第五章_刚体定轴转动_角动量守恒定律

1、第五章 刚体定轴转动 角动量守恒定律本章内容Contentschapter 55.1 刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述rotation of rigidbody with a fixed axis5.4 刚体转动中的功和能刚体转动中的功和能5.2 角动量与角动量守恒角动量与角动量守恒angular momentum andlaw of conservation of angular momentum 5.3 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律law of rotation of rigidbody with a fixed axiswork and energy of rotating ri

2、gidbody目的要求了解描述刚体定轴转动的物理量：了解描述刚体定轴转动的物理量：q q 、w w、a a 理解质点、刚体的角动量，角动量定理及理解质点、刚体的角动量，角动量定理及角动量守恒定律。会用他们来处理一些较角动量守恒定律。会用他们来处理一些较简单的刚体转动问题简单的刚体转动问题掌握转动定律，能熟练地用他来处理一些掌握转动定律，能熟练地用他来处理一些较简单的刚体定轴转动问题较简单的刚体定轴转动问题了解刚体的动能定理了解刚体的动能定理刚体第一节5 . 1rotation of rigidbody with a fixed axis定轴转动描述1.角坐标角坐标2.角位移角位移3.角速度角速

3、度常量常量静止匀角速变角速4.角加速度角加速度变角加速常量常量 匀角加速匀角速用矢量表示 或 时，它们与 刚体的转动方向采用右手螺旋定则 的运动方程的运动方程刚体定轴转动刚体定轴转动刚体刚体转轴转动平面转动平面（包含P并与转轴垂直）参考参考方向方向刚体中任刚体中任一点一点例rad- -1srad- -2sradrad-1rad s-2rad s匀匀 角角 加加 速速 定定 轴轴 转转 动动例任意时刻的任意时刻的常量常量且且 t = 0 时时 得得由由本题知角加速度求角速度、角坐标，属于本题知角加速度求角速度、角坐标，属于前面已经学过的积分（第二类）问题前面已经学过的积分（第二类）问题得得两边积

4、分两边积分得得即即由由得得两边积分两边积分例这是定轴转动中这是定轴转动中线量线量与与角量角量的基本关系的基本关系由由得得对比刚刚 体体 的的 定定 轴轴 转转 动动质点质点直线直线运动或刚体平动运动或刚体平动速度速度加速度加速度位移位移匀速直线运动匀速直线运动匀变速直线运动匀变速直线运动角速度角速度角加速度角加速度角位移角位移匀角速定轴转动匀角速定轴转动匀变角速定轴转动匀变角速定轴转动第二节5 . 2angular momentum law of conservation of angular momentum 质点的角动量rOmv速度速度位矢位矢质量质量角角夹夹rvrvL大量天文观测表明大量

5、天文观测表明rmvsin常量常量行星绕日作椭圆轨道运动时服从行星绕日作椭圆轨道运动时服从大小：大小：Lrmvsin方向：方向：rmv()rpLrmv位矢对动量的叉积位矢对动量的叉积质点角动量定理由得两平行矢量的叉乘积为零两平行矢量的叉乘积为零即上式又是 力矩力矩其大小的操作定义，微分形式 如果各分力与如果各分力与O点共面，力矩只含正、反两种方向。可设顺时针为正点共面，力矩只含正、反两种方向。可设顺时针为正向，用代数法求合力矩。向，用代数法求合力矩。即即质点质点 对给定参考点对给定参考点 的的角动量的时间变化率角动量的时间变化率所受的合外力矩所受的合外力矩等于等于积分形式例如例如， 单摆的角动量

6、大小为单摆的角动量大小为 L = = mvr, , v 为变量。为变量。 在在 t = = 0 时从水平位置静止时从水平位置静止释放，初角动量大小为释放，初角动量大小为 L0= = m v0 r = =0； 时刻时刻 t 下摆至竖直位置，下摆至竖直位置， 角动量角动量大小为大小为 L = = m v r 。则此过程单摆所受的冲量矩大小等于则此过程单摆所受的冲量矩大小等于 L- -L0= = m v r = = m r 2gr 。即即 质点质点 对给定参考点对给定参考点 的的冲量矩冲量矩 等于等于 角动量的增量角动量的增量由由有有称为称为 冲量矩冲量矩角动量的增量角动量的增量积分得积分得质点角动

7、量守恒根据质点的根据质点的 角动量定理角动量定理 若若则则即即常矢量常矢量 若质点所受的合外力的方向始终通过参考点，其角动量守恒。如行星若质点所受的合外力的方向始终通过参考点，其角动量守恒。如行星绕太阳运动，以及微观粒子中与此类似的运动模型，服从角动量守恒定律。绕太阳运动，以及微观粒子中与此类似的运动模型，服从角动量守恒定律。当质点当质点 所受的合外力对某参考点所受的合外力对某参考点 的力矩的力矩 为零时，质点对该点的角动量为常量（即时间变化为零时，质点对该点的角动量为常量（即时间变化率率 为为零）。零）。开普勒第二定律应用质点的角动量守恒定律可以证明应用质点的角动量守恒定律可以证明开普勒第二

8、定律开普勒第二定律行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积证明 时刻时刻 m 对对 O 的角动量大小为的角动量大小为因行星受的合外力总指向太阳，角动量因行星受的合外力总指向太阳，角动量 守恒。守恒。瞬间瞬间位矢扫过的微面积位矢扫过的微面积则则常量常量故，故，位矢在相同时间内扫过的面积相等位矢在相同时间内扫过的面积相等即即（称为掠面速率）（称为掠面速率）刚体的角动量刚体的转动惯量分立质点结构的刚体分立质点结构的刚体转轴转轴 若连接两小球（视为质点）的若连接两小球（视为质点）的轻细硬杆的质量可以忽略，则轻细硬杆的质量可以忽略，则转轴转轴0.75直杆匀直细

9、杆对中垂轴的匀直细杆对中垂轴的匀直细杆对端垂匀直细杆对端垂轴的轴的质量连续分布的刚体质量连续分布的刚体质心新轴质心轴平行移轴定理平行移轴定理对对新新轴轴的转动惯量的转动惯量对质心轴的转动惯量对质心轴的转动惯量新轴新轴对心轴的平移量对心轴的平移量例如：例如：时时代入可得代入可得端圆盘匀质薄圆盘对心垂轴的匀质薄圆盘对心垂轴的球体其中其中 可看成是许多半径不同的共可看成是许多半径不同的共轴簿圆盘的转动惯量轴簿圆盘的转动惯量 dI 的叠加。的叠加。 距距 O 为为 y 、半径为、半径为 r 、微厚为、微厚为 dy 的簿圆盘的转动惯量为的簿圆盘的转动惯量为匀质实心球对心轴的匀质实心球对心轴的密度密度常用

10、公式LRmm匀质薄圆盘匀质薄圆盘匀质细直棒匀质细直棒转轴通过中心垂直盘面转轴通过中心垂直盘面22I =m R123I =m L1转轴通过端点与棒垂直转轴通过端点与棒垂直刚体的角动量定理角动量定理刚体角动量守恒由由刚体所受合外力矩刚体所受合外力矩若若则则即即知知回转仪万万向向支支架架回转仪定向原理基基 座座回转体回转体 （转动惯量（转动惯量 ）使其以角速度使其以角速度 高速旋转高速旋转受合外力矩为零受合外力矩为零回转体质量呈轴对称分布；回转体质量呈轴对称分布；轴摩擦及空气阻力很小。轴摩擦及空气阻力很小。角动量守恒角动量守恒常矢量常矢量其中转动惯量其中转动惯量为常量为常量若将回转体转轴指向任一方向

11、若将回转体转轴指向任一方向则转轴将保持该方向不变则转轴将保持该方向不变而不会受基座改向的影响而不会受基座改向的影响转台角动量守恒的另一类现象角动量守恒的另一类现象变小则变小则变大，变大，乘积乘积保持不变保持不变，变大则变大则变小。变小。收臂收臂大大小小 用外力矩用外力矩启动转盘后启动转盘后撤除外力矩撤除外力矩张臂张臂大大小小滑冰花花 样样 滑滑 冰冰收臂大小张臂张臂大大小小先使自己先使自己转动起来转动起来收臂收臂大大小小角动量守恒的另一类现象角动量守恒的另一类现象变小则变小则变大，变大，乘积乘积保持不变保持不变，变大则变大则变小。变小。共轴系统共轴系统共轴系统若若外外则则常矢量常矢量轮、转台与

12、人系统轮、转台与人系统轮轮人台人台初态初态全静全静初初人沿某一转人沿某一转向拨动轮子向拨动轮子轮轮末态末态人台人台轮轮轮轮末末人台人台人台人台初初得得人台人台人台人台轮轮轮轮导致人台导致人台反向转动反向转动动画直升机直升飞机防止机身旋动的措施直升飞机防止机身旋动的措施用两个对用两个对转的顶浆转的顶浆（支奴干（支奴干 CH47)用用 尾尾 浆浆（美洲豹（美洲豹 SA300）（ 海豚海豚 ）例A A、B B两轮共轴两轮共轴A A 以以 w wA A 作惯性转动作惯性转动两轮啮合后两轮啮合后一起作惯性转动的角速度一起作惯性转动的角速度w wABAB 以以A A、B B为系统，忽略轴摩擦，脱离驱动力矩

13、后，系为系统，忽略轴摩擦，脱离驱动力矩后，系统受合外力矩为零，角动量守恒。统受合外力矩为零，角动量守恒。初态角动量初态角动量末态角动量末态角动量得得例以子弹和棒为系统以子弹和棒为系统击入阶段击入阶段子弹击入木棒瞬间子弹击入木棒瞬间，系统在系统在铅直位置，受合铅直位置，受合外力矩为零外力矩为零，角动量守恒。，角动量守恒。该瞬间之始该瞬间之始该瞬间之末该瞬间之末弹弹棒棒弹弹棒棒弹嵌于弹嵌于棒棒子弹子弹摆摆最最大大转转角角木棒木棒上摆阶段上摆阶段子弹嵌定于棒内与棒一起上摆，子弹嵌定于棒内与棒一起上摆，非保守内力的功为零，由系统动能定理非保守内力的功为零，由系统动能定理外力（重外力（重力）的功力）的功

14、外外上摆末动能上摆末动能上摆初动能上摆初动能其中其中联立解得联立解得例联立解得联立解得0.5771.861其中其中 球、棒相碰球、棒相碰瞬间瞬间在铅垂位置，在铅垂位置，系统受合外系统受合外力矩为零力矩为零，角动量守恒。，角动量守恒。刚要碰时系统角动量刚要碰时系统角动量刚碰过后系统角动量刚碰过后系统角动量球球棒棒球球棒棒弹碰阶段弹碰阶段弹碰过程能量守恒弹碰过程能量守恒 满足什么条件时，小球（视满足什么条件时，小球（视为质点）摆至铅垂位置与棒弹碰而为质点）摆至铅垂位置与棒弹碰而小球恰好静止。直棒起摆角速度小球恰好静止。直棒起摆角速度匀质直棒与单摆匀质直棒与单摆小球的质量相等小球的质量相等两者共面共

15、转轴两者共面共转轴水水平平静静止止释释放放静静悬悬弹碰弹碰忽略摩擦忽略摩擦对摆球、直棒系统对摆球、直棒系统小球下摆阶段小球下摆阶段从水平摆到弹碰即将开始，从水平摆到弹碰即将开始，由动能定理得由动能定理得第三节5 . 3law of rotation of rigidbody with a fixed axis刚体转动定律引言质质 点点的运动定律的运动定律或或刚体平动刚体平动F = m a惯性质量惯性质量合合 外外 力力合加速度合加速度有力矩作用时刚体定轴转动的运动规律？有力矩作用时刚体定轴转动的运动规律？转动定律由由得得或或即即应用 匀直细匀直细杆一端为杆一端为轴水平静轴水平静止释放，止释放，

16、求求例aRm1m2m轮轴无摩擦轮轴无摩擦轻绳不伸长轻绳不伸长轮绳不打滑轮绳不打滑aG1G2a aa a转动转动平动平动线线- -角角复合运动复合运动m1+ m2+ 联立求解，得联立求解，得m1m2a=gm21g = m1 ( g + a ) = m2 ( g a )m1 gm2 g例Rm1m细绳缠绕轮缘细绳缠绕轮缘Rm（A）（B）恒力恒力F滑轮角加速度滑轮角加速度 a a细绳线加速度细绳线加速度 a（A）纯转动纯转动（B） 复合运动复合运动例m= 5kgm2= 1kg m1= 3kgR = 0.1mRm1m2m物体从静止开始运动时，滑轮的物体从静止开始运动时，滑轮的 转动方程转动方程m1m2m

17、复合运动，复合运动，和和分别应用牛顿定律和转动定律分别应用牛顿定律和转动定律m1 g FT1 = m1aFT2 m2 g = m2a( FT1 FT2 ) R = Ia a及及 a = Ra aI = mR221得得a a =(m1-m2)gR(m1+ m2+ m 2)常量常量(m1-m2)g(m1-m2)gR(m1+ m2+ m 2)故故由由R(m1+ m2+ m 2)2 (rad)tG1G2a aaa例短杆的角加速度大短杆的角加速度大且与匀质直杆的质量无关且与匀质直杆的质量无关q qq q两匀两匀直细杆直细杆地面地面两者瞬时角加速度之比两者瞬时角加速度之比213q q1q q1321根据第

18、四节5 . 4work and energy of rotating rigidbody力矩的功亦称力矩的元功亦称力矩的元功力力的元功的元功做的总功做的总功其瞬时功率其瞬时功率转动动能I得得该质元的动能该质元的动能刚体中任一质元刚体中任一质元 的速率的速率对所有质元的动能求和对所有质元的动能求和转动惯量转动惯量 I力矩的功算例拨动圆盘转一周，摩擦阻力矩的功的大小拨动圆盘转一周，摩擦阻力矩的功的大小粗粗 糙糙 水水 平平 面面转轴平放一圆盘平放一圆盘圆盘受总摩擦力矩圆盘受总摩擦力矩 转一周摩擦力矩的总功转一周摩擦力矩的总功总摩擦力矩总摩擦力矩 Mr 是是各微环带摩擦元力矩各微环带摩擦元力矩 d dMMr r 的积分的积分环带面积环带面积环带质量环带质量环带受摩擦力环带受摩擦力环带受摩擦力矩环带受摩擦力矩得得刚体的动能定理回忆质点的动能定理回忆质点的动能定理刚体转动的动能定理刚体转动的动能定理