函数的四则运算的微分法则

1、一一 函数的四则运算的微分法则函数的四则运算的微分法则二二 反函数的反函数的微分法则微分法则三三 复合函数的微分法则及微分复合函数的微分法则及微分 形式不变性形式不变性四四 微分法小结微分法小结第三节第三节 函数的求导法则函数的求导法则一、函数四则运算的微分定理1并且并且也可导,也可导,处处商(分母不为零)在点商(分母不为零)在点则它们的和、差、积、则它们的和、差、积、处可导（或可微),处可导（或可微),在点在点如果函数如果函数xxxvxu)()( ,;)()( )()( )1( xvxuxvxu;)(dvduvud 或或; , udvvduduvxvxuxvxuxvxu 或或)()()()(

2、)()(2)(2).)( 0),)()()()()()(3)22vvuvuvudxvxvxvxuxvxuxvxu 或或 )()(证 (2)(2)设设. )()()()()()()()()()(0lim)()()()(0lim)(),()()( xvxuxvxuxxvxxvxuxxvxuxxuxxxvxuxxvxxuxxfxvxuxf推论.)( , )3();()( ,)( )( )2();()(),() )( )1(1111uvdwuwdvvwduuvwdwuvwvuvwuuvwxcdfxcfdxcfxcfxfdxfdxfxfnkknkknkknkk 注意：.)()()()(;)()( )()

3、( xvxuxvxuxvxuxvxu例1. . 求求xxxxf22)( 的导数的导数. .解.111 12122121 )2()2( )22()(33xxxxxxxxxxxf ,ln)(xxexfx 例2. 设设求求.)( xf解).lnln1( 1lnln )(lnln)(ln )ln()(xxxexxexxexexxexexxexxxexfxxxxxxxx 例3.tan的导数的导数求求xy 解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 xxy2sec)(tan 同理可得同理可得xxy2csc

4、)(cot 例4.sec的的导导数数求求xy 解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos.tansecxx xx2cossin 同理可得同理可得xxxycotcsc)(csc dydxdxdyyxfxIxfyyyIyx1 ,)(1)( )(,0)()( 即即且有且有内也可导内也可导在对应区间在对应区间那末它的反函数那末它的反函数且且内单调、可导内单调、可导在某区间在某区间如果函数如果函数 ,定理2. .即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数. .注意：)(),(yxf的的 均为求导，但意义不同均为求导，但意义不同. .二二 、反函数的微分法则、反

5、函数的微分法则证,xIx 任取任取xx 以以增增量量给给), 0(xIxxx 的的单单调调性性可可知知由由)(xfy , 0 y于是有于是有,1yxxy ,)(连连续续因因为为xf00 yx必必有有时时, ,所所以以当当)0)( yxyxfx0lim)( 故故yxy 1lim0)(1y .)(1)(yxf 即即例5.arcsin的的导导数数求求xy 解, ,内内单单调调、可可导导在在)2,2(sin yIyx,0cos)(sin yy且且内内有有在在所所以以)1,1( xI)(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11 211x 同理可得同理可得211)(arccosxx .11

6、)cot( ;11)(arctan22xxarcxx 证明,)(0可可导导在在点点由由uufy )(lim00ufuyu 所以所以)0lim()(00 uufuy故故定理3. .).()( )()()(,)( 0000000 xufdxdyxxfyxuufyxxuxx 且其导数为且其导数为可导,可导,在点在点则复合函数则复合函数, ,可导可导在点在点而而可导可导在点在点如果函数如果函数 或或,dxdududydxdy 三 复合函数的微分法则 及微分形式不变性xyx 0lim故故)(lim00 xuxuufx xuxuufxxx 0000limlimlim)( ).()(00 xuf 即即 因变

7、量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间变等于因变量对中间变量求导量求导, ,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导( (链式法则链式法则) ).uuufy )(0则则推广 设设. )(),(),(),(y dxdvdvdududydxdyxfyxvvuuf 的导数为：的导数为：则复合函数则复合函数 即即 因变量对自变量求导等于因变量对中间变量因变量对自变量求导等于因变量对中间变量求导，乘以中间变量对自变量求导求导，乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则) )注意：求导.求导.求导，后者对求导，后者对不同，前者是对不同，前者是对uxxfxf)()( 与定理4.

8、 设.)()( 即，微分形式不变性 还是中间变量，恒有是自变量则不论可微dxxfdyxxfy ，证 设函数设函数.)( ,)(.)()(),()2(;)()1(),()( dxxfdydxdttdtxxfdytxtxdxxfdyxxfxfy 则则微函数微函数的可的可一变量一变量是中间自变量时，即另是中间自变量时，即另若若是自变量时是自变量时若若有导数有导数，例6的导数.的导数.函数函数 求求xy1arctan 解.111111,1)1( ,11)(arctan1arctan1arctan22222xxxdxdyxxuxxuuyxy 复合而成，复合而成，与与看成看成例7为常数)的导数.为常数)的

9、导数.求函数求函数 (xy 解 验证了第一节的例二.验证了第一节的例二.复合而成复合而成与与看成看成. ln1lnln xxxxexedxdyxteyexyxtx，由上例可见，初等函数的求导必须熟悉由上例可见，初等函数的求导必须熟悉. . (a) (a)基本初等函数的导数公式；基本初等函数的导数公式； (b)(b)复合函数的分解；复合函数的分解； (c)(c)复合函数的求导公式复合函数的求导公式. .复合函数的分解过程熟悉后，可以不写复合函数的分解过程熟悉后，可以不写中间变量，而直接写出结果中间变量，而直接写出结果. .例8.,12yxy 求求设设解.1)2(121 .1 )2(121 )1(

10、22222xxxxyxxxxxy 或或.)2(21ln32的导数 xxxy求函数求函数练习：例9的导数.的导数.求函数求函数xey1sin 解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 例10.)()(arcsin dxdyufxfy求求可导可导而而设设, ,， ).(arcsin11 ,11)(arcsin arcsin)(arcsin 22 xfxdxdydxxxfxdxfdy 解解)11(1122xxxx 211x 例11.),1ln( 2yxxy 求求设设2221)1( )1ln(xxxxxxy 例12. .求求的的导导数数|ln xy

11、 ).0(1) |(ln ,1)1(10 ,10 0 )ln(0 ln xxxxxyxxyxxxxxy即当当 时时，时时，解解1.基本微分公式xdxxdxxxdxxdxxxdxxdxxxdxxdxxdxxxdxxcdc222211csc)(cot csc)(cotsec)(tan sec)(tansin)(cos sin)(coscos)(sin cos)(sin)( )(0)( 0)( 四、微分法小结 11)(arcsin 11)(arcsin1)(ln 1)(lnln1)(log ln1)(log)( )(ln)( ln)(cotcsc)(csc cotcsc)(csctansec)(sec tansec)(sec22dxxxdxxdxxxdxxdxaxdaxdxeedeeadxaadaaaxdxxxdxxxxdxxxdxxxxaxaxxxxxxxx 1)cot( 11)cot(1)(arctan 11)(arctan1)(arccos 11)(arccos222222xdxxarcdxxarcxdxxdxxxdxxdxx ;)( ) ,)(