概率论第一章习题习题课

1、一、重点与难点一、重点与难点二、主要内容二、主要内容三、典型例题三、典型例题第一章概率论的基本概念第一章概率论的基本概念习题课习题课一、重点与难点一、重点与难点1.重点重点随机事件的概念随机事件的概念古典概型的概率计算方法古典概型的概率计算方法概率的加法公式概率的加法公式条件概率和乘法公式的应用条件概率和乘法公式的应用全概率公式和贝叶斯公式的应用全概率公式和贝叶斯公式的应用2.难点难点古典概型的概率计算全概率公式的应用古典概型的概率计算全概率公式的应用二、主要内容二、主要内容随机随机现象现象随机随机试验试验事件的事件的独立性独立性随随 机机 事事 件件基基本本事事件件必必然然事事件件对对立立事

2、事件件概概 率率古典古典概型概型几何几何概率概率乘法乘法定理定理事件的关系和运算事件的关系和运算全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式性性质质定定义义条件条件概率概率不可能事件不可能事件 在一定条件下可能出现也可能不出现在一定条件下可能出现也可能不出现的现象的现象称为称为随机现象随机现象.随机现象随机现象 10 可以在相同的条件下重复地进行可以在相同的条件下重复地进行; 20 每次试验的可能结果不止一个每次试验的可能结果不止一个,并且能事并且能事先明确试验的所有可能结果先明确试验的所有可能结果; 30 进行一次试验之前不能确定哪一个结果进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现会出现. 在

3、概率论中在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为把具有以下三个特征的试验称为随机试验随机试验.随机试验随机试验20 样本空间的元素样本空间的元素 ,即试验即试验E 的每一个结果的每一个结果, 称为称为样本点样本点.10 随机试验随机试验E的所有可能结果组成的集合称的所有可能结果组成的集合称为为样本空间样本空间,记为记为 S.30 随机试验随机试验 E 的样本空间的样本空间 S 的子集称为的子集称为 E 的的随机事件随机事件, 简称简称事件事件.随机事件随机事件 不可能事件不可能事件 随机试验中不可能出现的结果随机试验中不可能出现的结果.必然事件的对立面是不可能事件必然事件的对立面是不可能事件,

4、不可能事件不可能事件的对立面是必然事件的对立面是必然事件,它们互称为它们互称为对立事件对立事件.基本事件基本事件 由一个样本点组成的单点集由一个样本点组成的单点集.必然事件必然事件 随机试验中必然会出现的结果随机试验中必然会出现的结果.重要的随机事件重要的随机事件事件的关系和运算事件的关系和运算.), 2 , 1(,的子集的子集是是而而的样本空间为的样本空间为设试验设试验SkABASEk (1) 包含关系包含关系若事件若事件 A 出现出现,必然导致必然导致 B 出现出现,则称事件则称事件 B 包含事件包含事件 A,记作记作.BAAB 或或图示图示B 包含包含ASBA(2) A等于等于B 若事件

5、若事件A包含事件包含事件B,而且事件而且事件B包包含事件含事件A, 则称事件则称事件A与事件与事件B相等相等,记作记作 A=B.(3) 事件事件A与与B的并的并(和事件和事件).和事件和事件的的事件事件与与称为事件称为事件或或事件事件BABxAxxBA 图示事件图示事件A与与B的并的并 SBA(4) 事件事件A与与B的交的交(积事件积事件).ABBA或或积事件也可记作积事件也可记作 .积事件积事件的的与事件与事件称为事件称为事件且且事件事件BABxAxxBA 图示事件图示事件A与与B 的积的积SABAB(5) 事件事件A与与B互不相容互不相容 (互斥互斥)若事件若事件 A 的出现必然导致事件的

6、出现必然导致事件 B 不出现不出现 , B 出现也必然导致出现也必然导致 A 不出现不出现,则称事件则称事件 A 与与 B互不相互不相容容,即即. ABBA图示图示 A 与与 B 互斥互斥SAB (6) 事件事件A与与B的差的差由事件由事件A出现而事件出现而事件B不出现所组成的事件称不出现所组成的事件称为事件为事件A与与B的差的差.记作记作 A- - B.图示图示A与与B的差的差SABSABAB AB BA BA 设设A表示表示“事件事件A出现出现”, 则则“事件事件A不出现不出现”称为事件称为事件A的的对立事件或逆事件对立事件或逆事件.记作记作.A图示图示 A 与与 B 的对立的对立SBA

7、若若 A 与与 B 互逆互逆,则有则有. ABSBA且且A(7) 事件事件A的对立事件的对立事件说明说明对立事件与互斥事件的区别对立事件与互斥事件的区别SSABABA A、B对立对立A、B互斥互斥. ABSBA且且 AB互斥互斥对立对立事件运算的性质事件运算的性质.,10BAABABBA 交换律交换律).()(),()(20BCACABCBACBA 结合律结合律).)()()()(,)()()(30CBCACBCACBABCACCBCACBA 分配律分配律. ,:40BABABABA 摩根律摩根律德德则有则有为事件为事件设设,CBA).(,.,AfAnnAnAnnnAA并记成并记成发生的频率发

8、生的频率称为事件称为事件比值比值频数频数发生的发生的称为事件称为事件发生的次数发生的次数事件事件试验中试验中次次在这在这次试验次试验进行了进行了在相同的条件下在相同的条件下(1)频率的定义频率的定义 概率概率设设 A 是随机试验是随机试验 E 的任一事件的任一事件, 则则; 1)(010 Afn; 0)(, 1)(20 fSf).()()()(,32121210knnnkkAfAfAfAAAfAAA 则则是两两互不相容的事件是两两互不相容的事件若若(2)频率的性质频率的性质 :)(,),(,.,满足下列条件满足下列条件如果集合函数如果集合函数率率的概的概称为事件称为事件记为记为赋于一个实数赋于

9、一个实数一事件一事件的每的每对于对于是它的样本空间是它的样本空间是随机试验是随机试验设设 PAAPAESE概率的定义概率的定义; 0)(,:10 APA 有有对于每一个事件对于每一个事件非负性非负性; 1)(,:20 SPS 有有对于必然事件对于必然事件规范性规范性则则有有即即对对于于事事件件是是两两两两互互不不相相容容的的设设, 2 , 1,:3210 jiAAjiAAji可可列列可可加加性性 )()()(2121APAPAAP概率的可列可加性概率的可列可加性. 0)(10 P概率的有限可加性概率的有限可加性则则有有是是两两两两互互不不相相容容的的事事件件 ,2210nAAA若若).()()

10、()(2121nnAPAPAPAAAP ).()()(),()(,30APBPABPBPAPBABA 则则且且为两个事件为两个事件设设. 1)(,40 APA对于任一事件对于任一事件概率的性质概率的性质).(1)(,50APA PAA 则则的对立事件的对立事件是是设设).()()()(,)(60ABPBPAPBAPBA 有有对于任意两事件对于任意两事件加法公式加法公式n 个事件和的情况个事件和的情况)(21nAAAP njijiniiAAPAP11)()().()1()(2111nnnkjikjiAAAPAAAP .)2(;)1(概型概型典典验称为等可能概型或古验称为等可能概型或古具有以上两个

11、特点的试具有以上两个特点的试生的可能性相同生的可能性相同试验中每个基本事件发试验中每个基本事件发有限个元素有限个元素试验的样本空间只包含试验的样本空间只包含定义定义等可能概型等可能概型 (古典概型古典概型)设试验设试验 E 的样本空间由的样本空间由n 个样本点构成个样本点构成, A为为E 的任意一个事件的任意一个事件,且包含且包含 m 个样本点个样本点, 则事则事件件 A 出现的概率记为出现的概率记为:古典概型中事件概率的计算公式古典概型中事件概率的计算公式.样本点总数样本点总数所包含样本点的个数所包含样本点的个数AnmAP 称此为概率的古典定义称此为概率的古典定义.SSAPA )(几何概率几

12、何概率.),(几何概率几何概率定的概率称为定的概率称为量来合理规量来合理规这样借助于几何上的度这样借助于几何上的度区域的度量区域的度量的子的子是构成事件是构成事件是样本空间的度量是样本空间的度量其中其中ASSA当随机试验的样本空间是某个区域当随机试验的样本空间是某个区域,并且任意并且任意一点落在度量一点落在度量 (长度长度, 面积面积, 体积体积) 相同的子区域是相同的子区域是等可能的等可能的,则事件则事件A的概率可定义为的概率可定义为条件概率条件概率,)()()(BPABPBAP 同理可得同理可得为事件为事件 B 发生的条件下事件发生的条件下事件 A 发生的条件概率发生的条件概率.)()()

13、(, 0)(,条件概率条件概率发生的发生的发生的条件下事件发生的条件下事件为在事件为在事件称称且且是两个事件是两个事件设设BAAPABPABPAPBA (1) 条件概率的定义条件概率的定义);()()()(32121210BAAPBAPBAPBAAP );(1)(40BAPBAP ; 0)(, 1)(:20 BPBSP规范性规范性则有则有是两两不相容的事件是两两不相容的事件设设可加可列性可加可列性,:5210BB. )(11 iiiiABPABP; 0)(:10 ABP非负性非负性(2) 条件概率的性质条件概率的性质则有则有且且, 0)(121 nAAAP, 2,21 nnAAAn个事件个事件

14、为为设设推广推广则有则有且且为事件为事件设设, 0)(, ABPCBA).()()()(APABPABCPABCP ).()()()()(112221112121APAAPAAAAPAAAAPAAAPnnnnn ).()()(, 0)(APABPABPAP 则有则有设设乘法定理乘法定理.,2;, 2 , 1,1,21210021的一个划分的一个划分为样本空间为样本空间则称则称若若的一组事件的一组事件为为的样本空间的样本空间为试验为试验设设定义定义SBBBSBBBnjiBBEBBBESnnjin 样本空间的划分样本空间的划分1B2B3B1 nBnB全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式.)

15、()()()()()()(), 2, 1(0)(,221121称称为为全全概概率率公公式式则则且且的的一一个个划划分分为为的的事事件件为为的的样样本本空空间间为为设设试试验验定定理理nninBPBAPBPBAPBPBAPAPniBPSBBBEASE A1B2B3B1 nBnB全概率公式全概率公式A1B2B3B1 nBnB说明说明 全概率公式的主要用处在于它可以将全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题分解为若干个简单一个复杂事件的概率计算问题分解为若干个简单事件的概率计算问题事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最后应用概率的可加性求出最终结果最终结果.贝叶斯公式贝叶斯

16、公式称此为称此为贝叶斯公式贝叶斯公式., 2 , 1,)()()()()(), 2 , 1(0)(, 0)(,.121niBPBAPBPBAPABPniBPAPSBBBEASEnjjjiiiin 则则且且的的一一个个划划分分为为的的事事件件为为的的样样本本空空间间为为设设试试验验定定理理.,)()()(,独立独立简称简称相互独立相互独立则称事件则称事件如果满足等式如果满足等式是两事件是两事件设设BABABPAPABPBA 事件事件 A 与与 B 相互独立是指事件相互独立是指事件 A 的概率与事的概率与事件件 B 是否出现无关是否出现无关.说明说明 事件的相互独立性事件的相互独立性(1)两事件相

17、互独立两事件相互独立(2)三事件两两相互独立三事件两两相互独立.,),()()(),()()(),()()(,两两相互独立两两相互独立则称事件则称事件如果满足等式如果满足等式是三个事件是三个事件设设CBACPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA 注意注意三个事件相互独立三个事件相互独立三个事件两两相互独立三个事件两两相互独立(3)三事件相互独立三事件相互独立.,),()()()(),()()(),()()(),()()(,相互独立相互独立则称事件则称事件如果满足等式如果满足等式是三个事件是三个事件设设CBACPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA ),()(

18、)()(2121kkiiiiiiAPAPAPAAAP .,21为为相相互互独独立立的的事事件件则则称称nAAAn 个事件相互独立个事件相互独立n个事件两两相互独立个事件两两相互独立有有等等式式具具任任意意意意如如果果对对于于任任个个事事件件是是设设推推广广,1, )1(,2121niiinkknAAAkn .).()(,. 0)(,反之亦然反之亦然则则立立相互独相互独若若且且是两事件是两事件设设BPABPBAAPBA 重要定理及结论重要定理及结论定理一定理一.,也相互独立也相互独立与与与与与与则下列各对事件则下列各对事件相互独立相互独立若若BABABABA定理二定理二两个结论两个结论.,)2(

19、,)2(2121个个事事件件仍仍相相互互独独立立所所得得的的事事件件们们的的对对立立中中任任意意多多个个事事件件换换成成它它则则将将相相互互独独立立个个事事件件若若nAAAnAAAnnn .)2(,)2(,)1(21个事件也是相互独立个事件也是相互独立其中任意其中任意则则相互独立相互独立若事件若事件nkknAAAn );()1(1B品品只有第一个零件是合格只有第一个零件是合格);()2(2B件是合格品件是合格品三个零件中只有一个零三个零件中只有一个零);(,)3(3B个次品个次品一一但后两个零件中至少有但后两个零件中至少有第一个是合格品第一个是合格品三、典型例题三、典型例题:)3 , 2 ,

20、1(,)3 , 2 , 1(,3表示下列事件表示下列事件试用试用个零件是合格品个零件是合格品生产的第生产的第表示他表示他以事件以事件个零件个零件一个工人生产了一个工人生产了 iAiiAii例例1解解;)1(3211AAAB ;)2(3213213212AAAAAAAAAB );()3(3213AAAB ,)4(3214AAAB ;3214AAAB 或或,)5(3215AAAB .3215AAAB 或或说明说明 一个事件往往有多个等价的表达方式一个事件往往有多个等价的表达方式.).()5(5B三个零件都是次品三个零件都是次品);()4(4B个合格品个合格品三个零件中最多只有两三个零件中最多只有两

21、.:.,ABBCACBACABCCBA 证明证明满足满足设随机事件设随机事件证明证明,BAC 由于由于,BAC 故故BBABC)( 从而从而,BA BABCBCA ,BC ,ABABCACB )(BBACAC 故故BACACB .ABBC 例例2., 6 . 0, 7 . 0率率少有一次命中目标的概少有一次命中目标的概试求两次独立射击至试求两次独立射击至射击命中目标的概率为射击命中目标的概率为这时这时内的概率为内的概率为假设目标出现在射程之假设目标出现在射程之思路思路 引进事件引进事件 ;目标进入射程目标进入射程 A. 2 , 1, iiBi次射击命中目标次射击命中目标第第.,21用全概率公式

22、来求解用全概率公式来求解可利可利因此因此命中目标的命中目标的不在射程之内是不可能不在射程之内是不可能由于目标由于目标的概率的概率故所求概率为事件故所求概率为事件BBB 例例3解解由题意知由题意知)2 , 1(6 . 0)(, 7 . 0)( iABPAPi, 0)(表示目标不在射程之内表示目标不在射程之内因为因为由于由于ABAP 有有因此由全概率公式因此由全概率公式,)()()()(ABPBAPABPBP )()(ABPAP ),()(21ABBPAP ,21相互独立相互独立与与由题意知由题意知BB 由加法公式得由加法公式得)(21ABBP)()()(2121ABBPABPABP 36. 06

23、 . 06 . 0 )()()(2121ABPABPABBP 从而从而36. 06 . 06 . 0 .84. 0 )()()(21ABBPAPBP 故故84. 07 . 0 .588. 0 .,573,251510两份两份从中先后抽出从中先后抽出名表名表随机地取一个地区的报随机地取一个地区的报份份份和份和份份为为其中女生的报名表分别其中女生的报名表分别生的报名表生的报名表名考名考名和名和名名设有来自三个地区的各设有来自三个地区的各、;)1(p表的概率表的概率求先抽到的一份是女生求先抽到的一份是女生.,)2(p的一份是女生表的概率的一份是女生表的概率求先抽到求先抽到男生表男生表已知后抽到的一份表是已知后抽到的一份表是思路思路 由于抽到的表与来自哪个地区有关由于抽到的表与来自哪个地区有关,故此故此题要用全概率公式来讨论题要用全概率公式来讨论.例例4解解; 3 , 2 , 1, iHi抽到地区考生的报名表抽到地区考生的报名表记记, 2 , 1, jjAj次抽到报名表是男生的次抽到报名表是男生的第第;107)();3 , 2 , 1(31)(11 HAPiHPi则有则有.2520)(;158)(3121 HAPHAP由全概