运动学之斜抛物体的水平射程和竖直射高

1、范例范例1.6 斜抛物体的水平射程和竖直射高斜抛物体的水平射程和竖直射高解析解析物体的斜抛运动是水平方向的匀物体的斜抛运动是水平方向的匀速直线运动和竖直上抛运动的合运动。速直线运动和竖直上抛运动的合运动。物体斜抛的初速度为物体斜抛的初速度为v0，不计空气阻力，求物体的水平，不计空气阻力，求物体的水平射程和竖直射高与射角的关系。求证：物体轨迹的最射程和竖直射高与射角的关系。求证：物体轨迹的最高点都分布在一个椭圆上。高点都分布在一个椭圆上。建立坐标系，如图所示，物体的运动方程为建立坐标系，如图所示，物体的运动方程为消除时间消除时间t可得轨道方程可得轨道方程令令y = 0，可得水平射程，可得水平射程

2、当当 = 45时可得水平最大射程时可得水平最大射程0cos,xvt201sin2yvtgt yxOv0v0 xv0y2220tan2cosgxyxv20sin2vXg20MvXg当当1 + 2 = 90时，可得时，可得22201020212sin2sin(1802)sin2vvvXXggg可见：当两个射角可见：当两个射角互余时，物体的水互余时，物体的水平射程相同平射程相同。范例范例1.6 斜抛物体的水平射程和竖直射高斜抛物体的水平射程和竖直射高物体斜抛的初速度为物体斜抛的初速度为v0，不计空气阻力，求物体的水平射，不计空气阻力，求物体的水平射程和竖直射高与射角的关系。求证：物体轨迹的最高点都程

3、和竖直射高与射角的关系。求证：物体轨迹的最高点都分布在一个椭圆上。分布在一个椭圆上。轨道轨道方程方程水平水平射程射程射高的横坐标是射程的一半，将射高的横坐标是射程的一半，将x = X/2代入轨道方程可得射高代入轨道方程可得射高yxOv0v0 xv0y2220tan2cosgxyxv20sin2vXg射程与射高的射程与射高的坐标关系为坐标关系为上式代入上式代入Y的公的公式得式得220sin2vYg4tanYX2220M22tan(4 /)21tan2 1 (4 /)vXY XYgY X最大最大射程射程20MvXg化简可得化简可得X2 + (4Y)2 2XM(4Y) = 0，配方得配方得X2 +

4、(4Y - XM)2 = XM2， 可得可得22M22MM(/4)(/2)1(/2)(/4)YXXXXX/2是射高的横坐标。是射高的横坐标。可见：最高点分布在半长可见：最高点分布在半长轴为轴为XM/2、半短轴为、半短轴为XM/4、中心为中心为(0,XM/4)的椭圆上的椭圆上。射程随射角的增加射程随射角的增加先增后减，射高随先增后减，射高随射角的增加而增加。射角的增加而增加。当射角为零时，射程为零；当当射角为零时，射程为零；当射角为射角为90度时，物体还会落在度时，物体还会落在抛出点，射程仍然为零；当射抛出点，射程仍然为零；当射角为角为45度时射程最远。度时射程最远。当射角为零时，射高为零；当射角为零时，射高为零；当射角为当射角为90度时，射高最大。度时，射高最大。不论射角如何，不论射角如何，轨道的最高点都轨道的最高点都分布在椭圆上。分布在椭圆上。图例表示射角，当两个射角互余时，图例表示射角，当两个射角互余时，物体的两个射高不同，但射程相同。物体的两个射高不同，但射程相同