专题1.1 集合的概念-重难点题型精讲（举一反三）（人教A版2019必修第一册）（解析版）

1、专题1.1 集合的概念-重难点题型精讲1元素与集合的概念及表示(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，表示(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，表示(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的2元素的特性(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了简记为“确定性”(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的也就是说，集合中的元素是不重复出现的简记为“互异性”(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的简记为

2、“无序性”3元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作aA(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作aA4常用的数集及其记法5列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开(2)集合中的元素必须是明确的(3)集合中的元素不能重复(4)集合中的元素可以是任何事物6描述法(1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为xA|P(x)，这种表示集合的方法称为描述法有时也用冒号或分号代替竖线(2)具体方法：在花括号内先写上表示这

3、个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征【题型1 集合的基本概念】【方法点拨】给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，所谓“确定”，是指所有被“研究的对象”都是这个集合的元素，没有被“研究的对象”都不是这个集合的元素【例1】（2020秋吕梁期中）下列各组对象不能构成集合的是（）A上课迟到的学生B2020年高考数学难题C所有有理数D小于的正整数【分析】根据集合元素的“确定性”，可知B项中的对象不符合集合的定义而其它各项都有明确的定义，符合集合元素的特征，由此可得正确选项【解答】解：对于A，“上课迟到的学生”属于确定的概念，

4、故能构成集合；对于B，“2020年高考数学难题”界定不明确，不能构成集合；对于C，任意给一个数都能判断是否为有理数，故能构成集合；对于D，小于的正整数分别为1，2，3，能够组成集合故选：B【点评】本题给出几组对象，要我们找出不能构成集合的对象，着重考查了集合的定义和集合元素的性质等知识，属于基础题【变式1-1】（2020秋万州区校级月考）下列四组对象中能构成集合的是（）A本校学习好的学生B在数轴上与原点非常近的点C很小的实数D倒数等于本身的数【分析】根据集合中元素的特征即可判断选项是否正确【解答】解：因为集合中的元素具有确定性，而对于A，B，C，学习好、非常近、很小都是模糊的概念，没有明确的标

5、准，不符合确定性；所以A，B，C错误，对于D，符合集合的定义，D正确，故选：D【点评】本题考查了集合的定义以及集合的元素的特征，属于基础题【变式1-2】多选题（2020秋六合区校级月考）考察下列每组对象哪几组能够成集合？（）A比较小的数B不大于10的偶数C所有三角形D高个子男生【分析】集合中的元素具有确定性，由此能求出结果【解答】解：在A中，比较小的数，没有确定性，故A不能构成集合；在B中，不大于10的偶数，有确定性，故B能构成集合；在C中，所有三角形，具有确定性，故C能构成集合；在D中，高个子男生，没有确定性，故D不能构成集合故选：BC【点评】本题考查集合的确定，是基础题，解题时要认真审题，

6、注意集合中的元素的确定性的合理运用【变式1-3】多选题（2020秋荣成市期中）下列每组对象，能构成集合的是（）A中国各地最美的乡村B直角坐标系中横、纵坐标相等的点C一切很大的数D清华大学2020年入学的全体学生【分析】根据集合的定义进行判断即可【解答】解：A，中国各地最美的乡村，无法确定集合中的元素，故A不不能，C，一切很大的数，无法确定集合中的元素，故C不不能，根据集合元素的确定性可知，B，D，都不能构成集合，故选：BD【点评】本题主要考查集合的概念，利用集合元素的确定性是解决本题的关键，比较基础【题型2 判断元素与集合的关系】【方法点拨】直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在

7、已知集合中是否出现即可推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征【例2】（2020秋袁州区校级月考）给出下列关系：12R；2Q；|3|N；|-3|Z；0N，其中正确的个数为（）A1B2C3D4【分析】根据数集的含义，即可得出结论【解答】解：12R，正确；2Q，错误；|3|N，正确；|-3|Z，错误；0N，错误，故正确的个数为2故选：B【点评】本题考查数集的含义，元素与集合的关系，比较基础【变式2-1】（2020秋龙凤区校级期末）由实数x，x，|x|，x2，(x2)2，-3x3所组成的集合，最多可含有（）个元素

8、A2B3C4D5【分析】将题中给出的实数进行化简，判断其中有几个不同的数，利用集合中元素的互异性分析即可得到答案【解答】解：因为x2=|x|=±x，(x2)2=|x|2=x2，-3x3=-x，所以实数x，x，|x|，x2，(x2)2，-3x3所组成的集合最多含有x，x，x2三个元素故选：B【点评】本题考查了元素与集合关系的判断，涉及了集合中元素性质的应用，集合中的元素要满足：互异性、确定性、无序性解题的关键是将所给出的数据进行化简变形【变式2-2】（2020秋东城区校级月考）已知M是同时满足下列条件的集合：0M，1M，若x，yM，则xyM；若xM且x0，则1xM下列结论中正确的是 （

9、1）13M；（2）1M；（3）若x，yM，则x+yM；（4）若x，yM，则xyM【分析】根据条件可知1M所以（2）错误，由1M、1M由条件可推出13M所以（1）成立由0yM可知yM，由条件可推出x（y）x+yM所以（3）成立由1M、xM得x1M，由条件可知1xM、1x-1可得1x+1x=2xM、1x-1x-1=1x-x2M，由条件得x2M、xx2M可知x2M，若yM，则y2M、x+yM，所以（x+y）2M、x2+y2M，所以(x+y)22M、x2+y22M，所以(x+y)22-x2+y22=xyM所以（4）成立【解答】解：0M，1M，011M故（2）不成立1M，1M，1（1）2M，2（1）3M

10、，13M故（1）成立yM，yM，又xM，x（y）x+yM故（3）成立xM，x1M，1xM、1x-1M，1x+1x=2xM、1x-1x-1=1x-x2Mx2M、xx2M，x2M，x22M，同理y22M，(x+y)22M，x2+y22M(x+y)22-x2+y22=xyM，故（4）成立故答案为：（1）（3）（4）【点评】考查元素与集合的关系、分式运算、整式运算、运算能力和逻辑推理能力【变式2-3】已知集合Ax|xm+2n，m，nZ（1）试分别判断x1=-2，x2=12-2，x3（122）2与集合A的关系；（2）设x1，x2A，证明：x1x2A【分析】（1）根据集合A的表示可知，满足x=m+2n，其

11、中m，nZ的x为集合A的元素，从而判断一个元素是不是集合A的元素，就看能否将这个元素写成m+2n，（m，nZ）的形式，从而便可判断x1，x2，x3和集合A的关系；（2）由x1，x2A便可将x1，x2分别写成m+2n（m，nZ）的形式，然后判断能否将x1x2写成该形式，从而便可证出x1x2A；【解答】（1）解：m0，n1时，x=-2；x1A；x2=12-2=2+22=1+122，12Z；x2A；x3=1-42+8=9-24；x3A；（2）证明：x1，x2A；x1=m1+2n1，x2=m2+2n2，mi，niZ，i1，2；x1x2=(m1+2n1)(m2+2n2)=(m1m2+2n1n2)+2(m

12、1n2+n1m2)；m1m2+2n1n2，m1n2+n1m2Z；x1x2A【点评】考查描述法表示集合，元素与集合的关系，以及元素与集合关系的判断方法【题型3 利用集合中元素的特异性求参数】【方法点拨】集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么；构成集合的元素必须是确定的(确定性)，且是互不相同的(互异性)，书写时可以不考虑先后顺序(无序性)利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用【例3】（2020秋花都区校级月考）若集合Ax|（m2）x2+2mx10有且仅有1个元素，则实数m的值

13、是（）A±2或1B2或1C2或1D2【分析】讨论m2与m2，从而求实数m的值【解答】解：集合Ax|（m2）x2+2mx10有且仅有1个元素，当m20时，m2,当m-20=4m2+4(m-2)=0时，m2或m1，综上，m±2或m1,故选：A【点评】本题考查了集合中元素的个数问题及方程的解集有且仅有一个元素的判断，分类讨论思想的应用，属于基础题【变式3-1】多选题（2020秋如东县期中）已知集合M2，3x2+3x4，x2+x4，若2M，则满足条件的实数x可能为（）A2B2C3D1【分析】根据集合元素的互异性2M必有23x2+3x4或2x2+x4，解出后根据元素的互异性进行验证即

14、可【解答】解：由题意得，23x2+3x4或2x2+x4，若23x2+3x4，即x2+x20，x2或x1，检验：当x2时，x2+x42，与元素互异性矛盾，舍去；当x1时，x2+x42，与元素互异性矛盾，舍去若2x2+x4，即x2+x60，x2或x3，经验证x2或x3为满足条件的实数x故选：AC【点评】本题考查了元素与集合的关系及元素的互异性，要注意检验【变式3-2】（2020秋河西区月考）已知集合Aa1，2a2+5a+1，a2+1，且2A求实数a的值【分析】根据2A，便有a12，或2a2+5a+12，而显然a2+12，对于每种情况求出a的值，带入集合A中，看是否满足集合元素的互异性，从而得出实数

15、a的值【解答】解：2A；若a12，则a1；此时A2，2，2，显然不满足集合元素的互异性；若2a2+5a+12，则a=-1，或-32；由上面知a1；a=-32时，A-52，-2，134，集合A表示正确；而显然a2+12；实数a的值为-32【点评】考查列举法表示集合，元素与集合的关系，以及集合元素的互异性，不要忘了验证A是否满足集合元素的互异性【变式3-3】（2020秋赤峰期末）已知集合AxR|ax23x40（1）若A中有两个元素，求实数a的取值范围；（2）若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围【分析】（1）由A中有两个元素，知关于x的方程ax23x40有两个不等的实数根，由此能求出实数a的取值

16、范围（2）当a0时，方程为3x40，所以集合A=-43；当a0时，若关于x的方程ax23x40有两个相等的实数根，则A也只有一个元素，此时a=-916；若关于x的方程ax23x40没有实数根，则A没有元素，此时a-916由此能求出实数a的取值范围【解答】解：（1）A中有两个元素，关于x的方程ax23x40有两个不等的实数根，9+16a0，且a0，即所求的范围是a|a-916，且a0；（6分）（2）当a0时，方程为3x40，集合A=-43；当a0时，若关于x的方程ax23x40有两个相等的实数根，则A也只有一个元素，此时a=-916；若关于x的方程ax23x40没有实数根，则A没有元素，此时a-

17、916，综合知此时所求的范围是a|a-916，或a0（12分）【点评】本题考查实数a的取值范围的求法解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，注意分类讨论思想的合理运用【题型4 用列举法表示集合】【方法点拨】求出集合的元素；把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次用花括号括起来【例4】（2020秋西城区期末）方程组x+y=0x2+x=2的解集是（）A（1，1），（1，1）B（1，1），（2，2）C（1，1），（2，2）D（2，2），（2，2）【分析】解原方程组得出x，y的值，然后写出原方程组的解集即可【解答】解：解x+y=0x2+x=2得，x=-2y=2或x=1y=-1

18、，原方程组的解集为：（1，1），（2，2）故选：C【点评】本题考查了列举法的定义，考查了计算能力，属于基础题【变式4-1】（2020秋雁塔区校级期中）若A1，2，3，B3，5，用列举法表示A*B2ab|aA，bB 【分析】由即时定义，结合集合的表示法得：A*B3，1，1，3，得解【解答】解：因为A1，2，3，B3，5，又A*B2ab|aA，bB，所以A*B3，1，1，3，故答案为：3，1，1，3【点评】本题考查了集合的表示法，属简单题【变式4-2】（2020秋桥西区月考）用适当的方法表示下列集合：（1）由1，2，3三个数字中的两个数字（没有重复数字）所组成的自然数的集合；（2）方程2x+1+|

19、y-2|=0的解集【分析】（1）直接用列举法即可；（2）由多个非负数的和为零，可得每个非负数均为零，则由2x+1=0|y-2|=0即可解得方程的解，利用点的集合的表示方法写出；【解答】解：（1）由1，2，3三个数字中的两个数字（没有重复数字）组成的自然数有12，21，13，31，23，32，用列举法可表示为12，21，13，31，23，32（2）由2x+1+|y-2|=0，得2x+1=0y-2=0，即x=-12y=2，所以原方程解集为（-12，2）故答案为：（1）12，21，13，31，23，32； （2）（-12，2）【点评】本题考查了集合列举法，以及点的集合表示方法，还考查了非负数和为的解

20、，属于简单题【变式4-3】（2020秋西安区校级月考）用列举法表示下列集合（1）xN*|x是15的约数（2）x|x22x80（3）x|x为不大于10的正偶数（4）a|1a5，aN（5）AxN|169-xN（6）（x，y）|x1，2，y1，2【分析】对于这几个集合，要用列举法表示，只需根据限制条件求出集合的所有元素，然后列举法表示出来即可【解答】解：（1）xN*|x是15的约数，列举法表示为1，3，5，15（2）x|x22x80，列举法表示为2，4（3）x|x为不大于10的正偶数，列举法表示为2，4，6，8，10（4）a|1a5，aN，列举法表示为1，2，3，4（5）AxN|169-xN，列举法

21、表示为1，5，7，8（6）（x，y）|x1，2，y1，2列举法表示为（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）【点评】考查描述法表示集合，列举法表示集合，解一元二次方程，用有序数对表示二元一次方程组的解【题型5 用描述法表示集合】【方法点拨】用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内【例5】（2020秋镜湖区校级月考）用描述法表示下列集合（1）1000以

22、内被3除余2的正整数所构成的集合；（2）直角坐标平面上的第二象限内的点所构成的集合；（3）所有三角形构成的集合【分析】根据题意以及集合的表示法，选择恰当的方法表示各集合即可【解答】解：（1）集合的代表元素是数x，用描述法表示为x|x3k+2，kN且x1000（2）集合的代表元素是点（x，y），用描述法表示为（x，y）|x0且y0（3）集合用描述法表示为x|x是三角形，简写为三角形【点评】本题考查集合的表示方法，注意描述法表示集合的格式以及列举法和描述法的优点本题属于基础题【变式5-1】用描述法表示奇数集合：Aa|a2k+1，kZBa|a2k1，kZC2b+1|bZDd|d4k±1，k

23、Z上述表示方法正确的个数是（）A1B2C3D4【分析】由整数的整除性，可得A、B都表示奇数集，D表示除以4余1的整数或表示除以4余3的整数由此不难得到本题的答案【解答】解：由题意得：表示奇数集合，的表示方法错误，Dx|x4k±1，kz，表示除以4余1的整数或除以4余3的整数，一个奇数除以4之后，余数不是1就是3，故表示奇数集合；故选：C【点评】本题给出关于集合的表示方法，着重考查了整数的整除性的知识，属于基础题【变式5-2】（2020秋黄浦区校级月考）直角坐标平面中除去两点A（1，1）、B（2，2）可用集合表示为（）A（x，y）|x1，y1，x2，y2B（x，y）|x1y1或x2y-

24、2C（x，y）|（x1）2+（y1）2（x2）2+（y+2）20D（x，y）|（x1）2+（y1）2+（x2）2+（y+2）20【分析】直角坐标平面中除去两点A（1，1）、B（2，2），其余的点全部在集合中，逐一排除法【解答】解：直角坐标平面中除去两点A（1，1）、B（2，2），其余的点全部在集合中，A选项中除去的是四条线；B选项中是一个或字，没有同时排除两点；C选项符合题意；D选项不能同时排除A，B两点故选：C【点评】本题考查了集合的基本概念，属于基础题【变式5-3】（2020秋平罗县校级月考）用描述法表示图中阴影部分的点（含边界）的坐标的集合为 【分析】利用图中的阴影部分的点的坐标满足的条

25、件即为集合的元素的公共属性【解答】解：图中的阴影部分的点设为（x，y）则x，y）|1x0，-12y0或0x2，0y1（x，y）|xy0且1x2，-12y1故答案为：（x，y）|xy0，且1x2，-12y1【点评】本题考查用集合表示平面图形，注意代表元素是数对【题型6 集合中的新定义问题】【例6】（2020秋嘉定区期末）定义A×B×C（x，y，z）|xA，yB，zC已知A1，2，B3，4，C5，用列举法表示A×B×C 【分析】由新定义的集合的意义，根据集合A，B，C即可求出结果【解答】解：A1，2，B3，4，C5，由题意可知A×B×C（

26、1，3，5），（1，4，5），（2，3，5），（2，4，5），故答案为：（1，3，5），（1，4，5），（2，3，5），（2，4，5）【点评】本题主要考查了集合的表示方法，是基础题【变式6-1】（2020秋黄浦区校级期中）定义：对于非空集合A，若元素xA，则必有（mx）A，则称集合A为“m和集合”已知集合B1，2，3，4，5，6，7，则集合B所有子集中，是“8和集合”的集合有 个【分析】考察子集的概念以及对数学新概念的理解，由xA及（mx）A可以得到两个数之和为m的元素必须同时出现在集合A中【解答】解：含有1个元素的“8和集合”：4；含有2个元素的“8和集合”：1，7，2，6，3，5；含有3个元素的“8和集合”：1，4，7，2，4，6，3，4，5；含有4个元素的“8和集合”：1，7，2，6，1，7，3，5，2，6，3，5；含有5个元素的“8和集合”：1，7，2，6，4，1，7，3，5，4，2，6