2024-2025学年福建省三明市五县联盟高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年福建省三明市五县联盟高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若z⋅(2+i)=3−i2025，则zA.−1 B.75 C.−152.已知向量a=(1,3)，b=(m,−1)，若向量|a+b|=|A.−3 B.3 C.−13 3.在△ABC中，D在BC上，DC=2BD，设AB=a，AC=b，则A.14a+34b B.34.设矩形边长分别为a、b(a>b)，分别以a、b两边为轴旋转一周所得旋转体的体积记为Va和Vb，则Va与VbA.Va>Vb B.Va=Vb

5.已知平面向量a，b是两个单位向量，a在b上的投影向量为13b，则a⋅(A.1 B.43 C.2 6.一水平放置的平面四边形OABC的直观图O′A′B′C′如图所示，其中O′A′=O′C′=2，O′C′⊥x′轴，A′B′⊥x′轴，B′C′//y′轴，则四边形OABC的面积为(

)A.18

B.82

C.127.已知正三棱台ABC−A1B1C1上下底面边长分别为3、2A.20π B.55π3 C.8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b=3，若b2=2a2+cA.2 B.34 C.1 D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题中为真命题的是(

)A.若AB与CD是共线向量，则点A、B、C、D共线

B.若a为非零向量，则a|a|与a同向

C.若a⋅b=0，则a⊥b10.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点E、FA.直线D1F、CE、AD相交于同一个点 B.过点C1、E、F的截面面积为172

C.三棱锥B1−A111.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2bcosB，且b≠c，则下列说法中正确的是(

)A.A=2B

B.ab的取值范围是(2,3)

C.点P是△ABC所在平面内任一点，若c=2，则PA⋅PB的取值范围是[−1,2]

D.点P是△ABC所在平面内任一点，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知|a|=1，|b|=2，a⋅(b13.在△ABC中，A=30°，AB=2，若满足条件的三角形有且只有两个，则边BC的取值范围为______．14.祖暅，南北朝时代的伟大科学家.他于5世纪末提出下面的计算原理——祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.请同学们用祖暅原理解决如下问题：如题图，有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为32的铁球，再注入水，使水面与球正好相切(而且球与倒圆锥相切效果很好，水不能流到倒圆锥容器底部)，然后将球取出，则这时容器中水的深度为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

复数z满足z⋅z−=2，且z+i是实数．

(1)若复数z对应的点A在第四象限，求复数z；

(2)在(1)的条件下，记复数z1=3+mi对应的点为B，若16.(本小题15分)

如图，四边形AEDC中，DE=2CA，AB=2BE，∠A=π3，AC=BE=1．

(1)用AC，AB表示DC、DB；

17.(本小题15分)

如图，在△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知：c=4，点D在BC的延长线上，∠CAD=π3，bcosA+3bsinA=c．

(1)求角B；

(2)若△ACD18.(本小题17分)

某市公园绿道专为骑行而建，以绿道为线，串联上百个生态公园，一路上树木成荫、鸟语花香.因为在C处有一古塔，市政府为升级绿道沿途风景，计划在某段全长200米的直线绿道AB一侧规划一个三角形区域(古塔的底座忽略不计)ABC做绿化，如图，已知∠CAB=π3，为提升美观度，设计师拟将绿化区设计为一个锐角三角形．

(1)若在A、B处分别测得塔顶E的仰角为45°、30°，求塔高CE；

(2)求绿化区域△ABC面积的取值范围；

(3)绿化完成后，某游客在绿道AB的另一侧空地上寻找最佳拍照打卡点，该游客从A到D，再从D到B.已知∠ADB=π19.(本小题17分)

.在△ABC中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知：(a+c)(sinC−sinA)=(b−a)sinB．

(1)求角C；

(2)a+b=4，求AB边上的中线CD的最小值；

(3)已知锐角△ABC的面积为32，点E是△ABC的重心，点M是AC的中点，BN=−12CN，线段BM与线段AN交于点

参考答案参考答案1.A

2.B

3.C

4.C

5.B

6.C

7.C

8.D

9.BD

10.AC

11.ABD

12.π313.(1,2)

14.3

15.(1)设复数z=a+bi(a、b∈R)，所以z−=a−bi，z⋅z−=a2+b2=2，

因为z+i=a+(b+1)i是实数

所以b+1=0，则b=−1，a=±1，

若复数z对应的点A在第四象限，则a=1，即z=1−i；

(2)在(1)的条件下，A(1,−1)，B(3,m)，

若∠AOB=90°，则OA⊥OB，

又OA=(1,−1)，OB=(3,m)，则OA⋅OB=3−m=0，解得m=3；

若∠BAO=90°，则OA⊥AB，

AB=(2,m+1)，所以OA⋅AB=2−(m+1)=0，解得m=1；

若∠OBA=90°，则AB⋅OB=6+m(m+1)=0，方程无解，m不存在．

综上：m=3或m=1．

16.(1)DC=DE+EA+AC=−2AC−32AB+AC=−AC−32AB，

DB=DE+EB=−2AC−12AB；

(2)因为DE=2CA,AB=2BE,AC=BE=1，

因此AB=DE=2，AC⋅AB=|AC|⋅|AB|cosA=1，

DC⋅DB=(AC+32AB)⋅(2AC+12AB)=2AC2+72AC⋅AB+34AB2=172，

|DC|=(−AC−32AB)2=13，

|DB|=(−2AC−12AB)2=7，

因此cos〈DC,DB〉=DC⋅DB|DC|⋅|DB|=172137=1791182，

所以cos∠BDC=cos〈DC,DB〉=1791182．

17.(1)∵bcosA+3bsinA=c，

由正弦定理得：sinBcosA+3sinBsinA=sinC，

即sinBcosA+3sinBsinA=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，

∴3sinBsinA=sinAcosB，∵sinA≠0，

∴3sinB=cosB，即tanB=33，

∴B=π6；

(2)设∠ACB=θ，

△ABC中，由正弦定理得：ABsinθ=ACsinB，AC=ABsinBsinθ=2sinθ．

△ADC中，由正弦定理得：ADsin(π−θ)=ACsinD=ACsin(θ−π3)，

∴AD=ACsinθsin(θ−π3)=2sin(θ−π3)，

∵S△ACD=34AC⋅