等差数列前n项和

1、 泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案，以相传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有同大小的圆宝石镶饰而成，共有100100层层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花

2、了多少宝石吗？你知道这个图案一共花了多少宝石吗？问题呈现问题呈现 问题问题1问题问题2 一个堆放铅笔的一个堆放铅笔的V形架形架的最下面一层放一支的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一比它下面一层多放一支，最上面一层放支，最上面一层放100支支.这个这个V形架上共放着形架上共放着多少支铅笔？多少支铅笔？ 问题就是问题就是 求求“1+2+3+4+100=？”探究发现探究发现问题问题1：图案中，第：图案中，第1层到第层到第21层一共有层一共有多少颗宝石？多少颗宝石？ 这是求奇数个项和的问题，这是求奇数个项和的问题，不能简单模仿偶数个项求和的不能简单模仿偶数个项求和的

3、办法，需要把中间项办法，需要把中间项1111看成首、看成首、尾两项尾两项1 1和和2121的等差中项。的等差中项。 通过前后比较得出认识：高通过前后比较得出认识：高斯斯“首尾配对首尾配对” ” 的算法还得分的算法还得分奇、偶个项的情况求和。奇、偶个项的情况求和。 有无简单的方法？有无简单的方法？ 探究发现探究发现问题问题1：图案中，第：图案中，第1层到第层到第21层一共有层一共有多少颗宝石？多少颗宝石？ 借助几何图形之借助几何图形之直观性，使用熟悉的直观性，使用熟悉的几何方法：把几何方法：把“全等全等三角形三角形”倒置，与原倒置，与原图补成平行四边形。图补成平行四边形。探究发现探究发现问题问题

4、1：图案中，第：图案中，第1层到第层到第21层一共有层一共有多少颗宝石？多少颗宝石？ 12321212019121(121)212s获得算法：获得算法：问题问题3:求和求和:1+2+3+4+n=?记记:S= 1 + 2 + 3 +(n-2)+(n-1)+nS= n+(n-1)+(n-2)+ 3 + 2 +12) 1(),1(2nnSnnS问题问题4：设等差数列：设等差数列 an 的首项的首项为为a1，公差为，公差为d，如何求等差数列，如何求等差数列的前的前n项和项和Sn= a1 +a2+a3+an?解：解：因为因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2= 2)(1nnaanS两式左右分别相

5、加，得两式左右分别相加，得倒序相加倒序相加Sn=a1+ a2 +a3 +an-2+an-1+anSn=an+an-1+an-2+a3 + a2 +a12Sn=(a1+an)+ (a2+an-1)+ (a3+an-2)+ (an-2+a3)+ (an-1+a2)+ (an+a1)=n(a1+an)问题问题5：能否用：能否用a1,n,d表示表示Sn将将an=a1+(n-1)d代入代入2)(: ) 1 (1nnaanS公式dnnnaSn2) 1(: )2(:1公式得【说明说明】推导等差数列的前推导等差数列的前n项和公式的方法叫项和公式的方法叫 ；an为等差数列为等差数列 ，这是一个关于，这是一个关于

6、 的的 没有没有 的的“ ” 倒序相加法倒序相加法Sn=an2+bnn常数项常数项二次函数二次函数（ 注意注意 a 还可以是还可以是 0）等差数列前等差数列前n项和项和公式公式2)(1nnaanSdnnnaSn2) 1(1【公式记忆公式记忆】 用梯形面积公式记忆等差数列前用梯形面积公式记忆等差数列前n n项和公式，项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列数列前前n项和的两个公式项和的两个公式.等差数列的前等差数列的前n项和公式类同于项和公式类同于 ；梯形的面积公式梯形的面积公式n例例1 某长跑运动员某长跑运动员7天里每天的训天里每天的训

7、练量（单位：练量（单位：m）是：是： 7500, 8000 , 8500 , 9000 , 9500 , 10000 ,10500这位运动员这位运动员7天共跑了多少米？天共跑了多少米？解解：这位长跑运动员每天的训练量成等差数列，：这位长跑运动员每天的训练量成等差数列， 记为记为an, 其中其中 a1=7500, a7=10500. 根据等差数列前根据等差数列前n项和公式，得项和公式，得77750010500630002()s答：这位长跑运动员答：这位长跑运动员7天共跑了天共跑了63000m.例例2 等差数列等差数列-10，-6，-2， 2，前多少项的和是前多少项的和是54？ 本题实质是反用公式

8、，解一本题实质是反用公式，解一个关于个关于n 的一元二次函数，的一元二次函数，注意得到的项数注意得到的项数n 必须是正必须是正整数整数.解解：将题中的等差数列记为：将题中的等差数列记为an，sn代表该数列代表该数列 的前的前n项和，则有项和，则有a1=10, d=6(10)=4 根据等差数列前根据等差数列前n项和公式：项和公式：112()nn nsnad- -= =+ +1104542()有有成成立立n nn- - -+ + = =26270,整整理理后后 得得nn- - -= =解得解得n1=9, n=3(舍去舍去)因此等差数列因此等差数列10,6,2,2，前，前9项的和项的和是是54.设该

9、数列前设该数列前n 项和为项和为54例例3 求集合求集合M=m|m=7n, n是正整数是正整数, 且且m100的元素个数的元素个数, 并求这些元素的和并求这些元素的和.解解:由由7n100得得 n1007,.7214n 由于满足它的正整数由于满足它的正整数n共有共有14个个, 集合集合M中的元素共有中的元素共有14个个. 即即7, 14, 21, , 91, 98.这是一个等差数列这是一个等差数列, 各项的和是各项的和是2)987(1414S答答: 集合集合M中的元素共有中的元素共有14个个, 它们的和为它们的和为735.=735例例4. 求和：求和：701310742 例例5. 等差数列等差

10、数列an中，中， a1=-17,d=2,求求S3.随堂练习随堂练习:、根据下列各题中的条件，求相应的等差数列、根据下列各题中的条件，求相应的等差数列an的的sn(1)a=5,an=95,n=10(2)a1=100,d=2,n=50(3)a1=14.5,d=0.7,an=325002)955(1010s25502) 150(501005050s5 .6042)325 .14(26267 . 0) 1(5 .1432) 1(1nnsnndnaa所以得先由2、(1)求正整数列中前求正整数列中前n个数的和；个数的和； (2)求正整数列中前求正整数列中前n个偶数的和个偶数的和。3、等差数列、等差数列5,

11、4,3,2,1,前多少项的和是前多少项的和是30？2)1(nnsn)1(2)22(nnnnsn前前15项项 1.推导等差数列前推导等差数列前 n项和公式的方法项和公式的方法小结：小结：2.公式的应用中的数学思想公式的应用中的数学思想. -倒序相加法倒序相加法-方程思想方程思想3.公式中五个量公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知已知 其中三个量，可以求其余两个其中三个量，可以求其余两个-知三求二知三求二习题习题浙江省乐清中学浙江省乐清中学高一数学备课组高一数学备课组 已知等差数列已知等差数列1616，1414，1212，1010， (1)(1) 前多少项的和为前多少项的和为0 0？( (2) 2) 前多少项的和最大？前多少项的和最大？课外探索课外探索例例6.在等差数列在等差数列an中，中， (1)已知已知d=3,an=20,Sn=65, 求求a1和和n以及此数列的后以及此数列的后6项和；项和； (2) 已知已知an=11-3n,求求Sn. (3)已知已知a11=-1，求，求S21.备用备用:小结小结EX例例6. 已知一个等差数列的前已知一个等差数列的前10项的和是项的和是310，前前20项的和是项的和是1220