高考数学难题-三角形最值问题之一般最值（解析版）

1、第7讲 三角形最值问题之一般最值1（2021淄博模拟）已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（） A5x13B13x5C2x5D5x5【解析】解：因为三角形为锐角三角形，所以三角形的三个内角都为锐角，则设3对的锐角为，根据余弦定理得：cos=22+x2324x0，即x25，解得x5或x5（舍去）；设x对的锐角为，根据余弦定理得：cos=22+32x2120，即x213，解得0x13，所以x的取值范围是5x13故选：A2（2021清远期末）在ABC中，sinA：sinB：sinC2：3：x，且ABC为锐角三角形，则x的取值范围是（）A5x13B13x5C2x5D5x5【解析】解：

2、由正弦定理可知，a：b：csinA：sinB：sinC2：3：x，即：a：b：c2：3：x、若b是此三角形中的最大边，则：1x3；cosB=a2+c2b22ac0，则：x5从而此时，有：5x3、若c是此三角形中的最大边，则：x3cosC=a2+b2c22ab0，得：x13从而此时，有：3x13综上x的取值范围是5x13故选：A3（2021芜湖期末）已知钝角三角形的三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是（）A1x5B5x13C1x5或13x5D1x5【解析】解：当x为最大边时，3x5x232+22，13x5；当3为最大边时，1x332x2+22，1x5x的取值范围是：1x5或13x54（202

3、0秋天山区校级期末）在ABC中，a=7，b=8，cosC=1314，则最大角的余弦值是（）A17B17C23D23【解析】解：a=7，b=8，cosC=1314，则cosC=a2+b2c22ab=1314，c3；故角B为最大角，cosB=a2+c2b22ac=72+32822×7×3=17故选：B5（2020秋梅县校级期中）在ABC中，若a7，b8，c3，则最大角的余弦是（）A15B16C17D18【解析】解：a7，b8，c3，b为最大边，得B是最大角由余弦定理，得cosB=a2+c2b22ac=49+9642×7×3=17即最大角的余弦值等于17故选：

4、C6（2021浦东新区校级月考）在边长为33的正三角形ABC的边AB、AC上分别取M、N两点，沿线段MN折叠三角形，使顶点A正好落在边BC上，则AM的长度的最小值为（）A14B13C23D332【解析】解：显然A，P两点关于折线MN对称，连接MP，图（2）中，可得AMPM，则有BAPAPM，设BAP，BMPBAP+APM2，再设AMMPx，则有MB=33x，在ABC中，APB180°ABPBAP120°，BPM120°2，又MBP60°，在BMP中，由正弦定理知 BMsinBPM=MPsinMBP，即 33xsin(120°2)=xsin60&

5、#176;，x=1232+sin(120°2)，0°60°，0°120°2120°，当120°290°，即15°时，sin（120°2）1此时x取得最小值1232+1=12+3=23，且AME75°则AM的最小值为23故选：C7在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足3sinA3cosA2=tanB，点E，F分别是AC，AB的中点，则BECF的取值范围是（）A（12，1）B（14，78）C（14，12）D（12，78）【解析】解：设ABc，ACb，BCa，由题意得，3si

6、nA3cosA2=tanB，则3sinA3cosA2=sinBcosB，即3sinAcosB3cosAsinB+2sinB，3sin（A+B）2sinB，由A+BC得，sin（A+B）sinC，即3sinC2sinB，由正弦定理得，3c2b，即b=32c，点E，F分别是AC，AB的中点，由中线长定理得，BE=122(a2+c2)b2=122a214c2，CF=122(a2+b2)c2=122a2+72c2，BECF=2a214c22a2+72c2=214(ca)22+72(ca)2=1154(ca)22+72(ca)2=11542(ac)2+72，ab+c且a+cb，12ca52c，则12ac

7、52，14(ac)2254，42(ac)2+7216，则1411542(ac)2+7278，则BECF的取值范围是(14，78)，故选：B8（2020秋虹口区期末）已知RtABC中，A90°，AB4，AC6，在三角形所在的平面内有两个动点M和N，满足|AM|=2，MN=NC，则|BN|的取值范围是（）A32，34B4，6C25，42D2363122，2363+122【解析】解：以AB，AC为坐标轴建立坐标系，则B（4，0），C（0，6），|AM|2，M的轨迹是以A为圆心，以2为半径的圆MN=NC，N是MC的中点设M（2cos，2sin），则N（cos，sin+3），BN=（cos4，

8、sin+3），|BN|2（cos4）2+（sin+3）26sin8cos+2610sin（）+26，当sin（）1时，|BN|取得最小值10+26=4，当sin（）1时，|BN|取得最大值10+26=6故选：B9（2021海淀区校级模拟）在边长为1的正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上，则AD的长度的最小值为（）A12B233C3326D312【解析】解：显然A，P两点关于折线DE对称，连接DP，图（2）中，可得ADPD，则有BAPAPD，设BAP，BDPBAP+APD2，再设ADDPx，则有DB1x，在ABC中，APB180

9、6;ABPBAP120°，BPD120°2，又DBP60°，在BDP中，由正弦定理知BDsinBPD=DPsinDBP，即1xsin(120°2)=xsin60°x=32sin(120°2)+3，0°60°，0°120°2120°，当120°290°，即15°时，sin（120°2）1此时x取得最小值32+3=3(23)=233，且ADE75°则AD的最小值为23310（2009湖南）在锐角ABC中，BC1，B2A，则ACcosA的值等

10、于2，AC的取值范围为（2，3）【解析】解：（1）根据正弦定理得：ACsinB=BCsinA，因为B2A，化简得AC2sinAcosA=1sinA即ACcosA=2；（2）因为ABC是锐角三角形，C为锐角，所以A+B2，由B2A得到A+2A2且2A=B2，从而解得：6A4，于是22cosA3，由（1）的结论得2cosAAC，故2AC3故答案为：2，（2，3）11（2020秋河南月考）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（2ca）sinC=(b2+c2a2)sinBb，且b23，则ABC周长的取值范围为（43，63【解析】解：（2ca）sinC=(b2+c2a2)sinBb，由正弦

11、定理可得：（2ca）cb2+c2a22bccosA，可得：2ca2bcosA，可得：cosA=2ca2b，由余弦定理可得：cosA=2ca2b=b2+c2a22bc，整理可得：c2+a2b2ac，cosB=c2+a2b22ac=ac2ac=12，B（0，），可得：B=3，且b23，由正弦定理asinA=csinC=2332=4，可得：a4sinA，c4sinC4sin（23A），ABC周长Lb+a+c23+4sinA+4sin（23A）23+4sinA+4（32cosA+12sinA）43sin（A+6）+23，A（0，23），A+6（6，56），sin（A+6）（12，1，ABC周长L43s

12、in（A+6）+23（43，63故答案为：（43，6312（2020淮安二模）在ABC中，已知AB2，AC2BC26，则tanC的最大值是255【解析】解：ABc2，AC2BC2b2a26，由余弦定理可得：4a2+b22abcosC，23（b2a2）a2+b22abcosC，53（ab）22×ab×cosC+13=0，0，可得：cosC53，bc，可得C为锐角，又tanC在（0，2）上单调递增，当cosC=53时，tanC取最大值，tanC=sinCcosC=2353=255故答案为：25513（2020春商丘期末）如图，在ABC中，已知AB2，AC4，A60°若

13、D为BC边上的任意一点，M为线段AD的中点，则（MB+MC）AD的最大值是7【解析】解：BC=ACAB，BC2=(ACAB)2=AC22ACAB+AB2=162×4×2cos60°+412，BC=23，AC2AB2+BC2，即ABBC，以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B（0，0），C（23，0），A（0，2），设D（2x，0），则M（x，1），0x3，MB+MC=（232x，2），AD=（2x，2），（MB+MC）AD=2x（232x）+44x2+43x+44(x32)2+7，当x=32时，（MB+MC）AD取得最大值，为7故答案为

14、：714在三角形ABC中，已知AB2，且CACB=2，则三角形ABC的面积的最大值为43【解析】解：依题意，设BCa，则AC2a，又AB2，由余弦定理得：（2a）2a2+224acosB，即3a2+4acosB40，cosB=1a3a4，cos2B=1a2+9a21632，sin2B1cos2B=529a2161a2，SABC=12ABBCsinB=12×2asinBasinB，(SABC)2=a2sin2Ba2（529a2161a2）=916a4+52a21=916（a440a29）1=916(a2209)2+169，当a2=209，即a=253时，2、253、453能组成三角形，

15、(SABC)2max=169，三角形ABC的面积的最大值为43故答案为：4315（2020秋河南月考）在ABC中，若3AB2AC，点E，F分别是AC，AB的中点，则BECF的取值范围为（14，78）【解析】解：设ABc，ACb，BCa，E、F分别是AC，AB的中点，c2+a22BE2+b22，b2+a22CF2+c22，3AB2AC，即3c2b2BE2a2b218，2CF2a2+7b29BE2CF2=a2b218a2+7b29=18(ba)218+14(ba)2=135126+98(ba)2114，ab+c，且a+cb，ba35，且ba3925（ba）29BE2CF2（116，4964）BEC

16、F（14，78）故答案为：（14，78）16（2020龙岩二模）在边长为1的正三角形ABC的边AB，AC上分别取D，E两点，沿线段DE折叠三角形ABC，使顶点A正好落在BC边上，则AD长度的最小值为233【解析】解：显然A，P两点关于折线DE对称连接DP，图（2）中，可得ADPD，则有BAPAPD，设BAP，BDPBAP+APD2，再设ADDPx，则有DB1x，在ABC中，APB180°ABPBAP120°，BPD120°2，又DBP60°，在BDP中，由正弦定理知1xsin(120°2)=xsin60°x=32sin(120°2)+3，0°60°，0°120°2120°，当120°290°，即15°时，sin（120°2）1此时x取得最小值32+3=233，且AD