函数的极限(定义及性质)

1、目录 上页 下页 返回 结束 一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限, )(xfy 对0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6(自变量变化过程的六种形式:二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容本节内容 :函数的极限（定义及性质） 目录 上页 下页 返回 结束 一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限1. 0 xx 时函数极限的定义时函数极限的定义Axfxx)(lim0)()(0 xxAxf当或,0,0),(0 xUx时, 有 Axf)(当AAx0 xy)(xfy Ax0 xy)(xfy 几何

2、解释几何解释目录 上页 下页 返回 结束 2. 左极限与右极限左极限与右极限左极限 :)(0 xfAxfxx)(lim0,0,0当),(00 xxx时, 有.)( Axf右极限 :)(0 xfAxfxx)(lim0,0,0当),(00 xxx时, 有.)( Axf结论：结论：Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(lim00目录 上页 下页 返回 结束 例例. 给定函数0,10,00, 1)(xxxxxxf讨论 0 x时)(xf的极限是否存在 . 解解: 利用结论 .因为)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1显然, )0()0(

3、ff所以)(lim0 xfx不存在 .xyO11 xy11 xy目录 上页 下页 返回 结束 3. 函数极限的性质函数极限的性质保号性保号性. 若,)(lim0Axfxx且 A 0 ,),(0时使当xUx. 0)(xf)0)(xf则存在( A 0 ,),(0时使当xUx. 0)(xf)0)(xf则存在( A 0 ),(0 xU极限的唯一性；局部有界性；局部保号性极限的唯一性；局部有界性；局部保号性目录 上页 下页 返回 结束 推论 若在0 x的某去心邻域内0)(xf)0)(xf, 且 ,)(lim0Axfxx则. 0A)0(A思考: 若条件改为, 0)(xf是否必有?0A不能不能! 0lim2

4、0 xx如 目录 上页 下页 返回 结束 XXAAOxy)(xfy A定义定义. 设函数xxf当)(大于某一正数时有定义,若,0X,)(,AxfXx有时当则称常数时的极限,Axfx)(lim)()(xAxf当或几何解释几何解释:AxfA)(XxXx或记作直线 y = A 为曲线)(xfy 的水平渐近线 .,0 xxf当)(A 为函数二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限目录 上页 下页 返回 结束 Oxyx1x11xxgxxf11)(,1)(直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .两种特殊情况两种特殊情况 :Axfx)(lim,0,0X当Xx 时, 有 Axf)(Axfx)(lim,0,0X当Xx时, 有 Axf)(几何意义几何意义 :例如，都有水平渐近线;0yxxxgxf21)(,21)(都有水平渐近线. 1y又如，Oxyx21x21目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 函数极限的或X定义2. 函数极限的性质:保号性定理与左右极限等价定理思考与练习思考与练习1. 若极限)(lim0 xfx