统计学 第七章方差分析与正交试验设计初步

1、2022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组1第七章第七章方差分析与方差分析与正交试验设计初步正交试验设计初步2022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组2本章重点与难点本章重点与难点重点重点:是了解和掌握方差分析与正交试验设计是了解和掌握方差分析与正交试验设计的思想和方法。的思想和方法。难点难点:方差分析与正交试验设计的方法。方差分析与正交试验设计的方法。2022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组3学习目标学习目标 通过本章的学习，正确理解方差分析与通过本章的学习，正确理解方差分析与正交试验设计的思想和有关概念，了解正交试验

2、设计的思想和有关概念，了解各种方法的应用条件和范围，能够应用各种方法的应用条件和范围，能够应用软件进行有关的计算，能说明计算结果软件进行有关的计算，能说明计算结果的含义。的含义。2022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组4案案 例例 染整工艺对布的缩水率有影响吗染整工艺对布的缩水率有影响吗 ? 某公司为考察染整工艺是否对布的缩水率有显著影响某公司为考察染整工艺是否对布的缩水率有显著影响进行了试验。试验中采用三种染整工艺，分别对四种进行了试验。试验中采用三种染整工艺，分别对四种布样进行了处理，测得缩水率的百分比资料如布样进行了处理，测得缩水率的百分比资料如7-1表所表所示

3、示:表表7.1 染整工艺对布的缩水率的数据结果表染整工艺对布的缩水率的数据结果表染整工艺染整工艺A A1 1 染整工艺染整工艺A A2 2 染整工艺染整工艺A A3 3布样号布样号1 14.36.59.5布样号布样号2 27.88.38.8布样号布样号3 33.37.611.9布样号布样号4 46.58.27.82022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组5问题：问题：(1) 如何判断染整工艺类型对缩水率是否有显著影响？若如何判断染整工艺类型对缩水率是否有显著影响？若影响显著，应采用哪种工艺？影响显著，应采用哪种工艺？(2) 如果还有一个因素如果还有一个因素B（试验配方，

4、共三种）也对缩水（试验配方，共三种）也对缩水率产生作用，应该如何选择最优方案？率产生作用，应该如何选择最优方案？(3) 如果还有两个或者两个以上的因素也对缩水率产生作如果还有两个或者两个以上的因素也对缩水率产生作用，应该如何选择最优方案？用，应该如何选择最优方案？ 为了回答上述问题，本章将介绍单因素方差分析、为了回答上述问题，本章将介绍单因素方差分析、双因素方差分析和正交试验设计法的有关概念、分析双因素方差分析和正交试验设计法的有关概念、分析思想、数学模型、方差分析表和正交试验设计的基本思想、数学模型、方差分析表和正交试验设计的基本方法等。方法等。2022-4-10版权所有版权所有 BY 统计

5、学课程组统计学课程组6第一节第一节 方差分析的基本思想方差分析的基本思想 第二节第二节 单因素方差分析单因素方差分析 第四节第四节 双因素方差分析双因素方差分析 第四节第四节 正交试验设计初步正交试验设计初步 第七章第七章方差分析与正交试验设计初步方差分析与正交试验设计初步2022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组7第一节第一节 方差分析的基本思想方差分析的基本思想 一、方差分析的有关概念和基本思想一、方差分析的有关概念和基本思想 二、显著性检验二、显著性检验2022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组8一、方差分析的有关概念和基本思想一、方差分析

6、的有关概念和基本思想 n方差分析（方差分析（Analysis of VarianceAnalysis of Variance，ANOVAANOVA）是）是一种检验多个总体均值是否相等的统计方法。一种检验多个总体均值是否相等的统计方法。 n一般将方差分析研究的对象称为因素，而因素一般将方差分析研究的对象称为因素，而因素中的内容称为水平。若方差分析同时针对两个中的内容称为水平。若方差分析同时针对两个因素进行，则称为双因素方差分析。因素进行，则称为双因素方差分析。 2022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组9一、方差分析的有关概念和基本思想一、方差分析的有关概念和基本思想n在

7、本章案例中，缩水率就是试验指标，染整工在本章案例中，缩水率就是试验指标，染整工艺是所要检验的因素（又称因子），三种不同艺是所要检验的因素（又称因子），三种不同的工艺可看成是该因素的三种水平，故这是一的工艺可看成是该因素的三种水平，故这是一个单因素三水平的试验。个单因素三水平的试验。n从表从表7.17.1可知，可知，1212个数据各不相同。一方面，同个数据各不相同。一方面，同一种工艺对不同种布样的缩水率是不同的，其一种工艺对不同种布样的缩水率是不同的，其差异可以看成是由于随机因素造成的；另一方差异可以看成是由于随机因素造成的；另一方面，不同工艺对各布样的缩水率也是不同的，面，不同工艺对各布样的缩

8、水率也是不同的，这既可能是由于染整工艺类型不同造成的，也这既可能是由于染整工艺类型不同造成的，也有可能是由于随机因素造成的。有可能是由于随机因素造成的。 2022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组10一、方差分析的有关概念和基本思想一、方差分析的有关概念和基本思想 要判断随机因素和工艺差别哪个是造成缩水率不同的要判断随机因素和工艺差别哪个是造成缩水率不同的主要原因，可假设三种不同的工艺为三个不同的总体，主要原因，可假设三种不同的工艺为三个不同的总体，将此问题归结为判断三个总体是否具有相同的分布。将此问题归结为判断三个总体是否具有相同的分布。 又由于经常假定遇到的是正态总

9、体，且在进行试验时，又由于经常假定遇到的是正态总体，且在进行试验时，除了要检验的因素，其他条件是尽可能保持一致的，除了要检验的因素，其他条件是尽可能保持一致的，于是可以认为每个总体的方差是相同的。这样一来，于是可以认为每个总体的方差是相同的。这样一来，推断几个总体是否具有相同分布，就可以化为检验几推断几个总体是否具有相同分布，就可以化为检验几个具有相同方差的正态总体均值是否相等的问题。个具有相同方差的正态总体均值是否相等的问题。 这里还要假定各水平观察值为来自正态总体的随机样本，这里还要假定各水平观察值为来自正态总体的随机样本，各总体相互独立且方差相同。这些假定在实际中一般各总体相互独立且方差

10、相同。这些假定在实际中一般难以严格满足，但应对数据进行处理，使其近似地满难以严格满足，但应对数据进行处理，使其近似地满足正态分布。足正态分布。 2022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组11二、显著性检验设检验的因素有设检验的因素有m个水平，分别记个水平，分别记A1,A2,Am，在每，在每个水平下做个水平下做k次试验，观察值次试验，观察值 表示第表示第i个水平下的第个水平下的第j个试验值。又设个试验值。又设X1,X2,Xm 是是m个相互独立且方差相个相互独立且方差相等的正态总体，等的正态总体，为为 Xi 的总体均值（的总体均值（i=1,2,m） ，则方差分析实际上就是要

11、检验假设：则方差分析实际上就是要检验假设：H0: 1= 2= = m ；H1: 1， 2， m不全相等不全相等ijx2022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组12令令n=mk通常称通常称 为组平均数，称为组平均数，称 为总平均数。为总平均数。ixx2022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组13平方和分解公式：平方和分解公式：TAESSS2022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组14ST 称为总离差平方和，它是描述所有数值离散程称为总离差平方和，它是描述所有数值离散程度的数量指标。度的数量指标。SE 称为组内平方和或误差平方

12、和，是观察值与组称为组内平方和或误差平方和，是观察值与组内平均数之差的平方和，它反映了组内（即在内平均数之差的平方和，它反映了组内（即在同一水平之下）样本的随机波动。同一水平之下）样本的随机波动。SE 的自由度的自由度fE=mk-m ，其组内方差为，其组内方差为 SE/ (mk-m)。SA 称为组间平方和，是组内平均数与总平均数之称为组间平方和，是组内平均数与总平均数之差的平方和，它反映了因素水平的不同及随机差的平方和，它反映了因素水平的不同及随机因素引起的差异。因素引起的差异。 SA 的自由度的自由度 fA= m-1，其组，其组间方差为间方差为 SA/（ m-1 ）。）。 2022-4-10

13、版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组15 由平方和分解公式可知，由平方和分解公式可知， SA 与与 SE 的比值反映两种的比值反映两种差异的大小，比值越大，说明由于因素水平不同引起差异的大小，比值越大，说明由于因素水平不同引起的差异越显著。根据统计推断的有关定理和推论，统的差异越显著。根据统计推断的有关定理和推论，统计量计量 (7.3)因此，因此，F作为检验作为检验H0 是否成立的检验统计量。是否成立的检验统计量。 /(1)(1,)/()AESmFF mmkmSmkm2022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组16 对于给定的显著性水平对于给定的显著性水平，由

14、，由F分布表可查出相分布表可查出相应自由度的临界值应自由度的临界值F 。如果，。如果，F F , 则拒绝则拒绝原假设原假设 H0 ，此时说明因素，此时说明因素A对试验指标起显对试验指标起显著影响；如果著影响；如果F F0.05(2.9) ，说明不同工艺方法，说明不同工艺方法的差异显著。又由于的差异显著。又由于 =5.475， =7.65， =9.5 ,故第一种工艺方法（即故第一种工艺方法（即 A1 ）对布料缩）对布料缩水率的影响显著小于其他方法，应予采用。水率的影响显著小于其他方法，应予采用。1x2x3x2022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组24二、试验次数不等的方

15、差分析试验中，有时各水平下的试验次数不相等，如表试验中，有时各水平下的试验次数不相等，如表7.6所示：所示： 表表7.6 试验次数相等的单因素方差分析的数据结构试验次数相等的单因素方差分析的数据结构观察值序号观察值序号因素因素A1因素因素A2因素因素Am1x11x21xm12X12x22xm2K1x1k1x2k1xmk1k2x1k2x2k1xmk2Kmx1kmx2k1xmkm水平均值水平均值总平均数总平均数1x2xmxx2022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组25试验次数不等的单因素方差分析的计算步骤与试试验次数不等的单因素方差分析的计算步骤与试验次数相等的完全一样，

16、只是将验次数相等的完全一样，只是将K改为改为 Ki 即可。即可。n 例例7.1 为了对几个行业的服务质量进行评价，某市为了对几个行业的服务质量进行评价，某市消费者协会对该地的旅游业、居民服务业、公路客运消费者协会对该地的旅游业、居民服务业、公路客运业和保险业分别抽取了不同数量的企业。每个行业中业和保险业分别抽取了不同数量的企业。每个行业中的这些企业在服务内容、服务对象、企业规模等方面的这些企业在服务内容、服务对象、企业规模等方面基本相同。经统计，最近一年消费者对这基本相同。经统计，最近一年消费者对这23家企业投家企业投诉的次数资料如表诉的次数资料如表7-7所示，消费者协会想知道所示，消费者协会

17、想知道:这几个这几个行业之间的服务质量是否有显著差异？如果有，究竟行业之间的服务质量是否有显著差异？如果有，究竟是在哪些行业之间？如果能找出哪些行业的服务质量是在哪些行业之间？如果能找出哪些行业的服务质量最差，就可以建议对消费者权益保护法中该行业的某最差，就可以建议对消费者权益保护法中该行业的某些条款作出修正。些条款作出修正。2022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组26表表7. 7 某地消费者对四个行业的投诉次数某地消费者对四个行业的投诉次数观测序列观测序列号号旅游业旅游业A1居民服务居民服务业业A2公路客运公路客运业业A3保险业保险业A415762517025549

18、5968346604863445545569554564760653557472022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组27解解:(1) 建立假设建立假设 H0: 1= 2= = m ；H1: 1， 2， m不不全相等全相等 (2) 计算有关均值及平方和计算有关均值及平方和 ST = 1175.913，SE = 422, SA =753.913表表7.8 方差分析表方差分析表 方差来源方差来源离差平方和离差平方和S自由度自由度均方离差均方离差F值值组间组间SA= 753.9133251.3043F=11.315组内组内SE=42219 22.21053总差异总差异ST=

19、1175.913222022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组28(4) 统计决策统计决策对于显著性水平对于显著性水平 =0.05, F0.05(3.19)= 3.1274由于检验统计量由于检验统计量 F=11.315 F0.05(3.19) ，所以，所以拒绝原假设拒绝原假设 H0 ，即有，即有95%的把握认为不同的的把握认为不同的行业之间投诉的差异显著。行业之间投诉的差异显著。2022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组29Excel中方差分析的计算步骤中方差分析的计算步骤(1) 点击点击“工具工具”栏中的数据分析项；栏中的数据分析项；(2) 在

20、分析工具框中连击在分析工具框中连击“单因素方差分析单因素方差分析”；(3) 在对话框的在对话框的“数据区域数据区域”框中键入框中键入A3：C6；在在框中保持框中保持0.05不变（也可根据需要变为不变（也可根据需要变为0.01）；）；在在“输出选项输出选项”中键入中键入D3；选择选择“确定确定”，输出结果如表，输出结果如表7-9所示：所示：2022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组30由于由于P=0.020715LSD的值，则拒绝的值，则拒绝H0 ；否则，则接受；否则，则接受H0 ixjx211()eijLSDtMSnnixjx2022-4-10版权所有版权所有 BY 统

21、计学课程组统计学课程组32对于例对于例7.1，对四个行业的均值进行多重比较，对四个行业的均值进行多重比较（=0.05） 由题意及计算可知，由题意及计算可知，k1 =7, k2 =6, k3= k4 =5;第一步：提出假设第一步：提出假设假设假设1:H0:1= 2 ;假设假设2:H0:1= 3 ;假设假设3:H0:1= 4假设假设4:H0:2= 3 ;假设假设5:H0:2= 4 ;假设假设6:H0:3= 4123451,56,52,66xxxx2022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组331223132414345,4,1,10,15,14.xxxxxxxxxxxx123

22、4565.4878,5.7757,5.7757,5.9729,5.9729,6.2385.LSDLSDLSDLSDLSDLSD2022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组34第四步：进行决策第四步：进行决策由以上计算可知，检验统计量 , , 的值分别小于LSD1 、LSD2、LSD4的值，显示旅游业与居民服务业的投诉次数之间、旅游业与公路客运业投诉次数之间、居民服务业与公路客运业投诉次数之间没有显著差异； , , 的值分别大于LSD3 、LSD5、LSD6的值，显示旅游业与保险业的投诉次数之间、公路客运业与保险业投诉次数之间有显著差异。13xx23xx12xx14xx24

23、xx34xx2022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组35第三节第三节 双因素方差分析双因素方差分析一、无交互作用的双因素方差分析一、无交互作用的双因素方差分析 若记一因素为因素A，另一因素为因素B，对A与B同时进行分析，就属于双因素方差分，即判断是否有某一个或两个因素对试验指标有显著影响，两个因素结合后是否有新效应。 在统计学中将各个因素的不同水平的搭配所产生的新的影响称为交互作用。 我们先讨论无交互作用的双因素方差分析问题，对于有交互作用的双因素方差分析问题稍后再讨论。2022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组36 假定因素假定因素A有有r个

24、水平：个水平：A1 , A2, ,Ar ；因素；因素B有有s个水平：个水平： B1 , B2, ,Bs 。在。在A的的r个水平与个水平与B的的s个水平的每种组合下作一次试验，可得无个水平的每种组合下作一次试验，可得无交互作用的双因素方差分析的数据结构如表交互作用的双因素方差分析的数据结构如表7-10所示：所示：2022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组37表表7-10 双因素方差分析的数据结构双因素方差分析的数据结构因素因素B1B2BS平均值平均值因素因素A1x11x12x1sA2x21x22x2sArxr1xr2xrs平均值平均值. jx. ix1.x2.x. rx.

25、1x.2x.sxx2022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组38 判断因素判断因素A的影响是否显著等价于检验假设：的影响是否显著等价于检验假设： H01: 1.= 2. = = i. 判断因素判断因素B的影响是否显著等价于检验假设：的影响是否显著等价于检验假设：H02: .1= .2 = = .j 其中，其中， i 表示表示A的第的第i个水平所构成的总体均个水平所构成的总体均值，值， j 表示的表示的B第第j个水平所构成的总体均值。个水平所构成的总体均值。2022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组39 对离差总平方和进行分解。与单因素情况类似，能

26、够证对离差总平方和进行分解。与单因素情况类似，能够证明下列公式成立：明下列公式成立： TABErst2Tiji 1j 11rsr22Aiii 1j 1i 1srs22Bjjj 1i 1j 1rs2Eijiji 1j 1 SSSSSx-x Sx -xsx -x Sx-xrx-x Sx -x -xx其中：（）（）（）（）（）（）2022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组40 由数理统计可以证明：当由数理统计可以证明：当 时时 与单因素情况类似，可以证明与单因素情况类似，可以证明ST、SA 、 SB和和SE的自的自由度分别为由度分别为2ijx N( ,) 2T2S(rs-1)

27、TABETABETABE22frs-1fr-1fs-1f(r-1)(s-1)SSSS,ff +f +f，（）又并且2022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组41 平方和分解定理：设平方和分解定理：设Q服从自由度为服从自由度为n的的 分布，分布，又又Q1+Q2+Qk=Q,其中，其中，Q（i=1,2,3,k）是秩）是秩为为fi的非负二次型，则的非负二次型，则Q相互独立，并且服从自由相互独立，并且服从自由度为度为fi的的 分布的充要条件是分布的充要条件是f1+ f2+ fk=n(这这里不做证明，证明参见有关数理教材里不做证明，证明参见有关数理教材)。显然，显然， ST、SA

28、、 SB和和SE满足平方和分解定理条件。满足平方和分解定理条件。222022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组42 由于由于SA反映因素反映因素A的各水平之间的差异，的各水平之间的差异， SB反反映因素映因素B的各水平之间的差异，的各水平之间的差异， SE反映在交互反映在交互作用不显著时试验本身随机误差的大小。因此，作用不显著时试验本身随机误差的大小。因此，可用以下统计量作为检验统计量：可用以下统计量作为检验统计量：AAAEEBBBEES /fF =F(r-1 (r-1)(s-1)S /fS /fF =F(s-1 (r-1)(s-1)S /f，2022-4-10版权所有

29、版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组43表表7-11 双因素（无交互作用）方差分析表双因素（无交互作用）方差分析表 方差来源方差来源方差方差S S自由度自由度f f均方均方MSMSF F值值A A的影响的影响f fA A=r-1=r-1MSMSA A=S=SA A/f/fA AF FA A=MS=MSA A/MS/MSE EB B的影响的影响f fB B=s-1=s-1MSMSB B=S=SB B/f/fB BF FB B=MS=MSB B/MS/MSE E误差误差f fE E=(r-1)(s-1)=(r-1)(s-1)MSMSE E=S=SE E/f/fE E总和总和f fT T=rs-

30、1=rs-1r2Aii 1 Ssx -x（）s2Bjj 1Srx -x（）rs2Eijiji 1 j 1 Sx -x -xx （）rs2Tiji 1 j 1Sx -x（）2022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组44 例例7.2 为提高某种产品的合格率，考察原料为提高某种产品的合格率，考察原料用量和来源地对其是否有影响。原料来源地有用量和来源地对其是否有影响。原料来源地有三个：甲、乙、丙；原料用量有三种：现有量、三个：甲、乙、丙；原料用量有三种：现有量、增加增加5%、增加、增加8%。每个水平组合各作一次试。每个水平组合各作一次试验，得到的数据如表验，得到的数据如表7-1

31、2所示。试分析原料用所示。试分析原料用量和来源地对产品合格率的影响是否显著？量和来源地对产品合格率的影响是否显著？2022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组45表表7-12 产品合格率数据产品合格率数据 原料用量原料用量 原料来源地原料来源地 现有量现有量B B1 1增加增加5%B5%B1 1增加增加8%B8%B1 1甲地甲地A A1 1597066乙地乙地A A2 2637470丙地丙地A A3 36166712022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组46解解:(1) 建立假设建立假设H01:1= 2 = 3. H02:1= 2 = 3 (2)

32、 计算相应的均值和平方和：计算相应的均值和平方和：33332ijTiji 1 j 1i 1 j 13322AiBji 1j 1332Eijiji 1 j 11600 xx Sx -x2003 39S3x -x26 S3x -x146 Sx -x -xx28 ，（）（）,（）（）2022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组47(3) 列方差分析表列方差分析表表表7-13 方差分析表方差分析表方差来源方差来源方差方差S S自由度自由度f f均方均方MSMSF F值值因素因素A ASA=26fA=2MSA=26/2=13FA=13/7=1.86因素因素B BSB=146fB=2

33、MSB=146/2=73FB=73/7=10.43误差误差SE=28fE=4MSE=28/4=7总和总和ST=200fE=82022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组48(4) 统计决策统计决策 对于显著性水平对于显著性水平 =0.05，查表得临界值，查表得临界值F0.05(2,4)=6.94, 因为因为 FA=1.86 F0.05(2,4),故不能拒绝故不能拒绝H01; FB=1.86F0.05(2,12)=3.89,FB=92.2592.25F0.05(2,12)=3.89 , FA*B=88.4188.41F0.05(2,12)=3.89说明不仅冲压机的型号和垫片

34、材料对垫片数量说明不仅冲压机的型号和垫片材料对垫片数量有显著影响，而且其交互作用也是显著的。有显著影响，而且其交互作用也是显著的。由结构均值表可知，在冲压机中由结构均值表可知，在冲压机中,第一种的均值第一种的均值较大；垫片材料中较大；垫片材料中,木的均值较大，故最优方案木的均值较大，故最优方案是是A1B3。 2022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组66有交互作用的双因素方差分析中的有交互作用的双因素方差分析中的Excel应用应用 以例以例7.3为例，将数据输入到为例，将数据输入到Excel工作表的区域为工作表的区域为B2:D7，冲压机的二个水平，冲压机的二个水平A1、

35、A2在第一列，垫片材在第一列，垫片材料的水平料的水平B1、B2、B3在第一行。再按以下步骤进行：在第一行。再按以下步骤进行：(1) 点击点击“工具工具”栏中的数据分析项。栏中的数据分析项。(2) 分析工具框中连击分析工具框中连击“方差分析：可重复双因素方差分方差分析：可重复双因素方差分析析”。(3) 在对话框的在对话框的“数据区域数据区域”框中键入框中键入A1:D7；在；在“每一每一样本的行数样本的行数” 框中键入框中键入3。在框中保持在框中保持 =0.05不变（也可根据需要变为不变（也可根据需要变为0.01）；）；在在“输出选项输出选项”中键入空白地方，如中键入空白地方，如F2；选择选择“确

36、定确定”，输出结果如表，输出结果如表7-20所示：所示： 7-20 有重复双因素方差分析结果有重复双因素方差分析结果SUMMARY橡胶橡胶B1塑料塑料B2软木软木B3总计总计A1观测数观测数3339求和求和10.2611.8412.9835.08平均平均3.423.9466674.3266673.897778方差方差0.00360.0036330.0044330.158394A2观测数观测数3339求和求和11.5610.4311.7433.73平均平均3.8533333.4766673.9133333.747778方差方差0.0030330.0030330.0086330.045694总计总

37、计观测数观测数666求和求和21.8222.2724.72平均平均3.6366673.7116674.12方差方差0.0589870.0689370.05648方差分析方差分析差异源差异源SSdfMSFP-valueF crit样本样本0.1012510.1012523.040460.0004344.747225列列0.81194420.40597292.383065.15E-083.885294交互交互0.76803320.38401787.386857.03E-083.885294内部内部0.052733120.004394总计总计1.733961172022-4-10版权所有版权所有 B

38、Y 统计学课程组统计学课程组68由表由表7-20于检验行因素冲压机于检验行因素冲压机A（Excel表中为表中为“样本样本”）、用于检验列因素垫片材料）、用于检验列因素垫片材料B、用、用于检验冲压机于检验冲压机A和垫片材料和垫片材料B交互作用交互作用A*B的的p值均小于值均小于0.05，故不仅因素，故不仅因素A和和B对试验指标有对试验指标有显著影响，而且其交互作用也是显著的。显著影响，而且其交互作用也是显著的。由于由于A1的试验指标均值大于的试验指标均值大于A2的试验指标均值，的试验指标均值， B3的试验指标均值大于的试验指标均值大于B1和和B2的试验指标均值，的试验指标均值，故最优方案应为故最

39、优方案应为A1B3，买第一种型号的冲压机、，买第一种型号的冲压机、采用软木材料，这种组合的单位时间内生产的采用软木材料，这种组合的单位时间内生产的垫片最多。垫片最多。2022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组69第四节第四节 正交试验设计初步正交试验设计初步一、试验设计的概念和设计原则一、试验设计的概念和设计原则n试验设计有三个基本原则：重复性、随机化和区组化。试验设计有三个基本原则：重复性、随机化和区组化。n(1) 重复性原则：重复性是指对一项试验要在相同的条重复性原则：重复性是指对一项试验要在相同的条件下重复进行若干次。只有进行多次的试验，才能掌件下重复进行若干次。

40、只有进行多次的试验，才能掌握其规律性。握其规律性。n(2) 随机化原则：随机化是指试验材料和试验地点都要随机化原则：随机化是指试验材料和试验地点都要随机地确定。这样进行试验得出的结论才具有客观性随机地确定。这样进行试验得出的结论才具有客观性和普遍性，且每次进行的试验都可认为是相互独立的。和普遍性，且每次进行的试验都可认为是相互独立的。n(3) 区组化原则：一组试验，试验者总希望在相同或近区组化原则：一组试验，试验者总希望在相同或近似相同的条件下进行，以便在相互比较中得出正确的似相同的条件下进行，以便在相互比较中得出正确的结论。结论。 2022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学

41、课程组70在安排试验时需要注意三点：在安排试验时需要注意三点： n第一、尽量减少试验误差。在试验时，要尽可能使对第一、尽量减少试验误差。在试验时，要尽可能使对试验产生影响的其他因素达到理论中要求的精确程度，试验产生影响的其他因素达到理论中要求的精确程度，这样我们在对目的指标进行测算时才能达到较为客观这样我们在对目的指标进行测算时才能达到较为客观的结果。在一项试验中误差是必然存在的，我们的目的结果。在一项试验中误差是必然存在的，我们的目的就是要尽量减少该误差。的就是要尽量减少该误差。n第二、尽量减少试验次数。试验的次数越多，进行试第二、尽量减少试验次数。试验的次数越多，进行试验所耗费的人力、物力

42、也就会相应地增多，最佳的试验所耗费的人力、物力也就会相应地增多，最佳的试验就是用尽可能少的费用来获得最有效的试验结果。验就是用尽可能少的费用来获得最有效的试验结果。n第三、所设计的试验要便于对指标值进行统计分析。第三、所设计的试验要便于对指标值进行统计分析。影响一个事件的指标是多样的，在进行设计时要选择影响一个事件的指标是多样的，在进行设计时要选择比较容易测算且对事件影响较大的指标进行计算。比较容易测算且对事件影响较大的指标进行计算。2022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组71n 在现实问题中，影响试验指标的因素通常有很多在现实问题中，影响试验指标的因素通常有很多个，

43、要考察它们就涉及多因子的试验设计问题。多因个，要考察它们就涉及多因子的试验设计问题。多因子试验中一个很困难的问题就是因子数较多，而又需子试验中一个很困难的问题就是因子数较多，而又需要进行多次的试验。例如，有要进行多次的试验。例如，有10个因子对某一指标有个因子对某一指标有显著影响，而每个因子取两个水平进行比较，那么就显著影响，而每个因子取两个水平进行比较，那么就有有210=1024个不同的水平组合，即每个水平组合作一个不同的水平组合，即每个水平组合作一次试验，就需要进行次试验，就需要进行1024次试验，耗费的人力、财力次试验，耗费的人力、财力可想而知，这在实际中是不可行的。因此，需要按照可想而

44、知，这在实际中是不可行的。因此，需要按照一定的方法从中选择一部分进行试验。常用的试验设一定的方法从中选择一部分进行试验。常用的试验设计方法有正交试验设计法、参数设计法、回归设计法、计方法有正交试验设计法、参数设计法、回归设计法、均匀设计法、混料设计法等。限于篇幅，这里仅介绍均匀设计法、混料设计法等。限于篇幅，这里仅介绍正交试验设计的基础知识，其他方法请读者自行阅读正交试验设计的基础知识，其他方法请读者自行阅读试验设计的有关书籍。试验设计的有关书籍。2022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组72二、多因子试验问题二、多因子试验问题n 在多因子试验中，各因子又有不同的水平在

45、多因子试验中，各因子又有不同的水平数，我们的目的是要从这些因子不同的水平组数，我们的目的是要从这些因子不同的水平组合中，找出一组或几组组合使所要求的指标达合中，找出一组或几组组合使所要求的指标达到最优。下面以一个二因子的例子来具体认识到最优。下面以一个二因子的例子来具体认识一下多因子试验问题。一下多因子试验问题。n例例7.4 为提高合金钢的强度，同时考虑碳为提高合金钢的强度，同时考虑碳(C)含含量量(因子因子)及钛及钛(Ti)与铝与铝(AL)的含量的含量(因子因子)对强度对强度Y的影响，希望找出最佳的含量组合，使强度的影响，希望找出最佳的含量组合，使强度Y达到最大（表达到最大（表7-21）。）

46、。2022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组73表表7-21 合金钢的试验数据合金钢的试验数据2022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组742022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组75三、交互作用三、交互作用n 一个因子的水平好坏或好坏的程度受另一一个因子的水平好坏或好坏的程度受另一个因子水平制约的情况，称为因子个因子水平制约的情况，称为因子A和和B的交互的交互作用，记作作用，记作 或或AB。n 因子因子A和和B的交互作用可以用图形较为直观的交互作用可以用图形较为直观地表示。地表示。n 2022-4-10版权所有版权所有

47、 BY 统计学课程组统计学课程组762022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组77n 因子间的交互作用会随着因子个数的增加而增加。因子间的交互作用会随着因子个数的增加而增加。如四个因子如四个因子A，B，C，D间的交互作用有以下几类：间的交互作用有以下几类：n(1) 二级交互作用有二级交互作用有6个：个： AB， AC， AD， BC， BD， CD；n(2) 三级交互作用有三级交互作用有4个：个： ABC， ABD， ACD， BCD；n(3) 四级交互作用有四级交互作用有1个：个： ABCD 。n 交互作用共有交互作用共有11个，比因子个数还多。实践经验表个，比因子个

48、数还多。实践经验表明，多数交互作用是不存在或者很小以至可以忽略不明，多数交互作用是不存在或者很小以至可以忽略不计的，一般我们主要考虑部分二级交互作用，但具体计的，一般我们主要考虑部分二级交互作用，但具体考察哪些二级交互作用还要根据下面的方法来决定。考察哪些二级交互作用还要根据下面的方法来决定。 2022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组78四、正交表及其类型四、正交表及其类型n 正交试验设计法是利用正交表科学地挑选试验条正交试验设计法是利用正交表科学地挑选试验条件，合理安排试验的方法，是研究与处理多因素试验件，合理安排试验的方法，是研究与处理多因素试验的一种科学方法。的

49、一种科学方法。n 正交设计有两个重要的特点：（正交设计有两个重要的特点：（1）任意一对因子）任意一对因子（也称因素）的任一水平组合必在试验中出现，且出（也称因素）的任一水平组合必在试验中出现，且出现的次数相同；（现的次数相同；（2）总试验次数比全面试验（所有因）总试验次数比全面试验（所有因子的任一水平组合都进行搭配）要少许多次。例如，子的任一水平组合都进行搭配）要少许多次。例如，对对7个二水平因子进行全面试验要进行个二水平因子进行全面试验要进行27=128次，而用次，而用正交表安排试验只需要作正交表安排试验只需要作8次。用正交表合理地安排试次。用正交表合理地安排试验，可以做到省时、省力、省钱，

50、还能得到令人满意验，可以做到省时、省力、省钱，还能得到令人满意的检验效果，因此这种方法在改进产品质量、研究采的检验效果，因此这种方法在改进产品质量、研究采用新工艺、试制新产品、了解设备工艺性能以及改进用新工艺、试制新产品、了解设备工艺性能以及改进技术管理等方面都有广泛的应用。技术管理等方面都有广泛的应用。 2022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组791正交表及其特性正交表及其特性n 正交表是正交设计的工具，是运用组合数正交表是正交设计的工具，是运用组合数学理论在正交拉丁方的基础上构造的一种规格学理论在正交拉丁方的基础上构造的一种规格化表格，符号为：化表格，符号为：n其

51、中，其中，L为正交表符号；为正交表符号；n n为正交表的行数为正交表的行数(试验次数，试验方案数试验次数，试验方案数)；n j为正交表中每一列因子的水平个数；为正交表中每一列因子的水平个数；n i为正交表的列数为正交表的列数(试验因子的个数试验因子的个数)。 n 2022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组802022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组812022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组82n 正交表具有正交性，这是指它有如下两个正交表具有正交性，这是指它有如下两个特征：特征：n（1）每列中不同的数字重复的次数相同

52、。在）每列中不同的数字重复的次数相同。在表表7.22中，每列有两个不同的数字：中，每列有两个不同的数字：1，2，每，每一个各出现一个各出现4次。次。n（2）将任意两列的同行数字看成一个数对，）将任意两列的同行数字看成一个数对，那么任意可能数对重复的次数相等。在那么任意可能数对重复的次数相等。在 中，中，任意两列有任意两列有4种可能数对：种可能数对：(1，1)， (1，2)，(2，1)，(2，2)，每一对各出现，每一对各出现2次。次。 2022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组832正交表的分类正交表的分类2022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组

53、84五、无交互作用情况下的设计五、无交互作用情况下的设计n正交表安排试验的步骤如下：正交表安排试验的步骤如下：n（1） 明确试验目的，确定要考察的试验指标。明确试验目的，确定要考察的试验指标。n（2） 确定要考察的因子和因子的水平。确定要考察的因子和因子的水平。n（3） 选用合格的正交表，进行表头设计。选用合格的正交表，进行表头设计。n（4） 根据试验号的安排进行试验，并记录试验指标根据试验号的安排进行试验，并记录试验指标的具体数据。的具体数据。n（5） 数据分析。对一个正交表形式的试验设计通常数据分析。对一个正交表形式的试验设计通常有三种分析方法：一是用极差分析各因子对指标影响有三种分析方法

54、：一是用极差分析各因子对指标影响程度的大小，这是一种较为简单的直观分析方法；二程度的大小，这是一种较为简单的直观分析方法；二是用方差分析进行数据分析；三是贡献率分析法。是用方差分析进行数据分析；三是贡献率分析法。 2022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组85n例例7.5 某化工厂生产的一种产品的收率较低，某化工厂生产的一种产品的收率较低，为此希望通过试验提高收率。在试验中考察如为此希望通过试验提高收率。在试验中考察如下三个因子三个水平（表下三个因子三个水平（表7-23）：）：n表表7-23 因子水平表因子水平表n 2022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组

55、统计学课程组86n解解n 由于所考察的因子是三水平的，因此选用由于所考察的因子是三水平的，因此选用三水平正交表，又现在只考察三个因子，故选三水平正交表，又现在只考察三个因子，故选择择 安排试验。安排试验。n 选定了正交表后把因子放在正交表的列上选定了正交表后把因子放在正交表的列上去，称为表头设计。在例去，称为表头设计。在例7.5中将三个因子置于中将三个因子置于前三列，将它写成如下的表头设计形式：前三列，将它写成如下的表头设计形式：n 2022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组87n九次试验的结果九次试验的结果收率收率(%)分别是：分别是：n51 61 58 72 69

56、59 87 85 84n(一一) 用极差分析各因子对指标影响程度的大小用极差分析各因子对指标影响程度的大小n1用直观分析表对该试验进行分析用直观分析表对该试验进行分析n为方便起见，把试验结果写在正交表的右边一为方便起见，把试验结果写在正交表的右边一列上，并分别用列上，并分别用 表示，所有计算表示，所有计算可以在表上进行。可以在表上进行。2022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组88n 首先来看第一列，该列中的首先来看第一列，该列中的1，2，3分别分别表示因子的三个水平，按水平号将数据分为三表示因子的三个水平，按水平号将数据分为三组：组：“1”对应对应 ，“2”对应对应

57、，“3”对应对应 。n 在第二列，该列中的在第二列，该列中的1，2，3分别表示因分别表示因子子B的三个水平，按水平号将数据分为三组：的三个水平，按水平号将数据分为三组：“1”对应对应 ，“2”对应对应 ，“3”对应对应 。同理我们可以从图中得到第三。同理我们可以从图中得到第三列的情况。列的情况。2022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组89n 分别对每一列每个水平的数据进行相加，得分别对每一列每个水平的数据进行相加，得到这个水平下该因子对应指标值的和，例如，到这个水平下该因子对应指标值的和，例如，2022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组90n

58、同理我们可以得到对应同理我们可以得到对应C水平的水平的T1，T2，T3的值，的值，用每个水平得出的用每个水平得出的Ti的值去除以的值去除以3就得到其均值就得到其均值 。n 由以上计算可知，每个因子下间的差异反映由以上计算可知，每个因子下间的差异反映了这个因子三个水平间的差异；分别对三个因子的各了这个因子三个水平间的差异；分别对三个因子的各个水平进行数值大小比较：因子个水平进行数值大小比较：因子A的三个水平均值差异的三个水平均值差异较大，其第三个水平的均值最大，故因子较大，其第三个水平的均值最大，故因子A的三水平最的三水平最好。对第二、三列进行类似地分析，可知因子好。对第二、三列进行类似地分析，

59、可知因子B的第二的第二个水平好，因子个水平好，因子C的第二个水平好。的第二个水平好。 n 2022-4-10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组91n对第四列也可以进行上述分析，按其中的对第四列也可以进行上述分析，按其中的1，2，3分别将数据分为三组，但三组的水平分别将数据分为三组，但三组的水平组合相同，因此该列仅反映误差。组合相同，因此该列仅反映误差。n综上可知，使指标达到最佳的水平组合是综上可知，使指标达到最佳的水平组合是，即反应温度为，即反应温度为90度、加碱量为度、加碱量为48公斤、选公斤、选取乙类催化剂可以使转化率达到最大。取乙类催化剂可以使转化率达到最大。2022-4-

60、10版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组922用极差分析各因子对指标影响程度的大小用极差分析各因子对指标影响程度的大小n 一个因子的极差是该因子各水平均值的最一个因子的极差是该因子各水平均值的最大值与最小值之差，如果该值大，则说明改变大值与最小值之差，如果该值大，则说明改变这一因子的水平会对指标造成较大的变化，所这一因子的水平会对指标造成较大的变化，所以该因子对指标的影响大，反之，则影响小。以该因子对指标的影响大，反之，则影响小。极差最大的列所对应的因子是最主要因子。当极差最大的列所对应的因子是最主要因子。当要求指标愈高愈好时，可选要求指标愈高愈好时，可选R行中最大者，所行中最大者