1半径为r1，重；动滑轮O2半径为r2，重。两轮均视为均质圆盘，悬挂重物M1重，M2重Q。绳和滑轮间无滑动，并设>(2Q)，求重物M1由静止下降距离h时的速度。O1r1r2O2DM1M2v1v2（a）（b）题9-13图解：系统中，定滑轮为定轴转动，动滑轮为

17、平面运动，重物均作平移，分别写出系统初、末时的动能。 T1=0又由动能定理有913题9-14图所示冲床冲压共建时冲头受的平均工作阻力F=52 kN，工作行程s=10 mm。飞轮的转动惯量J=40kg.m2，转速n=415r/min。假定冲压工件所需的全部能量都由飞轮供给，计算冲压结束后飞轮的转速。题 9-14图解：研究整体，冲压前飞轮角速度为，设冲压后飞轮角速度为，由动能定理，有解得 rad/s 冲压后飞轮转速为r/min题9-15图9-15 行星齿轮传动机构置于水平面内，如题9-15图所示。已知动齿轮半径为r，重，可看作均质圆盘；曲柄OA重Q，可看作均质杆；定齿轮半径为R。在曲柄上作用一常力

18、偶M，力偶在机构平面内，机构由静止开始运动。求曲柄转过j角时的角速度和角加速度。解：曲柄转过j角时，系统的动能为：(1)由系统中各部分运动关系分析可知：又代入(1)式，化简得：开始时，系统静止：T10由动能定理的积分式有(2)（2）式两侧对t求微分，则又9-16 题9-16图所示，原长h0=400mm、弹簧刚度系数k=2N/mm、不计质量的弹簧一段固定于O点，另一端与质量m=10kg的均质圆盘的中心A想联结。开始时OA在水平位置，长h1=300mm，速度为零。求圆盘在铅垂平面内沿曲线轨道作纯滚动，OA到铅垂位置时盘心的速度，此时OA=h2=350mm。解：假设圆盘的半径为R，到达铅垂位置时盘心

19、的速度为v，圆盘转动角速度为。则T1=0 由动能定理解得 v=2.35m/s9-17 连杆AB重40N，长l60cm，可视为均质细杆；圆盘重60N，连杆在图示位置静止开始释放，A端沿光滑杆滑下。求：(1)当A端碰着弹簧时(AB处于水平位置)连杆的角速度w；(2)弹簧最大变形量d，设弹簧常量k20N/cm(圆盘只滚不滑)。解：（1）A碰着弹簧时，B点为AB的速度瞬心 题9-17图由动能定理得T2T1W（2）当A达最大形变处时，vAvB0 T10 T20 T2T10WAB 即IAOCBvAvCvB9-18 题9-18图所示两均质细杆AB、BO长均为l，质量为m，在B端铰接，OB杆一端O为铰链支座，

20、AB杆A端为一小滚轮。在AB上作用一不变力偶矩M，并在图示位置静止释放，系统在铅直平面内运动，试求A碰到支座O时，A端的速度。Bq qCMAOmg mg（a）（b） ( c ) 题9-18图解：此题求解的是A端速度，而系统的约束是理想的，由动能定理则 (1)由于二杆与铅直线的夹角q 相等，有，又如图（c）知，AB杆的瞬心在I，由OB杆知vBlw有于是代入动能方程(1)中，得到即则9-19 题9-19图所示轴和安装在其上的飞轮和齿轮的转动惯量分别为I1=490000 kgcm2，I2=392000 kgcm2。齿轮的传动比。发动机传给轴的力矩M=490 Nm，使此系统由静止而转动。如摩擦不计，试

21、求轴经过多少转后，作转速n2=120r/min的转动。解：对整体，由动能定理有式中， ，解得rad轮的转角 轮的转速 题 9-19图9-20 题9-20图所示均质杆OA长l=3.27m，杆上端O处套在某轴上，此杆可在铅垂平面内绕此轴转动。最初，杆处在稳定平衡位置，今欲使此杆转1/4转，问应给予杆的另一端A点多大的速度？解：设给予A点的速度为v，则杆的角速度为，由动能定理 代入整理得m/s9-21 题9-21图所示重物A重，挂在一根无重不可伸长的绳子上，绳子绕过固定滑轮D，并绕在鼓轮B上。由于重物下降，带动轮C沿水平轨道滚动而不滑动。鼓轮的半径为r，轮C的半径为R，两者固结在一起，总重量为Q，对

22、于水平轴O的回转半径等于r。求A重物的加速度。轮D的质量不计。解：由题意轮与地接触点M为速度瞬心则质心速度绳与鼓轮接触点速度即由动能定理其中，v2M题9-21图代入得其中，y、v2均为时间的连续函数，将方程对时间求一次导数，得其中，整理的9-22 在绞车主动轴上，作用一不变力偶矩M以提升一重为的物体。已知：主动轴及从动轴连同各轴上的齿轮、鼓轮等部件对轴的转动惯量分别为I1及I2；传速比w1 /w2i，吊索绕在半径为R的鼓轮上。不计轴承摩擦及吊索质量，求重物A的加速度。FP 题9-22图 解：设系统初瞬时静止，当重物A被提升dh时，由动能定理的微分形式，得所以有由运动关系：所以得9-23 均质圆盘质量为m1，半径为r，可绕定轴O转动，重物A的质量为m2。弹簧水平，弹簧常量为k，图示OB铅直时系统处于平衡位置，求圆盘微振动的微分方程。 题9-23图解：设在平衡位置，弹簧伸长量为x0以平衡位置为初始位置，转过j角后为末位置，系统动能为外力做功为其中，由动能定理有即有又解得9-24 矿用水泵的电动机功率N=25kW，机械效率，井深H=150m；求每小时抽上的水量。解：根据功率方程的概念 应用积分形式由机械能守恒3600×15×103=103×V×9.