线性代数课件—绪论

1、Linear Algebra Exordium线性代数线性代数绪论绪论上上页页下页下页上上页页下页下页问题：问题：1 1、什么是线性代数？、什么是线性代数？2 2、为什么要学线性代数？、为什么要学线性代数？3 3、怎么做才能学好线性代数？、怎么做才能学好线性代数？上上页页下页下页上上页页下页下页线性代数是研究线性理论和方法线性代数是研究线性理论和方法学科学科, 应用广泛应用广泛, 但理论高度抽象，但理论高度抽象， 发展迅速发展迅速.高等学校各专业都开设高等学校各专业都开设了本课程了本课程, 上世纪末在需求牵引与上世纪末在需求牵引与研研的数学课程之一，希望大家能认的数学课程之一，希望大家能认研研

2、的数学课程之一，希望大家能认的数学课程之一，希望大家能认真真学好这门不易学好学好这门不易学好的重要课程的重要课程.前前言言上上页页下页下页上上页页下页下页 一、什么是线性代数一、什么是线性代数？（一）线性（一）线性 线性线性linear，指量与量之间按比例、成直线的关系，指量与量之间按比例、成直线的关系只有只有数乘和加减数乘和加减。线性就是变量都是一次的，没有变量之间的乘法，线性就是变量都是一次的，没有变量之间的乘法，一元线性函数在平面直角坐标系中的关系描述一元线性函数在平面直角坐标系中的关系描述为一条直线，所以把这种函数形象地称为为一条直线，所以把这种函数形象地称为“线线性性”函数，显然，过

3、原点的直线是最简单的线函数，显然，过原点的直线是最简单的线性函数。性函数。axybaxy 线性代数研究的都是线性问题线性代数研究的都是线性问题! !上上页页下页下页上上页页下页下页 代数学的英文名称是代数学的英文名称是algebra，是，是9 9世纪阿拉伯世纪阿拉伯数学家花拉子米的一部著作的名称。原意是数学家花拉子米的一部著作的名称。原意是“还原还原与对消的科学与对消的科学”。什么叫做对消，大家知道的有正。什么叫做对消，大家知道的有正负对消，就是解方程时所谓的移项，所谓还原，就负对消，就是解方程时所谓的移项，所谓还原，就是把本来淹没在方程中的是把本来淹没在方程中的x把它暴露出来，还原了把它暴露

4、出来，还原了x的本来面目，所以的本来面目，所以方程是和代数紧密联系的方程是和代数紧密联系的。 “代数代数”这一词在我国出现较晚，在清代时才传这一词在我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉阿尔热巴拉”，直到，直到18591859年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为成为“代数学代数学”，一直沿用至今。，一直沿用至今。（二）代数（二）代数上上页页下页下页上上页页下页下页 历史上历史上线性代数线性代数的第一个问题是关于解线的第一个问题是关于解线性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又促成性方程组的问题，

5、而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展，了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展，这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。最这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。最初的线性方程组问题大都是来源于生活实践，正是初的线性方程组问题大都是来源于生活实践，正是实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。 另外，近现代数学分析与几何学等数学分支的另外，近现代数学分析与几何学等数学分支的要求也促使了要求也促使了线性代数线性代数的进一步发展。的进一步发展。 上上页页下页下页上上页页下页下页（一）线性方程组（一）线性方程组 求

6、解线性方程组是数学问题中最重要的问题，求解线性方程组是数学问题中最重要的问题，超过超过75 %75 %的科学研究和工程应用中的数学问题，在的科学研究和工程应用中的数学问题，在某个阶段都涉及线性方程组的求解。某个阶段都涉及线性方程组的求解。二、为什么要学线性代数：二、为什么要学线性代数： 线性方程组的求解我们在中学甚至小学就已经线性方程组的求解我们在中学甚至小学就已经开始学习，可能大家觉得是一件非常简单的事情。开始学习，可能大家觉得是一件非常简单的事情。没什么再值得研究学习的，是这样的吗？没什么再值得研究学习的，是这样的吗？线性方程组线性方程组 22221211212111bxaxabxaxa是

7、不是有解？有的话是唯一解还是无穷多解？是不是有解？有的话是唯一解还是无穷多解？ 上上页页下页下页上上页页下页下页 对于线性方程组我们主要研究三个问题对于线性方程组我们主要研究三个问题: : 前面的方程组有两个未知量，那如果有五个，前面的方程组有两个未知量，那如果有五个，十个，一百个十个，一百个把未知量的个数再把未知量的个数再代数代数一下，一下，n个个未知量呢？未知量呢？1 1、是否有解、是否有解? ?2 2、有唯一解还是有无穷多解、有唯一解还是有无穷多解? ?3 3、有无穷多解的话通解怎么表示、有无穷多解的话通解怎么表示? ?( (通解是指线性方程组所有解的通解是指线性方程组所有解的代数表示代

8、数表示) )上上页页下页下页上上页页下页下页（二）矩阵（二）矩阵 矩阵相关理论知识在解决实际问题中也发挥着矩阵相关理论知识在解决实际问题中也发挥着越来越重要的作用：越来越重要的作用：用矩阵知识可以做投入产出分析、价格矩阵、产销用矩阵知识可以做投入产出分析、价格矩阵、产销矩阵及破译密码、编写复杂的密码等方面应用；矩阵及破译密码、编写复杂的密码等方面应用； 数字图像处理的实质就是矩阵的运算，每一幅灰度数字图像处理的实质就是矩阵的运算，每一幅灰度图像就对应着一个矩阵；图像就对应着一个矩阵； 著名的搜索引擎著名的搜索引擎GoogleGoogle则应用了矩阵的特征值和特则应用了矩阵的特征值和特征向量理论

9、；征向量理论； 矩阵相似于对角阵的理论是机械振动、线性电路分矩阵相似于对角阵的理论是机械振动、线性电路分析及自动控制理论中不可缺少的工具。析及自动控制理论中不可缺少的工具。 上上页页下页下页上上页页下页下页（三）向量、向量组、向量空间（三）向量、向量组、向量空间 对矩阵的进一步分析研究产生了向量的相关对矩阵的进一步分析研究产生了向量的相关理论，有了向量，向量组，向量空间的相关概念理论，有了向量，向量组，向量空间的相关概念知识后，得以使我们将代数与几何联系起来。知识后，得以使我们将代数与几何联系起来。 进一步的，我们可以对代数有了直观的理解。进一步的，我们可以对代数有了直观的理解。这种关系在我们

10、学过相关知识后会有一个更清晰这种关系在我们学过相关知识后会有一个更清晰的认识。的认识。 （四）考研的需要（四）考研的需要数学一：高等数学、线性代数和概率与统计数学一：高等数学、线性代数和概率与统计 数学二：高等数学和线性代数数学二：高等数学和线性代数 上上页页下页下页上上页页下页下页三、怎么做才能学好线性代数：三、怎么做才能学好线性代数：1 1、线性代数是大学几门数学课里相对来说、线性代数是大学几门数学课里相对来说最容易最容易的，这门课对数学的的，这门课对数学的基础要求很低基础要求很低，只要，只要认真学认真学，每个人都可以学好，它与中学里的数学基础并无每个人都可以学好，它与中学里的数学基础并无

11、多大关系。因此，现在每位同学是在相同的起跑多大关系。因此，现在每位同学是在相同的起跑线上的，要对自己有信心。线上的，要对自己有信心。 2 2、抽象性抽象性是线性代数的最大特点。所谓的抽象，是线性代数的最大特点。所谓的抽象，主要指的是我们研究的全是主要指的是我们研究的全是代数代数，不是具体的数。，不是具体的数。因此，面对抽象性，我们要能做到使抽象具体化。因此，面对抽象性，我们要能做到使抽象具体化。当把代数用具体的数来代替时，自然就不抽象了。当把代数用具体的数来代替时，自然就不抽象了。上上页页下页下页上上页页下页下页3 3、 概念多、定理多、符号多、运算规律多、内容概念多、定理多、符号多、运算规律

12、多、内容相互纵横交错，知识前后紧密联系是线性代数课程相互纵横交错，知识前后紧密联系是线性代数课程的主要特点，应充分理解概念，掌握定理的条件、的主要特点，应充分理解概念，掌握定理的条件、结论、应用，熟悉符号意义，掌握各种运算规律、结论、应用，熟悉符号意义，掌握各种运算规律、计算方法，并及时进行总结，抓联系，使所学知识计算方法，并及时进行总结，抓联系，使所学知识能融会贯通，举一反三。能融会贯通，举一反三。 具体在学习过程中，希望大家做到以下几点：具体在学习过程中，希望大家做到以下几点： (1)(1)课前预习，认真听讲，课后复习，亲自练习课前预习，认真听讲，课后复习，亲自练习(2)(2)注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算用基本方法及基本运算上上页页下页下页上上页页下页下页(3)(3)知识要成网知识要成网 线性代数主要研究三种对象：