有理数典型例题

1、有理数典型例题数怎么不够用了典型例题例 1 如果向东走 8 千米记作 8 千米，向西走 5 千米记作 5 千米，那么下列各数分别表示什么？（1）4 千米； （ 2） 千米；（3）0 千米解：（1） 4 千米表示向东走4 千米（ 2） 千米表示向西走 千米（ 3）0 千米表示原地未动说明：（1）用正数和负数可以表示意义相反的量（2）正数前面可以加上 “”号，一般地，正数前面的 “ ”号可省略不写，但有时为了强调，习惯上在正数前面要加上 “”号（ 3）0 除了表示一个也没有外，还是正数与负数的分界；这里在实际问题中有确定的意义例 2 用有理数表示下面各量（ 1）如果收入 200 元记作 200 元

2、，则如何表示支出 100 元？（ 2）如果海平面以下 100 米记作 100 米，则如何表示海平面以上 1000 米？（ 3）如果向南行 100 米记作 100 米，则向北行 200 米如何表示？（ 4）如果比标准重量重 10 千克记作 10千克，则比标准重量少5 克应如何表示？分析 该题中每两个量都是意义相反的两个量，为了区别意义相反的量我们应用不同符号的数来表示解 （1）支出 100 元表示为 100 元；（2）海平面以上 1000 米应表示为 1000 米；（3）向北行 200 米表示为 200 米；（4）比标准重量少 5 克表示为 5 克注意 （1）一个量是用正数表示，还是用负数表示是

3、人们规定的， 但在表示中也应尊重人们在多年生活中形成的习惯 如：零上温度一般规定为正；海平面以上一般规定为正等； （2）正数前面的 “”号是可以省略不写的例 3 判断正误（正确的打 ，错误的打 ×）（1）-a 一定是负数（ ）（2）零是自然数（ ）（3）没有最小的正有理数 （ ）解：（1）×（2）（3）说明：应紧扣互为相反数、负数、零、正有理数的概念来解此类题， 主要是应想到我们已经学到了代数领域了应时时注意到字母 a 可能为：负数、零、正数例 4 （1）在知识竞赛中，如果 10 表示加 10，那么扣 20 分怎样表示？（ 2）某人转动转盘，如果用 5 表示沿用逆时针方向转

4、了 5 圈，那么沿顺时针方向转了 12 圈怎样表示？ （3）在某次乒乓球质量检测中， 一只乒乓球超出标准质量 0. 02 克记作 0.02，那么 0.03 克表示什么？解：（1）扣 20 分记作 20 分；（2）顺时针方向转了 12 圈记作 12 圈；（3） 0.03 克表示乒乓球的质量低于标准质量 0. 03 克说明：通过三个实例说明如何用正负数表示这种具有相反意义的量例 5把下列各数填在相应的括号内：-16，26，-12，-0.92， ，0， ，0.1008，-4.95 （思考：小数是分数吗 !）正数集合 ；负数集合 ；整数集合 ；正分数集合 ；负分数集合 ；分析：根据正数、负数、整数和分

5、数的定义，严格区别注意零既不是正数，也不是负数，但是整数解：正数集合 26， ， ，0.1008，；负数集合 -16，-12，-0.92，-4.95，；正分数集合 ， ，0.1008，；负分数集合 -0.92，-4.95，说明：用大括号表示集合时， 要注意省略号的使用如“正数集合 ”指的是包含所有正数的一个“集体 ”，因为是 “所有的 ”，而具体填时仅能填写一部分，所以后面应加省略号习题精选一、选择题1下面说法中正确的是（）A一个数前面加上“”号，这个数就是负数B 0既不是正数，也不是负数C有理数是由负数和0组成 D正数和负数统称为有理数2如果海平面以上200米记作 200米，则海平面以上 5

6、0米应记作（）A 50米 B 50米C可能是 50米，也可能是 50 米 D 以上都不对3下面的说法错误的是（）A 0是最小的整数B 1是最小的正整数C 0是最小的自然数D自然数就是非负整数二、填空题1如果后退 10米记作 10米，则前进 10米应记作 _；2如果一袋水泥的标准重量是 50千克，如果比标准重量少 2千克记作 2千克，则比标准重量多 1 千克应记为 _；3车轮如果逆时针旋转一周记为1，则顺时针旋转两周应记为_.三、判断题 0是有理数（ ）有理数可以分为正有理数和负有理数两类（ ）一个有理数前面加上“”就是正数（ ） 0是最小的有理数（ ）四、解答题1写出 5个数（不许重复），同时

7、满足下面三个条件（1）其中三个数是非正数； （2）其中三个数是非负数； （3）5个数都是有理数2如果我们把海平面以上记为正，用有理数表示下面问题一架飞机飞行高于海平面9630米；（2）潜艇在水下 60米深3如果每年的 12月海南岛的气温可以用正数去表示，则这时哈尔滨的气温应该用什么数来表示？4某种上市股票第一天跌0.71 ，第二天涨 1.25 ，各应怎样表示？5如果海平面以上我们规定为正，地面的高度是否都可以用正数为表示？6一学生参加一次智力竞赛，其中考五个题，记分标准是这样定的，如果答对一题得1分，答错或不答都扣 1分，该生得了 3分，问其答对了几个题？数轴习题精选一、选择题1一个数的相反数

8、是它本身，则这个数是（）A正数 B 负数 C 0 D 没有这样的数2数轴上有两点 E 和 F，且 E 在 F 的左侧，则 E 点表示的数的相反数应在 F 点表示的数的相反数的（ ）A左侧 B 右侧 C 左侧或者右侧D 以上都不对3如果一个数大于另一个数，则这个数的相反数（）A小于另一个数的相反数B 大于另一个数的相反数C等于另一个数的相反数D大小不定二、填空题1如果数轴上表示某数的点在原点的左侧，则表示该数相反数的点一定在原点的_侧；2任何有理数都可以用数轴上的_表示；3与原点的距离是5个单位长度的点有_个，它们分别表示的有理数是_ 和_；4在数轴上表示的两个数左边的数总比右边的数_三、判断题

9、1在数轴离原点 4个单位长度的数是 4（ ）2在数轴上离原点越远的数越大（ ）3数轴就是规定了原点和正方向的直线（ ）4表示互为相反数的两个点到原点的距离相等（ ）四、解答题1写出符合下列条件的数（1）大于而小于 1的整数；（ 2）大于 4的负整数；（ 3）大于 0.5 的非正整数2在数轴上表示下列各数，并把各数用“”连结起来（ 1）7， 3.5 ， 0， 4.5 ，5， 2， 3.5 ；（ 2） 500， 250，0， 300， 450；（3）0.1 ， 0.9 ，1， 03找出下列各数的相反数（1） 0.05（2）（3）（4） 10004如图，说出数轴上A、B、C、D 四点分别表示的数的相

10、反数，并把它们分别用标在数轴上5在数轴上，点 A 表示的数是 1，若点 B 也是数轴上的点，且 AB的长是 4个单位长度，则点 B 表示的数是多少？绝对数典型例题例1 求下列各数的绝对值，并把它们用“”连起来，0， 1.2分析 首先可根据绝对值的意义， 即正数的绝对值是它本身； 负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是 0来求出各数的绝对值在比较大小时可以根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”比较出，其他数的比较就容易了解说明：利用绝对值只是比较两个负数例2 求下列各数的绝对值：（1） 38；（2） 0.15 ；（ 3）；（4）；（5）；（6）分析：欲求一个数的绝对值，关键是确定绝对值符号

11、内的这个数是正数还是负数，然后根据绝对值的代数定义去掉绝对值符号，(6) 题没有给出a 与 b 的大小关系，所以要进行分类讨论解：（1） |-38| 38；（2）|+0.15| 0.15 ；（3）0，| ；（ 4） b 0， 3b 0， |3b| 3b；（5）2，-2 0， |-2| -(-2) 2-；（6）说明：分类讨论是数学中的重要思想方法之一，当绝对值符号内的数( 用含字母的式子表示时)无法判断其正、负时，要化去绝对值符号，一般都要进行分类讨论例3 一个数的绝对值是6，求这个数分析根据绝对值的意义我们可以知道，绝对值是6的数应该是说明：互为相反数的两个数的绝对值相等例4 计算下列各式的值

12、（1）；（ 2）；（3）；（ 4）分析这些题中都带有绝对值符号，我们应先计算绝对值再进行其他计算解（1）；（2）；（3）；（ 4）说明：在去掉绝对值之后，要注意能简算的要简算，如（2）题例5 已知数的绝对值大于，则在数轴上表示数的点应在原点的哪侧？分析确定表示的点在原点的哪侧，其关键是确定是正数还是负数由于负数的绝对值是它的相反数正数，所以可确定是负数解 由于负数的绝对值是它的相反数，所以负数的绝对值大于这个负数；又因为 0和正数的绝对值都是它本身，所以是负数，故表示数的点应在原点的左侧说明：只有负数小于其本身的绝对值，而0和正数都等于自己的绝对值绝对数习题精选一、选择题1如果，则（）ABCD

13、2下面说法中正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则3下面说法中正确的是（）A若和都是负数，且有，则B若和都是负数，且有，则C若，且，则D若都是正数，且，则4数轴上有一点到原点的距离是5，则（）A这一点表示的数的相反数是5B这一点表示的数的绝对值是5C这一点表示的数是5D这一点表示的数是5二、填空题1已知某数的绝对值是，则是_或_；2绝对值最小的有理数是_；3一个数的相反数是8，则这个数的绝对值是_；4已知数轴上有一点到原点的距离是3，则这点所表示的数的绝对值是_，这点所表示的数是 _三、判断题1有理数的绝对值总是正数 （ ）2有理数的绝对值就等于这个有理数的相反数（ ）3两个有理数，绝对

14、值大的数反而小（ ）4两个正有理数，绝对值大的数较小（ ）5（）四、解答题1求下列各数的绝对值，并把它们用“”连起来2.37 ， 0， 385.7 2把下列一组数用“”连起来999，0.01 ，3计算下列各式的值（1）；（ 2）；（3）；（4）4如图，比较和的绝对值的大小5计算下面各式的值（1）（ 2）；（ 2）（ 2）水位的变化典型例题例 1 小明业余时间进行飞镖训练，上周日训练的平均成绩是化如下表：8.5 环，而这一周训练的平均成绩变正号表示比前一天提高，负号表示比前一天下降（ 1）问本周哪一天的平均成绩最高，它是多少环？（ 2）问本周哪一天的平均成绩最低，它是多少环？（ 3）本周日的成绩

15、和上周日的成绩比是提高了，还是下降了，其变动的环数是多少？分析 这题的关键问题是求出本周每天训练的平均环数，而要求出一天的平均环数只需知道前一天的平均环数，而上周日的平均环数已知。解 本周训练每天的平均环数如下：周一： 8.5 19.5 ； 周二： 9.5 0.2 9.9 ；周三： 9.7 （ 0.5 ） 9.2 ； 周四： 9.2 0.3 9.5 ；周五： 9.5 0.2 9.7 ； 周六： 9.7 （ 0.7 ） 9；周日： 9（ 0.1 ） 8.9 。由此可知本周二和本周五训练的平均成绩最高，是9.7 环，本周日训练的平均成绩最低，是环，本周日的平均成绩和上周日的平均成绩比是提高了，提高

16、了（8.9 8.5 0.4 ）0.4 环。8.9说明： 本题中正数和负数的标准是以前一天的平均环数为标准，而不是都以上周日的平均环数为标准；注意在计算类似于这样的题时首先要把正、负的标准弄清楚。例2 下表是一个水文站在雨季在某条河一周内水位变化情况的记录 其中，水位上升用正数表示，水位下降用负数表示注：表中记录的数据为每天12时的水位与前一天 12时水位的变化量上周日 12时的水位高度为 2米（ 1）请你通过计算说明本周末水位是上升了还是下降了（ 2）用折线图表示本周每天的水位，并根据折线图说明水位在本周内的升降趋势分析 计算这七天水位变化量的和，看结果是正、还是负，若是正，说明周末水位上升了

17、；若是负；说明水位下降了解 （1）本周末水位下降了（2）如图所示说明：本例是有理数的加法和统计图知识交汇综合题水位的变化习题精选1小胖去年年末称体重是 75千克，今年一月份小胖开始减肥，下面是小胖今年上半年体重的变化情况：负数表示比上月减少，正数表示比上月增加（ 1）小胖 16月中哪个月的体重最重，是多少？（ 2）小胖 16月中哪个月的体重最轻，是多少？（ 3）小胖 6月份的体重较比去年年末是增加了还是减少了，是多少？2某校初一抽出 5名同学测量体重，小明体重是 55千克，其他 4名同学的体重和小明体重的差数如下表：比小明重记为正，比小明轻记为负（ 1）哪几名同学的体重比小明重，重多少？（ 2

18、）哪几名同学的体重比小明轻，轻多少？（ 3）写出最重和最轻的两个同学的体重，并说明这两名同学之间的体重相差多少？3某百货商场的某种商品预计在今年平均每月售出500千克，一月份比预计平均月售出额多10千克记为 10 千克，以后每月销售量和其前一个月销售量比较，其变化如下表（前11个月）：（ 1）每月的销售量是多少？（ 2）前 11个月的平均销售是多少？（ 3）要达到预计的月平均销售量， 12月份还需销售多少千克？有理数的乘法典型例题例1 计算：（1）（ 2）×（ 7）；（ 2）分析 （1）和（ 2）都是两个有理数相乘，我们根据法则先来确定乘积的符号，再把绝对值相乘解 （1）（ 2）&#

19、215;（ 7）（ 2×7） 14（2）说明：（1）为了使结果不出现差错，初学者做题时，中间的步骤是必要的（2）我们不必死记法则，只需知道两个数相乘如何确定符号，其他就和小学的乘法一样了例2 计算：时，应首先（）A把小数化为分数，或者把分数化为小数B利用符号法则确定乘积的符号C把带分数化为假分数D考虑怎样使用乘法结合律或者交换律分析有理数乘法与小学所学乘法的区别在于符号，初学者进行有理数乘法运算最容易出现的错误也在于符号， 发生错误的同学往往并不是没记住有理数乘法的运算法则， 而在于重视符号的意识不强，所以初学者一定要把确定乘积的符号作为大事，放在首位，也就是说，完成有理数乘法运算要

20、分两步走：先是确定乘积的符号，然后再计算乘积的绝对值解选B说明 进行两个以上有理数相乘的运算，首先确定乘积的符号，这样做不但有减少运算错误使运算简化的作用，与此同时，也能起到培养良好的学习习惯的作用就本题来讲， 如果不先确定乘积的符号，可能在运算过程中就必须确定三次符号（头两个因数相乘，积的符号；与第三个因数相乘，积的符号；与第四个因数相乘，积的符号） ，这样就增加了运算步骤例3 计算：分析这类题目只不过比小学做过的题目多了一个符号问题，应该先确定乘积的符号，之后再考虑怎样运算更简便些本题中，由于“ 81”是 9（第一个因数的分母）的倍数，“ 72”是 12 的倍数，可以使用乘法交换律与结合律简化运算解说明：（l ）如果运算基础较好，则完全可以不使用交换律与结合律，而把带分数化为假分数，把小数化为分数形式后进行约分（ 2）上面约分过程中没有把分母中的 100与某个分子约分，是为了把结果化为小数时方便，这是思维灵活性的表现概括以上内容，就是“符号正负先定好，灵活准确做计算”例4 计算：（1）；（ 2）17.6 ×（ 10）×（ 0.5 ）分析 （1）和（ 2）是三个以上有理数相乘，