工程力学位移分析与刚度设计

1、1291 杆件的拉压变形杆件的拉压变形 第九章第九章 位移分析与刚度设计位移分析与刚度设计9-4 9-4 简单超静定问题简单超静定问题 92 圆轴的扭转变形圆轴的扭转变形 93 梁的弯曲变形梁的弯曲变形3一、变形特点一、变形特点91 91 杆件的拉压变形杆件的拉压变形杆件在轴向拉压时：杆件在轴向拉压时： 沿轴线方向产生伸长或缩短沿轴线方向产生伸长或缩短纵向变形纵向变形 横向尺寸也相应地缩小或增大横向尺寸也相应地缩小或增大横向变形横向变形拉伸拉伸变细变长变细变长压缩压缩变短变粗变短变粗491 91 杆件的拉压变形杆件的拉压变形纵向变形纵向变形 l=l1- l ，拉伸时，拉伸时00，压缩时，压缩时

2、00；横向变形横向变形 b=bb=b1 1- b- b，拉伸时拉伸时000。纵向线应变纵向线应变 e = Dl / l ，横向线应变横向线应变 e = Db / b二、线应变二、线应变拉伸拉伸变细变长变细变长压缩压缩变短变粗变短变粗5三、泊松比三、泊松比在比例极限内在比例极限内 | | e e / e / e | = | = m m ，或或 e e = - = - m em e ；m m 是随材是随材料而定的弹性常数，无量纲，一般料而定的弹性常数，无量纲，一般 0 0 m m 0M(x) 0Od ydx2 0 xyM(x) 0Odxd y 022yxM(x) 028 由弯矩的正负号规定可得，弯

3、矩的符号与挠曲线的二阶由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致，所以导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为挠曲线的近似微分方程为：zMyEI = 由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。对于等截面直梁，可写成如下形式：对于等截面直梁，可写成如下形式：zEI yM =291、计算方法计算方法 (设设 EI 为常数为常数)()EIyMEIyMdxCEIyMdx dxCxD = =C、D是由梁的是由梁的光滑光滑决决定的积分常数的积分常数三、积分法求弯曲变形2、梁的边界条件、梁的边界条件梁的某些截面的挠度或转角有时是已知的。

4、梁的某些截面的挠度或转角有时是已知的。30AAAAAAAAAAAAAAAAAA0= =Ay0= =Ay0= =A D D= =Ay边界条件边界条件 弹簧变形弹簧变形D D313 3、梁的变形连续性条件、梁的变形连续性条件挠曲线是连续光滑的曲线挠曲线是连续光滑的曲线即：在挠曲线的任一点挠度即：在挠曲线的任一点挠度 v v 有唯一确定的值有唯一确定的值( (连续连续) ) 转角转角vv( ( ) ) 亦有唯一确定的值亦有唯一确定的值( (光滑光滑) )。32光滑连续条件：光滑连续条件：PC-=cc-=ccvv33CCyy-=-=CCCC=左右 yCCy=左右或 写 成0Dy=0D=固定端固定端PD

5、0Ay=0By=铰支座铰支座PABC34右左CCff=铰连接铰连接PACB在中间铰处，挠曲线是连续而不光滑的在中间铰处，挠曲线是连续而不光滑的35 积分法求梁变形积分法求梁变形 适用于小变形、线弹性材料、细长构件的平面弯曲适用于小变形、线弹性材料、细长构件的平面弯曲 可应用于各种载荷的等截面或变截面梁的位移可应用于各种载荷的等截面或变截面梁的位移 积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、 连续条件）确定连续条件）确定 优点优点使用范围广，精确；使用范围广，精确； 缺点缺点计算较繁计算较繁36 积分法求梁变形的基本步骤：积分法求梁变形的基本步骤

6、： 写出弯矩方程；若弯矩不能用一个函数给出要分写出弯矩方程；若弯矩不能用一个函数给出要分 段写出段写出 由挠曲线近似微分方程，由挠曲线近似微分方程，积分出转角、挠度函数积分出转角、挠度函数 利用边界条件、连续条件确定积分常数利用边界条件、连续条件确定积分常数 如果分如果分 n 段写出弯矩方程，则有段写出弯矩方程，则有 2 n 个积分常数个积分常数zMyEI =37求梁的转角方程和挠度方程，梁的求梁的转角方程和挠度方程，梁的EIEI已知，已知，l=a+b。解解1 1）由梁整体平衡分析得：）由梁整体平衡分析得：lFaFlFbFFByAyAx= = = =,02 2）弯矩方程）弯矩方程 axxlFb

7、xFxMAy = = =11110 ,AC AC 段：段： lxaaxFxlFbaxFxFxMAy - - -= =- - -= =222222),()(CB CB 段：段：maxyab1x2xACDFxAyFByFAByB例题例题9 96 6383 3）列挠曲线近似微分方程并积分）列挠曲线近似微分方程并积分112112)(xlFbxMdxydEI= = =1211112)(CxlFbxEIdxdyEI = = = 1113116DxCxlFbEIy = =AC AC 段：段：ax 10)()(2222222axFxlFbxMdxydEI- - -= = =2222222)(22)(2CaxF

8、xlFbxEIdxdyEI - - -= = = 2223232)(662DxCaxFxlFbEIy - - -= =CB CB 段：段：lxa2maxyab1x2xACDFxAyFByFAByB394 4）由边界条件确定积分常数）由边界条件确定积分常数0)(,22= = =lylx0)0(, 011= = =yx代入求解，得代入求解，得位移边界条件位移边界条件光滑连续条件光滑连续条件)()(,2121aaaxx = = = =)()(,2121ayayaxx= = = =lFbFblCC661321 - -= = =021= = = DDmaxyab1x2xACDFxAyFByFAByB40

9、5 5）确定转角方程和挠度方程）确定转角方程和挠度方程)(6222211bllFbxlFbEI- - -= = 12231)(661xbllFbxlFbEIy- - -= =AC AC 段：段：ax 10)(6)(222222222bllFbaxFxlFbEI-=22232322)(6)(66xbllFbaxFxlFbEIy-=CB CB 段：段：lxa2maxyab1x2xACDFxAyFByFAByB41在简支梁中在简支梁中, , 不论它受什么荷载作用不论它受什么荷载作用, , 只要挠曲线上无只要挠曲线上无 拐点拐点, , 其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替其最大挠度值都可用梁跨中

10、点处的挠度值来代替, , 其精确度是能满足工程要求的其精确度是能满足工程要求的. .对各段梁，如果是由坐标原点到所研究截面之间的梁段对各段梁，如果是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上的外力来写弯矩方程的。所以后一段梁的弯矩方程包上的外力来写弯矩方程的。所以后一段梁的弯矩方程包含前一段梁的弯矩方程。只增加了（含前一段梁的弯矩方程。只增加了（x-a）的项。）的项。对（对（x-a）的项作积分时，应该将（）的项作积分时，应该将（x-a）项作为积分）项作为积分变量。从而简化了确定积分常数的工作。变量。从而简化了确定积分常数的工作。简化计算小技巧42三、三、叠加法求弯曲变形叠加法求弯曲变形 梁在若干个载荷

11、共同作用时的挠度或转角，等于在各个梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是计算弯曲计算弯曲变形的叠加原理变形的叠加原理。 叠加原理是线性原理，在材料力学中应用的条件是叠加原理是线性原理，在材料力学中应用的条件是(1)(1)小变形，小变形，(2)(2)线弹性线弹性)()()()(221121nnnPPPPPP = = 121122()()()()nnny PPPy Py PyP=1、载荷叠加、载荷叠加 常见简单梁的变形已计算列表，这是载荷叠加法的基础。常见简单梁的变形已计算列表，这是载荷叠加法的基础。 (

12、 见见 P123 表表 92 梁在简单载荷作用下的变形梁在简单载荷作用下的变形 )43444546已知简支梁受力如图示，已知简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求均为已知。求C C 截面的挠度截面的挠度yC ；B截面的转角截面的转角 B例题例题9 97 7471 1）将梁上的载荷分解）将梁上的载荷分解321CCCCyyyy = =321BBBB=482 2）查表得）查表得3 3种情形下种情形下C截面的挠度和截面的挠度和B截面的截面的转角转角。EIqlB2431=3216BqlEI=EIqlB333-=EIqlyC384541-=EIqlyC4842-=EIqlyC1643=493 3） 应

13、用叠加法，将简单载应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和荷作用时的结果求和 )(3841116483845444431EIqlEIqlEIqlEIqlyyiCiC=-=)(481131624333331EIqlEIqlEIqlEIqliBiB-=-=50已知：悬臂梁受力如图示，已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。均为已知。求求C截面的挠度截面的挠度yC和转角和转角 C1 1）首先，将梁上的）首先，将梁上的载荷变成有表可查的载荷变成有表可查的情形情形 为了利用梁全长承为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果，受均布载荷的已知结果，先将均布载荷延长至梁先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原

14、的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在来载荷作用的效果，在AB AB 段还需再加上集度段还需再加上集度相同、方向相反的均布相同、方向相反的均布载荷。载荷。 Cy例题例题9 98 851Cy2Cy1Cy2By,841EIqlyC- -= =,248128234222lEIqlEIqllyyBBC = = = = EIqlC631-=EIqlC4832= = EIqlyyiCiC38441421-=3 3）将结果叠加）将结果叠加 EIqliCiC487321-=2）再将处理后的梁分解）再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，为简单载荷作用的情形，计算各自计算各自C截面的挠度和截面的挠度和转角转角

15、。 522 2、结构形式叠加（逐段刚化法）：、结构形式叠加（逐段刚化法）：此法适用于非基本结构的梁此法适用于非基本结构的梁53结构形式叠加（逐段刚化法) 原理说明。=+PL1L2ABCBCPL2f1f2等价等价21fff=fPL1L2ABC刚化刚化AC段段PL1L2ABC刚化刚化BC段段PL1L2ABCM54例题例题9 99 9练习册练习册 9-12 求图示变截面梁自由端的挠度和转角。求图示变截面梁自由端的挠度和转角。FI1I2l1l2题9-12图55四、梁的刚度条件：四、梁的刚度条件：maxmax yy y、是构件的许可挠度和转角，它们决定于构是构件的许可挠度和转角，它们决定于构件正常工作时

16、的要求。件正常工作时的要求。569 94 4 简单的超静定问题简单的超静定问题一、超静定（静不定）问题概述一、超静定（静不定）问题概述1、超静定问题、超静定问题：单凭静平衡方程不能确定出全部未知力单凭静平衡方程不能确定出全部未知力 的问题。的问题。57两杆桁架变成三杆桁架，两杆桁架变成三杆桁架，3 3个未知力个未知力2 2个独立的平衡方个独立的平衡方程，仅靠静力学知识无法求解程，仅靠静力学知识无法求解CPABD123CPAB12582.超静定次数超静定次数未知力总数独立平衡方程数未知力总数独立平衡方程数独立平衡方程数：独立平衡方程数：平面任意力系：平面任意力系：3 3个独立的平衡方程个独立的平

17、衡方程平面汇交力系：平面汇交力系：2 2个个独立的独立的平衡方程平衡方程平面平行力系：平面平行力系：2 2个独立平衡方程个独立平衡方程共线力系：共线力系：1 1个独立平衡方程个独立平衡方程3.3.为什么要用超静定结构为什么要用超静定结构抗失效能力强，提高安全工作性能抗失效能力强，提高安全工作性能594 4、超静定问题的解决方法、超静定问题的解决方法：补充补充变形协调（几何）方程变形协调（几何）方程建立建立本构（或物理）方程本构（或物理）方程予以沟通予以沟通结合结合平衡方程平衡方程联立求解联立求解二、拉压超静定二、拉压超静定60例题例题9 91010两端固定的等直杆AB,横截面面积为A，弹性模量

18、为E,在C点处承受轴向力P的作用，如图所示，求两端的约束力61例题例题9 91010两端固定的等直杆AB,横截面面积为A，弹性模量为E,在C点处承受轴向力P的作用，如图所示，求两端的约束力解解1 1、列平衡方程、列平衡方程 0 1ABRRP-=2 2、变形几何关系、变形几何关系 2ACBCllD= D3 3、物理关系、物理关系AACR alEAD= 3BBCR blEAD=4 4、补充方程、补充方程 4ABR bR b=5 5、方程、方程(1)(4)(1)(4)联立得联立得 ABPbPaRRabab=62例题例题9 911111 1、列独立的平衡方程、列独立的平衡方程120sinsin0 xN

19、NFFF=-=1302cos0yNNFFFF=-=2 2、变形几何关系、变形几何关系1lD2lD3lDcos321lllD=D=D3 3、物理关系、物理关系cos11EAlFlN=DEAlFlN33=D4 4、补充方程、补充方程coscos31EAlFEAlFNN=231cosNNFF=5 5、求解方程组得、求解方程组得3221cos21cos=FFFNN33cos21=FFN解解631.1.基本概念：基本概念：超静定梁：超静定梁：未知力数目大于独立平衡方程数目的梁未知力数目大于独立平衡方程数目的梁 两者数目的差称为两者数目的差称为超静定次数超静定次数。 多余约束：多余约束：从维持平衡角度而言

20、从维持平衡角度而言, ,多余的约束。多余的约束。相当系统：相当系统：在静定基上加上外载荷以及多余约束力，便得到在静定基上加上外载荷以及多余约束力，便得到 受力和变形与静不定梁完全相同的相当系统。受力和变形与静不定梁完全相同的相当系统。 6-5三、弯曲超静定三、弯曲超静定静定基：静定基：指将静不定梁上的多余约束除去后所得到的指将静不定梁上的多余约束除去后所得到的 “ “静定基本系统静定基本系统”。 646-52.2.求解方法（变形比较法）求解方法（变形比较法）1)1) 解除多余约束，建立相当系统比较变形，列变形协调条件。解除多余约束，建立相当系统比较变形，列变形协调条件。 2)2) 由物理关系建

21、立补充方程由物理关系建立补充方程3)3) 求解多余约束力。求解多余约束力。4)4) 利用静力平衡条件求其他约束力利用静力平衡条件求其他约束力解题方法关键是比较相当系统与原超静定系统在多余约束处解题方法关键是比较相当系统与原超静定系统在多余约束处的变形，由此写出变形协调条件，的变形，由此写出变形协调条件，进而得到求解静不定问题进而得到求解静不定问题所需的补充方程。所需的补充方程。因此，称为因此，称为变形比较法变形比较法 65例题例题9 91111已知图中所示梁的抗弯刚度为已知图中所示梁的抗弯刚度为 EI EI ，求约束力，求约束力66 解：将支座解：将支座B看成看成多余约束，变形协调多余约束，变形协调条件为：条件为：0By =即R lEIqlEIB34380-=RqlB=3867 按悬臂梁的静力平衡方按悬臂梁的静力平衡方程求出该梁固定端的程求出该梁固定端的两个约束力为两个约束力为qlRA85= =qlmA281= =MAAR68 变形协调条件为：变形协调条件为：A= 0即M lEIqlEIA32403-=MqlA=18269几何方程 变形协调方程：解：建立相当系统BBBqBR