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1、初等函数 的连续性高等数学在线开放课程目 录0102031. 连续函数的四则运算定 理 1 （连续函数的四则运算）若函数 f (x), g (x) 在点x0处连续，在点 x0 处也连续.0()0g x f (x)g(x) , f (x)/g(x) 则函数f (x)g(x) , 2. 复合函数的连续性定 理 2（复合函数的连续性）设有复合函数y=f (x) ，若 (x)在点x0连续，且 (x0)=u0 ，则复合函数 y = f (x)在 x = x0也连续 而函数f (u)在 u=u0连续，例如，1(,0)(0,)ux 在在sin(,)yu 在在1sin(,0)(0,)yx 在在内连续 ,内连续

2、 ,内连续 .则2. 复合函数的连续性定 理 2 的 推 论若 函数 y= f (u) 在点 u0 处连续， 则有 0000lim( )lim( )= ()lim( ).xxuuxxfxf uf ufx表明表明: : 复合函数 y = f (x) 满足推论条件时:（1）可作变量代换求复合函数的极限, 即（2）极限运算与函数运算可以交换次序，即 00lim( )lim( ).xxxxfxfx 0lim ( )xxfx 令u=(x) 0lim( )uuf u00lim( )xxxu，例如：求极限解由于由于1ln(1)ln(1)xxxx 0ln(1)lim.xxx 1ln ,(1) ,xyu ux设

3、设 时时,0 x e,u 处连续处连续.lneyuu且且在在10elimln(1ln)limxxuxu 原原式式0101(1) limlim(1) lnlnxxxxxx 原原式式或或:lne1. lne1. 3. 初等函数的连续性初等函数在初等函数在其其定义区间定义区间内内是连续的是连续的定 理 3（初等函数的连续性）根据定理3可知，定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间! !启发：启发：如果x0是初等函数f (x)定义区间内的点，那么，求 时的极限，只要求f (x)在点x0的函数值就可以了.0 xx即00lim( )=()xxf xf x例题1：elim arcsin(ln )xx 因为因为arcsin(lnx) 是初等函数，且是初等函数，且x=e是它是它的定义区间内的一点，由定理的定义区间内的一点，由定理2，有，有:解：解：elimarcsin(ln)arcsin(lne)xx arcsin1.2计算例题2：解：解：计算011limxxx 0011limlim11xxxxxxx 01lim11xx 11.2101 小 结 基本初等函数基本初等函数在在其其定义区间内定义区间内是连续是连续的的初等函数的连续性连续函数的连续函数的复合函数复合函数连续连续

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