椭圆各类型题目

1、学员姓名：科目：数学年级：时间：年月日共课时授课教师：总课时：已上课时：教学标题椭圆考点、教学重点1.理解曲线的方程与方程曲线的概念，会求一些简单的曲线方程(重点)2理解曲线上点的坐标与方程的解的一一对应关系(难点)1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系(重点)2能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题(难点)教学过程椭圆类型一椭圆的定义及其应用【例1】设P是椭圆1上一点，F1、F2是椭圆的焦点，若F1PF260°，求F1PF2的面积【思路探究】(1)由椭圆方程，你能写出|PF1|PF2|与|F1F2|的大小吗？(2)在F1PF2中，根据余弦定

2、理可以得到|F1F2|、|PF1|、|PF2|之间的关系式吗？(3)怎样求F1PF2的面积？【自主解答】由椭圆方程知，a225，b2，c2，c，2c5.在PF1F2中，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|cos 60°，即25|PF1|2|PF2|2|PF1|·|PF2|.由椭圆的定义得10|PF1|PF2|，即100|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|.，得3|PF1|·|PF2|75，所以|PF1|·|PF2|25，所以SF1PF2|PF1|·|PF2|·sin 60

3、76;.1椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.(2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解2椭圆中的焦点三角形椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的PF1F2，称为焦点三角形解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解在本例中，若把椭圆方程改为“1”，把F1PF260°，改为“PF1F290°”，其余条

4、件不变，试求PF1F2的面积【解】椭圆方程1，知a2，c1，由椭圆定义，得|PF1|PF2|2a4，且|F1F2|2，在PF1F2中，PF1F290°.|PF2|2|PF1|2|F1F2|2.从而(4|PF1|)2|PF1|24，则|PF1|，因此SPF1F2·|F1F2|·|PF1|.故所求PF1F2的面积为.类型2与椭圆有关的轨迹问题【例2】图221如图221所示，圆x2y21上任意一点P，过点P作x轴的垂线段PP，P为垂足M为直线PP上一点，且|PM|PP|(为大于零的常数)当点P在圆上运动时，点M的轨迹是什么？为什么？【思路探究】(1)本例适用什么方法求动

5、点的轨迹方程？(2)所求轨迹一定是椭圆吗？【自主解答】设M(x，y)，P(x0，y0)，PPx轴，且|PM|PP|，xx0，yy0，即x0x，y0y.点P(x0，y0)在圆x2y21上，xy1.把x0x，y0y代入上式得x21.当01时，点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆；当1时，点M的轨迹是圆；当1时，点M的轨迹是焦点在y轴上的椭圆1与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例所用方法为代入法2代入法(相关点法)若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方

6、程F(x，y)0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)代入法的主要步骤：设所求轨迹上任意一点P(x，y)，相对应的已知曲线上的点设为Q(x1，y1)；建立关系式()将()代入已知曲线方程化简就得所求轨迹方程动点P在y2x21上移动，则P点与Q(0，1)连线中点的轨迹方程是什么？【解】设P(x0，y0)，PQ的中点M(x，y)则P(x0，y0)在y2x21上， 2(2x)212y1，y4x2.即忽略椭圆标准方程的隐含条件致误【变式训练】若方程1表示椭圆，求k的取值范围【错解】由得3k5.【错因分析】错误的原因是没有注意椭圆的标准方程中ab这个条件，当ab时，方程并

7、不表示椭圆【防范措施】椭圆标准方程中，分母都大于零且不相等，在解题时，不仅要注意分母都大于零，还要注意分母相等时该方程就变成了圆的方程【正解】由题意可知解得3k5且k4.PQ中点的轨迹方程为：y4x2.求椭圆的离心率(1)已知椭圆的焦距与短轴长相等，求椭圆的离心率(2)若椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率【思路探究】(1)能否推导出a与c的关系进而求出的值？(2)能否由已知条件构造关于的方程求解？【自主解答】(1)由题意得：bc，e2，e.(2)由题意得：2bac，4b2(ac)2又a2b2c2，4(a2c2)a22acc2即3a22ac5c20，32·5&

8、#183;()20即5·()22·30，e.求e的值或范围问题就是寻求它们的方程或不等式，具体如下：(1)若已知a，c可直接代入e求得；(2)若已知a，b，则使用e求解；(3)若已知b，c，则求a，再利用(1)或(2)求解；(4)若已知a，b，c的关系，可转化为关于离心率e的方程(不等式)求值(范围)1(1)椭圆1的离心率为_(2)已知椭圆的两焦点为F1、F2，A为椭圆上一点，且·0，AF2F160°，则该椭圆的离心率为_【解析】(1)a216，b28，e.(2)·0，AF1AF2，且AF2F160°.设|F1F2|2c，|AF1|c

9、，|AF2|c.由椭圆定义知：cc2a即(1)c2a.e1.【答案】(1)(2)12.以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个点与两焦点，恰好组成一个正六边形，求这个椭圆的离心率【自主解答】如图，设椭圆两焦点为F1，F2，与正六边形其中两个交点为A，B，并设正六边形边长为m，则根据正六边形的性质有：FAB120°，|OF1|m，根据余弦定理F1B2m2m22m·m·cos 120°3m2，F1Bm，又2aF1BBF2mm，am，又cm，1，即椭圆的离心率为1.3已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·0的点M总在椭圆

10、内部，则椭圆离心率的取值范围是()A(0,1)B(0，C(0，) D，1)【解析】设M(x，y)，·0，M的轨迹方程为x2y2c2，其中F1F2为圆直径由题意知椭圆上的点在圆x2y2c2外部，设P为椭圆上任一点，则|OP|c恒成立，而|OP|b，bc，c2b2a2c2，a22c2，()2，0e.【答案】C利用椭圆的几何性质求最值问题【备选】(12分)(2013·淄博高二检测)中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆上有M(1，)，N(，)两点(1)求椭圆的标准方程；(2)在椭圆上是否存在点P(x，y)到定点A(a,0)(其中0a3)的距离的最小值为1？若存在，求P点的坐标；若不存在

11、，请说明理由【思路点拨】(1)由于焦点位置不明确，需分情况讨论或用椭圆的一般方程形式，代入已知点求解；(2)表示出椭圆上的点P与定点A(a,0)的距离，研究其最小值，根据最小值求出a的值，进而求出点p的坐标【规范解答】(1)设椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，mn).1分椭圆过M，N两点，3分椭圆方程为1.5分(2)假设存在点P(x，y)满足题设条件，|AP|2(xa)2y2.又1，y24(1)，|AP|2(xa)24(1)(xa)24a2.7分|x|3,0a3，若|a|3，即当0a时，|AP|2的最小值为4a2，由题意得4a21a±(0，；若a3，即a3，当x3时，|AP|2

12、取得最小值为(3a)2，依题意(3a)21，解得a4或a2，4(，3)，2(，3)，a2.此时P点的坐标是(3,0)，故当a2时，存在这样的点P满足条件，P点坐标为(3,0).12分【思维启迪】1.求椭圆的标准方程时，要先定位，再定量；当焦点位置不能确定时，需分类讨论或者用椭圆的一般方程形式解决2在解与椭圆上点有关的最值问题时，一定不能忽略椭圆的范围类型四弦长问题【例4】过点P(1,1)的直线与椭圆1交于A，B两点，若线段AB的中点恰为点P，求AB所在的直线方程及弦长|AB|.【思路探究】【自主解答】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由A，B两点在椭圆上得两式相减得(x1x2)(x1x2)

13、2(y1y2)(y1y2)0显然x1x2，故由得：kAB.因为点P(1,1)是AB的中点，所以有：x1x22，y1y22，把代入得：kAB，直线AB的方程为y1(x1)，即x2y30，由消去y，得3x26x10.x1x22，x1x2，|AB|··.求弦长的两种方法：(1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点距离公式求弦长(2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P1P2|，其中x1、x2(y1、y2)是上述一元二次方程的两根，由韦达定理求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长已知斜率为1的直线l过椭圆y21的右焦点F，交椭圆于A、B两

14、点，求弦AB的长【解】设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由椭圆方程知a24，b21，c，F(，0)，直线l的方程为yx，将其代入椭圆方程，并化简、整理得5x28x80，x1x2，x1x2，|AB|x1x2|··.类型5中点弦问题【例5】过椭圆1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分，求此弦所在的直线方程【思路探究】可以联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解；也可以考虑利用点差法求解【自主解答】法一设所求直线方程为y1k(x2)代入椭圆方程并整理，得(4k21)x28(2k2k)x4(2k1)2160.又设直线与椭圆的交点为A(x1，y

15、1)、B(x2，y2)，则x1、x2是方程的两个根，于是x1x2.又M为AB的中点，2，解之得k.故所求直线的方程为x2y40.法二设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)又M(2,1)为AB的中点，x1x24，y1y22.又A、B两点在椭圆上，则x4y16，x4y16.两式相减得(xx)4(yy)0.于是(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.，即kAB.又直线AB过M(2,1)点，故所求直线的方程为x2y40.本题的这两种解法，是解中点弦问题的常用方法，解中点弦问题关键在于充分利用“中点”这一条件，灵活运用中点坐标公式及根与系数的关系，解法一是设出方程，根据中点

16、坐标求出k；解法二是设出交点坐标，代入方程，整体作差求直线方程(也叫点差法)，是“设而不求”若一直线与椭圆4x29y236相交于A、B两点，且弦AB中点的坐标为M(1,1)，则直线AB的方程为_【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)是弦A、B的两个端点，代入椭圆方程有，两式相减得4(x1x2)(x1x2)9(y1y2)(y1y2)0，M(1,1)为弦AB的中点，x1x22，y1y22，4(x1x2)9(y1y2)0，kAB.故AB的直线方程为y1(x1)，即4x9y130.【答案】4x9y130运用“设而不求”法研究直线和椭圆位置关系问题(12分)(2013·本溪高二检测)已知

17、椭圆方程为1(ab0)，过点A(a,0)，B(0，b)的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为.(1)求椭圆的方程；(2)斜率大于零的直线过D(1,0)与椭圆分别交于点E，F，若2，求直线EF的方程；(3)对于D(1,0)，是否存在实数k，使得直线ykx2分别交椭圆于点P，Q，且|DP|DQ|，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由【思路点拨】(1)根据椭圆上两点A、B连线的倾斜角和原点到该直线的距离可以求出椭圆方程中的待定系数，从而求得椭圆方程(2)利用直线EF过D且斜率大于0设出直线方程，与椭圆方程联立，再根据向量关系得出坐标间关系，进而求出直线方程(3)利用定点D与弦端点的几何关系，由设而

18、不求的思想方法，转换成坐标关系，构造出关于k的方程，再求出k值【规范解答】(1)由，ab××，得a，b1，所以椭圆的方程是y21.2分(2)设EF：xmy1(m0)代入y21，得(m23)y22my20.设E(x1，y1)，F(x2，y2)由2，得y12y2，4分由y1y2y2，y1y22y得()2，m1，m1(舍去)，直线EF的方程为xy1，即xy10.7分(3)记P(x1，y1)，Q(x2，y2)将ykx2代入y21，得(3k21)x212kx90(*)，x1，x2是此方程的两个相异实根设PQ的中点为M，则xM，yMkxM2.由|DP|DQ|，得DMPQ，kDM，3k2

19、4k10，得k1或k.10分但k1，k均使方程(*)没有两相异实根满足条件的k不存在.12分【思维启迪】1.直线和椭圆位置关系问题中设而不求、整体代换是常用的运算技巧，在解题中要注意运用，避免求解浪费时间或造成不必要的失分2直线和椭圆相交时切记0是求参数范围(值)的前提条件课后作业：一、选择题1点A(a,1)在椭圆1的内部，则a的取值范围是()AaBa或aC2a2 D1a1【解析】点A(a,1)在椭圆1内部，1.则a22，a.【答案】A2(2013·潍坊高二检测)直线yk(x2)1与椭圆1的位置关系是()A相离B相交C相切D无法判断【解析】直线yk(x2)1过定点P(2,1)，将P(

20、2,1)代入椭圆方程，得1，P(2,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交【答案】B3已知椭圆1有两个顶点在直线x2y2上，则此椭圆的焦点坐标是()A(±，0) B(0，±)C(±，0) D(0，±)【解析】直线x2y2过(2,0)和(0,1)点，a2，b1，c，椭圆焦点坐标为(±，0)【答案】A4(2013·大庆高二检测)椭圆mx2ny21与直线y1x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是()A. B.C. D.【解析】联立方程组可得(mn)x22nxn10，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0

21、，y0)，则x0，y01x01.kOP.故选A.【答案】A5直线ykx1与椭圆1总有公共点，则m的取值范围是()Am1Bm1或0m1C0m5且m1Dm1且m5【解】由得(m5k2)x210kx5(1m)0，又直线与椭圆有公共点，上述方程的0对一切k都成立，即(10k)24(m5k2)×5(1m)0，亦即5k21m对一切k都成立，1m0，即m1，而m5.【答案】D二、填空题6已知F1为椭圆C：y21的左焦点，直线l：yx1与椭圆C交于A、B两点，那么|F1A|F1B|的值为_【解析】设点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)，由消去y，得3x24x0.A(0，1)，B(，)又由

22、y21知左焦点F1(1,0)，则|F1A|F1B|.【答案】7直线l交椭圆1于A、B两点，AB的中点为M(2,1)，则l的方程为_【解析】由点差法求出kAB，l的方程为y1(x2)化简得：3x2y80.【答案】3x2y808过椭圆1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为_【解析】由已知可得直线方程为y2x2，联立方程得解得A(0，2)，B(，)，SAOB·|OF|·|yAyB|.【答案】三、解答题图2249如图224所示，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状若最大拱高h

23、为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？【解】如图建立直角坐标系，则点P(11,4.5)，椭圆方程为1.P(11,4.5)在椭圆上，1.又bh6，代入式，得a.此时l2a33.3(米)，因此隧道的拱宽约为33.3米10已知椭圆4x2y21及直线yxm.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程【解】(1)由题意得消y整理得：5x22mxm210.直线与椭圆有公共点，4m220(m21)2016m20，m.(2)设直线与椭圆交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由(1)得|AB|x1x2|··.m，0m2，当m0时，|AB|取得最

24、大值，此时直线方程为yx，即xy0.11已知ABC的顶点A，B在椭圆x23y24上，C在直线l：yx2上，且ABl.(1)当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及ABC的面积；(2)当ABC90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程【解】(1)ABl，且AB边通过点(0,0)，AB所在直线的方程为yx.设A，B两点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，由得x±1，|AB|x1x2|2，又AB边上的高h等于原点到直线l的距离，h，SABC|AB|·h2.(2)设AB所在直线方程为yxm.由得4x26mx3m240.A，B在椭圆上，12m2640.设A，B两点坐

25、标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1x2，x1·x2，|AB|x1x2|.又BC的长等于点(0，m)到直线l的距离，即|BC|.|AC|2|AB|2|BC|2m22m10(m1)211.当m1时，AC边最长(这时12640)此时AB所在直线方程为yx1.1.已知圆B：(x1)2y216及点A(1,0)，C为圆B上任意一点，求AC的垂直平分线l与线段CB的交点P的轨迹方程【解】如图所示，连结AP，l垂直平分AC，|AP|CP|，|PB|PA|BP|PC|4，P点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆2a4,2c|AB|2，a2，c1，b2a2c23.点P的轨迹方程为1.11已知椭圆的焦

26、点在x轴上，且焦距为4，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项(1)求椭圆的方程；(2)若PF1F2的面积为2，求P点坐标【解】(1)由题意知，2c4，c2.且|PF1|PF2|2|F1F2|8，即2a8，a4.b2a2c216412.又椭圆的焦点在x轴上，椭圆的方程为1.(2)设P点坐标为(x0，y0)，依题意知，|F1F2|y0|2，|y0|，y0±，代入椭圆方程1，得x0±2，P点坐标为(2，)或(2，)或(2，)或(2，)12.一动圆与已知圆O1：(x3)2y21外切，与圆O2：(x3)2y281内切，试求动圆圆心的轨迹方程【自主解答】两定圆的圆