2008年北京市高考数学试卷（理科）（含解析版）

1、2008年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1（5分）已知全集U=R，集合A=x|2x3，B=x|x1或x4，那么集合AB等于（）Ax|1x3Bx|x1或x3Cx|2x1Dx|1x32（5分）若a=20.5，b=log3，c=log2sin，则（）AabcBbacCcabDbca3（5分）“函数f（x）（xR）存在反函数”是“函数f（x）在R上为增函数”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4（5分）若点P到直线x=1的距离比它到点（2，0）的距离小1，则点P的轨迹为（）A圆B椭圆C双曲线D抛物线5（5分）若实数x，

2、y满足则z=3x+2y的最小值是（）A0B1CD96（5分）已知数列an对任意的p，qN*满足ap+q=ap+aq，且a2=6，那么a10等于（）A165B33C30D217（5分）过直线y=x上的一点作圆（x5）2+（y1）2=2的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于y=x对称时，它们之间的夹角为（）A30°B45°C60°D90°8（5分）如图，动点P在正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N设BP=x，MN=y，则函数y=f（x）的图象大致是（）ABCD二、填空题（共6小题，每

3、小题5分，满分30分）9（5分）已知（ai）2=2i，其中i是虚数单位，那么实数a= 10（5分）已知向量与的夹角为120°，且，那么的值为 11（5分）若展开式的各项系数之和为32，则n= ，其展开式中的常数项为 （用数字作答）12（5分）如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f（f（0）= ；= （用数字作答）13（5分）已知函数f（x）=x2cosx，对于，上的任意x1，x2，有如下条件：x1x2；x12x22；|x1|x2其中能使f（x1）f（x2）恒成立的条件序号是 14（5分）某校数学课外小组在坐标纸上，为

4、学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点Pk（xk，yk）处，其中x1=1，y1=1，当k2时，T（a）表示非负实数a的整数部分，例如T（2.6）=2，T（0.2）=0按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2009棵树种植点的坐标应为 三、解答题（共6小题，满分80分）15（13分）已知函数f（x）=sin2x+sinxsin（x+）（0）的最小正周期为（1）求的值；（2）求函数f（x）在区间0，上的取值范围16（14分）如图，在三棱锥PABC中，AC=BC=2，ACB=90°，AP=BP=AB，PCAC（）求证：PCAB；（）求二面角BAPC的大小；（）求点C到平面APB

5、的距离17（13分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者（）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；（）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（）设随机变量为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求的分布列18（13分）已知函数，求导函数f（x），并确定f（x）的单调区间19（14分）已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1（）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；（）当ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值20（13分）对于每项均是正整数的数列A：a1，a2，an，定义变换T

6、1，T1将数列A变换成数列T1（A）：n，a11，a21，an1；对于每项均是非负整数的数列B：b1，b2，bm，定义变换T2，T2将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2（B）；又定义S（B）=2（b1+2b2+mbm）+b12+b22+bm2设A0是每项均为正整数的有穷数列，令Ak+1=T2（T1（Ak）（k=0，1，2，）（）如果数列A0为5，3，2，写出数列A1，A2；（）对于每项均是正整数的有穷数列A，证明S（T1（A）=S（A）；（）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0，存在正整数K，当kK时，S（Ak+1）=S（Ak）2008年北京市高考数学试卷（

7、理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1（5分）已知全集U=R，集合A=x|2x3，B=x|x1或x4，那么集合AB等于（）Ax|1x3Bx|x1或x3Cx|2x1Dx|1x3【考点】1H：交、并、补集的混合运算菁优网版权所有【分析】由题意全集U=R，集合A=x|2x3，B=x|x1或x4，根据交集的定义计算AB【解答】解：集合A=x|2x3，B=x|x1或x4，集合AB=x|2x1，故选：C【点评】此题主要考查集合的交集运算，比较基础2（5分）若a=20.5，b=log3，c=log2sin，则（）AabcBbacCcabDbca【考点】GF：三角函数的恒等变

8、换及化简求值菁优网版权所有【分析】利用估值法知a大于1，b在0与1之间，c小于0【解答】解：，由指对函数的图象可知：a1，0b1，c0，故选：A【点评】估值法是比较大小的常用方法，属基本题3（5分）“函数f（x）（xR）存在反函数”是“函数f（x）在R上为增函数”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件菁优网版权所有【分析】函数f（x）（xR）存在反函数，至少还有可能函数f（x）在R上为减函数，充分条件不成立；而必要条件显然成立【解答】解：“函数f（x）在R上为增函数”“函数f（x）（xR）存在反函数”；反之取f（

9、x）=x（xR），则函数f（x）（xR）存在反函数，但是f（x）在R上为减函数故选：B【点评】本题考查充要条件的判断及函数存在反函数的条件，属基本题4（5分）若点P到直线x=1的距离比它到点（2，0）的距离小1，则点P的轨迹为（）A圆B椭圆C双曲线D抛物线【考点】K6：抛物线的定义菁优网版权所有【分析】把直线x=1向左平移一个单位变为x=2，此时点P到直线x=2的距离等于它到点（2，0）的距离，这就是抛物线的定义【解答】解：因为点P到直线x=1的距离比它到点（2，0）的距离小1，所以点P到直线x=2的距离等于它到点（2，0）的距离，因此点P的轨迹为抛物线故选：D【点评】本题考查抛物线的定义5（

10、5分）若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是（）A0B1CD9【考点】7C：简单线性规划菁优网版权所有【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值【解答】解：约束条件对应的平面区域如图示：由图可知当x=0，y=0时，目标函数Z有最小值，Zmin=3x+2y=30=1故选：B【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得

11、到目标函数的最优解6（5分）已知数列an对任意的p，qN*满足ap+q=ap+aq，且a2=6，那么a10等于（）A165B33C30D21【考点】81：数列的概念及简单表示法菁优网版权所有【分析】根据题目所给的恒成立的式子ap+q=ap+aq，给任意的p，qN*，我们可以先算出a4，再算出a8，最后算出a10，也可以用其他的赋值过程，但解题的原理是一样的【解答】解：a4=a2+a2=12，a8=a4+a4=24，a10=a8+a2=30，故选：C【点评】这道题解起来有点出乎意料，它和函数的联系非常密切，通过解决探索性问题，进一步培养学生创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力7

12、（5分）过直线y=x上的一点作圆（x5）2+（y1）2=2的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于y=x对称时，它们之间的夹角为（）A30°B45°C60°D90°【考点】J7：圆的切线方程菁优网版权所有【专题】16：压轴题【分析】过圆心M作直线l：y=x的垂线交于N点，过N点作圆的切线能够满足条件，不难求出夹角为600明白N点后，用图象法解之也很方便【解答】解：圆（x5）2+（y1）2=2的圆心（5，1），过（5，1）与y=x垂直的直线方程：x+y6=0，它与y=x 的交点N（3，3），N到（5，1）距离是，两条切线l1，l2，它们之间的夹角为60&

13、#176;故选：C【点评】本题考查直线与圆的位置关系，以及数形结合的数学思想；这个解题方法在高考中应用的非常普遍8（5分）如图，动点P在正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N设BP=x，MN=y，则函数y=f（x）的图象大致是（）ABCD【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系菁优网版权所有【专题】16：压轴题【分析】只有当P移动到正方体中心O时，MN有唯一的最大值，则淘汰选项A、C；P点移动时，x与y的关系应该是线性的，则淘汰选项D【解答】解：设正方体的棱长为1，显然，当P移动到对角线BD1的中点O时，函数取得唯一最大

14、值，所以排除A、C；当P在BO上时，分别过M、N、P作底面的垂线，垂足分别为M1、N1、P1，则y=MN=M1N1=2BP1=2xcosD1BD=2是一次函数，所以排除D故选：B【点评】本题考查直线与截面的位置关系、空间想象力及观察能力，同时考查特殊点法、排除法二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9（5分）已知（ai）2=2i，其中i是虚数单位，那么实数a=1【考点】A5：复数的运算菁优网版权所有【分析】直接化简方程，利用复数相等条件即可求解【解答】解：a22ai1=a212ai=2i，a=1故答案为：1【点评】考查复数的代数形式的混合运算，复数相等条件，易错处增根a=1没有舍去高考

15、基本得分点10（5分）已知向量与的夹角为120°，且，那么的值为0【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算菁优网版权所有【分析】由向量数量积公式进行计算即可【解答】解：由题意知=2×4×4cos120°+42=0故答案为0【点评】本题考查向量数量积运算公式11（5分）若展开式的各项系数之和为32，则n=5，其展开式中的常数项为10（用数字作答）【考点】DA：二项式定理菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】显然展开式的各项系数之和就是二项式系数之和，也即n=5；将5拆分成“前3后2”恰好出现常数项，C52=10【解答】解：展开式的各项系数之和为322

16、n=32解得n=5展开式的通项为Tr+1=C5rx105r当r=2时，常数项为C52=10故答案为5，10【点评】本题主要考查了二项式定理的应用，课本中的典型题目，套用公式解题时，易出现计算错误，二项式的考题难度相对较小，注意三基训练12（5分）如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f（f（0）=2；=2（用数字作答）【考点】3T：函数的值；6F：极限及其运算菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】由函数的图象可知，当0x2，f'（x）=2，所以由导数的几何意义知=f'（1）=2【解答】解：f（0

17、）=4，f（4）=2，f（2）=4，由函数的图象可知，由导数的几何意义知=f（1）=2答案：2；2【点评】本题考查函数的图象，导数的几何意义数形结合是最常用的手段之一，希望引起足够重视13（5分）已知函数f（x）=x2cosx，对于，上的任意x1，x2，有如下条件：x1x2；x12x22；|x1|x2其中能使f（x1）f（x2）恒成立的条件序号是【考点】3R：函数恒成立问题菁优网版权所有【专题】16：压轴题【分析】先研究函数的性质，观察知函数是个偶函数，由于f（x）=2x+sinx，在0，上f（x）0，可推断出函数在y轴两边是左减右增，此类函数的特点是自变量离原点的位置越近，则函数值越小，欲使

18、f（x1）f（x2）恒成立，只需x1，到原点的距离比x2，到原点的距离大即可，由此可得出|x1|x2|，在所给三个条件中找符合条件的即可【解答】解：函数f（x）为偶函数，f（x）=2x+sinx，当0x时，0sinx1，02x，f（x）0，函数f（x）在0，上为单调增函数，由偶函数性质知函数在，0上为减函数当x12x22时，得|x1|x2|0，f（|x1|）f（|x2|），由函数f（x）在上，为偶函数得f（x1）f（x2），故成立，而f（）=f（），不成立，同理可知不成立故答案是故应填【点评】本题考查函数的性质奇偶性与单调性，属于利用性质推导出自变量的大小的问题，本题的解题方法新颖，判断灵活，

19、方法巧妙14（5分）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点Pk（xk，yk）处，其中x1=1，y1=1，当k2时，T（a）表示非负实数a的整数部分，例如T（2.6）=2，T（0.2）=0按此方案，第6棵树种植点的坐标应为（1，2）；第2009棵树种植点的坐标应为（4，402）【考点】8B：数列的应用菁优网版权所有【专题】16：压轴题；29：规律型【分析】由题意可知，数列xn为1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，；数列yn为1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4，由此入手能够得到第6棵树种植点

20、的坐标和第2009棵树种植点的坐标【解答】解：组成的数列为0，0，0，0，1，0，0，0，0，1，0，0，0，0，1，k=2，3，4，5，一一代入计算得数列xn为1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，即xn的重复规律是x5n+1=1，x5n+2=2，x5n+3=3，x5n+4=4，x5n=5nN*数列yn为1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4，即yn的重复规律是y5n+k=n，0k5由题意可知第6棵树种植点的坐标应为（1，2）；第2009棵树种植点的坐标应为（4，402）【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意创新题的灵活运

21、用三、解答题（共6小题，满分80分）15（13分）已知函数f（x）=sin2x+sinxsin（x+）（0）的最小正周期为（1）求的值；（2）求函数f（x）在区间0，上的取值范围【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HJ：函数y=Asin（x+）的图象变换菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】（）先根据倍角公式和两角和公式，对函数进行化简，再利用T=，进而求得（）由（）可得函数f（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性进而求得函数f（x）的范围【解答】解：（）=函数f（x）的最小正周期为，且0，解得=1（）由（）得，即f（x）的取值范围为【点评】本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象，

22、三角函数式恒等变形，三角函数的值域公式的记忆，范围的确定，符号的确定是容易出错的地方16（14分）如图，在三棱锥PABC中，AC=BC=2，ACB=90°，AP=BP=AB，PCAC（）求证：PCAB；（）求二面角BAPC的大小；（）求点C到平面APB的距离【考点】MJ：二面角的平面角及求法；MK：点、线、面间的距离计算菁优网版权所有【专题】11：计算题；14：证明题【分析】（）欲证PCAB，取AB中点D，连接PD，CD，可先证AB平面PCD，欲证AB平面PCD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AB与平面PCD内两相交直线垂直，而PDAB，CDAB，又PDCD=D，满足定理条件

23、；（）取AP中点E连接BE，CE，根据二面角平面角的定义可知BEC是二面角BAPC的平面角，在BCE中求出此角即可；（）过C作CHPD，垂足为H，易知CH的长即为点C到平面APB的距离，在RtPCD中利用勾股定理等知识求出CH即可【解答】解：（）取AB中点D，连接PD，CDAP=BP，PDABAC=BC，CDABPDCD=D，AB平面PCDPC平面PCD，PCAB（）AC=BC，AP=BP，APCBPC又PCAC，PCBC又ACB=90°，即ACBC，且ACPC=C，BC平面PAC取AP中点E连接BE，CEAB=BP，BEAPEC是BE在平面PAC内的射影，CEAPBEC是二面角BA

24、PC的平面角在BCE中，BC=2，CE=cosBEC=二面角BAPC的大小arccos（）由（）知AB平面PCD，平面APB平面PCD过C作CHPD，垂足为H平面APB平面PCD=PD，CH平面APBCH的长即为点C到平面APB的距离由（）知PCAB，又PCAC，且ABAC=A，PC平面ABCCD平面ABC，PCCD在RtPCD中，点C到平面APB的距离为【点评】本题主要考查了空间两直线的位置关系，以及二面角的度量和点到面的距离的求解，培养学生空间想象能力，属于基础题17（13分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者（）求甲、乙两人同时参

25、加A岗位服务的概率；（）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（）设随机变量为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求的分布列【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；CG：离散型随机变量及其分布列菁优网版权所有【专题】5I：概率与统计【分析】（）甲、乙两人同时参加A岗位服务，则另外三个人在B、C、D三个位置进行全排列，所有的事件数是从5个人中选2个作为一组，同其他3人共4个元素在四个位置进行排列（）总事件数同第一问一样，甲、乙两人不在同一个岗位服务的对立事件是甲、乙两人同时参加同一岗位服务，即甲、乙两人作为一个元素同其他三个元素进行全排列（）五名志愿者中参加A岗位服务的人数可能的取值是1、2，=

26、2”是指有两人同时参加A岗位服务，同第一问类似做出结果写出分布列【解答】解：（）记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA，总事件数是从5个人中选2个作为一组，同其他3人共4个元素在四个位置进行排列C52A44满足条件的事件数是A33，那么，即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是（）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，满足条件的事件数是A44，那么，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是（）随机变量可能取的值为1，2事件“=2”是指有两人同时参加A岗位服务，则，的分布列是 1 2 P 【点评】本题考查概率，随机变量的分布列，近几年新增的内容，整体难度不大，可以作为高考基本得分点总的可能性是典型

27、的“捆绑排列”，易把C52混淆为A52，18（13分）已知函数，求导函数f（x），并确定f（x）的单调区间【考点】63：导数的运算；6B：利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有【分析】根据函数的求导法则进行求导，然后由导数大于0时原函数单调递增，导数小于0时原函数单调递减可得答案【解答】解：=令f'（x）=0，得x=b1当b11，即b2时，f'（x）的变化情况如下表：x（，b1）b1（b1，1）（1，+）f（x）0+当b11，即b2时，f'（x）的变化情况如下表：x（，1）（1，b1）b1（b1，+）f（x）+0所以，当b2时，函数f（x）在（，b1）上单调递减，在（b

28、1，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减当b2时，函数f（x）在（，1）上单调递减，在（1，b1）上单调递增，在（b1，+）上单调递减当b1=1，即b=2时，0，所以函数f（x）在（，1）上单调递减，在（1，+）上单调递减【点评】本题主要考查函数的求导方法和导数的应用导数题一般不会太难但公式记忆容易出错，要熟练掌握简单函数的求导法则19（14分）已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1（）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；（）当ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值【考点】K4：椭圆的性质菁优网版权所有【专题】11：计算题

29、；16：压轴题【分析】（）由题意得直线BD的方程，根据四边形ABCD为菱形，判断出ACBD于是可设出直线AC的方程与椭圆的方程联立，根据判别式大于0求得n的范围，设A，C两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），根据韦达定理求得x1+x2和x1x2，代入直线方程可表示出y1+y2，进而可得AC中点的坐标，把中点代入直线y=x+1求得n，进而可得直线AC的方程（）根据四边形ABCD为菱形判断出ABC=60°且|AB|=|BC|=|CA|进而可得菱形ABCD的面积根据n的范围确定面积的最大值【解答】解：（）由题意得直线BD的方程为y=x+1因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD于是可

30、设直线AC的方程为y=x+n由得4x26nx+3n24=0因为A，C在椭圆上，所以=12n2+640，解得设A，C两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则，y1=x1+n，y2=x2+n所以所以AC的中点坐标为由四边形ABCD为菱形可知，点在直线y=x+1上，所以，解得n=2所以直线AC的方程为y=x2，即x+y+2=0（）因为四边形ABCD为菱形，且ABC=60°，所以|AB|=|BC|=|CA|所以菱形ABCD的面积由（）可得，所以所以当n=0时，菱形ABCD的面积取得最大值【点评】本题主要考查了椭圆的应用，直线方程和最值解析几何的综合题，在高考中的“综合程度”往往比较高

31、，注意复习时与之匹配20（13分）对于每项均是正整数的数列A：a1，a2，an，定义变换T1，T1将数列A变换成数列T1（A）：n，a11，a21，an1；对于每项均是非负整数的数列B：b1，b2，bm，定义变换T2，T2将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2（B）；又定义S（B）=2（b1+2b2+mbm）+b12+b22+bm2设A0是每项均为正整数的有穷数列，令Ak+1=T2（T1（Ak）（k=0，1，2，）（）如果数列A0为5，3，2，写出数列A1，A2；（）对于每项均是正整数的有穷数列A，证明S（T1（A）=S（A）；（）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0，存在正整数K，当kK时，S（Ak+1）=S（Ak）【考点】8B：数列的应用菁优网版权所有【专题】16：压轴题；2A：探究型【分析】（）由A0：5，3，2，求得T1（A0）再通过A