第五章 随机试验与随机变量

1、统计学统计学天津财经大学统计系天津财经大学统计系第五章第五章 随机试验与随机变量随机试验与随机变量 n第一节第一节 随机试验随机试验n第二节第二节 随机变量及其分布随机变量及其分布 n第三节第三节 随机变量与样本随机变量与样本 第一节第一节 随机试验随机试验n一、随机试验与随机事件一、随机试验与随机事件n二、概率二、概率 一、随机试验与随机事件一、随机试验与随机事件n（一）随机现象（一）随机现象n1概念：在给定的条件下不能确切预见其结果概念：在给定的条件下不能确切预见其结果的现象叫作随机现象。的现象叫作随机现象。n2随机现象的产生：因大量的偶然因素存在且随机现象的产生：因大量的偶然因素存在且无

2、法控制，使现象的结果不能确定和不能完全无法控制，使现象的结果不能确定和不能完全预见的。于是，现象的随机性便产生了。预见的。于是，现象的随机性便产生了。n3随机现象有一定规律性的。在给定条件下在随机现象有一定规律性的。在给定条件下在规律值附近的数值发生的可能性较大，离规律规律值附近的数值发生的可能性较大，离规律值越近则发生的可能性越大，离规律值越远则值越近则发生的可能性越大，离规律值越远则发生的可能性越小。统计学就是要通过对随机发生的可能性越小。统计学就是要通过对随机现象的有限次的观察结果去探寻它的各种统计现象的有限次的观察结果去探寻它的各种统计规律。规律。 （二）随机试验（二）随机试验 n 1

3、概念：对随机现象的观测称作随机试验。概念：对随机现象的观测称作随机试验。n 2种类：随机试验有可重复随机试验和不可种类：随机试验有可重复随机试验和不可重复随机试验两种。前者是指可以在相同条件重复随机试验两种。前者是指可以在相同条件下重复进行的随机试验；后者是指不能在相同下重复进行的随机试验；后者是指不能在相同条件下重复进行的随机试验。条件下重复进行的随机试验。n 要注意，随机现象或随机试验的概念都是同给要注意，随机现象或随机试验的概念都是同给定的一组条件联系在一起的。给定的一组条件定的一组条件联系在一起的。给定的一组条件发生了改变，就变成了另外的随机现象和另外发生了改变，就变成了另外的随机现象

4、和另外的随机试验。的随机试验。 1.事件的种类事件的种类 一个事件如果不能再被分解为两个或两个以上一个事件如果不能再被分解为两个或两个以上事件，称作基本事件。基本事件是试验的最基本结事件，称作基本事件。基本事件是试验的最基本结果：每次试验必出现一个基本事件，任何两个基本果：每次试验必出现一个基本事件，任何两个基本事件都不会同时出现。事件都不会同时出现。 由两个或两个以上基本事件所组成的事件称作由两个或两个以上基本事件所组成的事件称作复合事件。复合事件。 一项随机试验的所有基本事件的集合，称作该一项随机试验的所有基本事件的集合，称作该随机试验的基本事件空间。必然事件是每次试验都随机试验的基本事件

5、空间。必然事件是每次试验都一定出现的事件，记作一定出现的事件，记作。任何一次试验都不可能。任何一次试验都不可能出现的事件称为不可能事件，记作出现的事件称为不可能事件，记作。（三）事件（三）事件 2.事件的关系和运算事件的关系和运算 事件的关系有：包含和相等；事件的运算有：和事件的关系有：包含和相等；事件的运算有：和（并），差，交（积），逆。（并），差，交（积），逆。n（1）包含：关系式）包含：关系式 表示表示“若若A出现，出现，则则B也出现（反之则未必）也出现（反之则未必）”，称作，称作“B包含包含A”，或或“A导致导致B”。 BA n（2）相等：关系式）相等：关系式A=B表示二事件表示二事件

6、A和和B要么都出要么都出现，要么都不出现，称作现，要么都不出现，称作“事件事件A等于事件等于事件B”或或“事件事件A和和B等价等价”。 n（3）和（并）：运算式）和（并）：运算式A+B或或AB读作读作“A加加B”，称作称作“A与与B的和（并）的和（并）”，表示，表示“A和和B至少出现至少出现一个一个”。对于多个事件。对于多个事件 , 或或 表示表示“诸事件中至少出现一个诸事件中至少出现一个”。 ）， 21( iiAiiAiiAn（4）差：运算式）差：运算式 AB或或AB读作读作“A减减B”，称作，称作“A与与B的差的差”，表示，表示“事件事件A出现但出现但B不出现。不出现。”n（5）交（积）：

7、运算式）交（积）：运算式AB或或AB，称作，称作“A与与B的交（或的交（或积）积）”，表示，表示“事件事件A和和B同时出现同时出现”。对于多个事件。对于多个事件 表示表示“诸事件诸事件 同时出现同时出现”。 n（6）逆事件：）逆事件： =A不出现不出现，称作，称作A的对立事件或逆事件。的对立事件或逆事件。显然显然A和和 互为对立事件，它们之间有下列关系：，互为对立事件，它们之间有下列关系：，A =。n（7）不相容：若）不相容：若AB=，即，即A与与B不可能同时出现，则称不可能同时出现，则称A和和B不相容。不相容。），21( iiA AA），21( iiAiAAAA二、概率二、概率n 对于一个随

8、机事件来说，它在一次试验中可能对于一个随机事件来说，它在一次试验中可能发生，也可能不发生。既然有可能性，就有可能性发生，也可能不发生。既然有可能性，就有可能性大小问题。事件大小问题。事件A在随机试验中出现可能性大小的在随机试验中出现可能性大小的数值度量，称作概率。事件数值度量，称作概率。事件A的概率以的概率以P（A）表示。）表示。（一）随机事件的频率与概率的关系（一）随机事件的频率与概率的关系n在相同条件下，重复进行同一随机试验，在相同条件下，重复进行同一随机试验，A是这个是这个试验的一个结果（事件）。设试验的次数为试验的一个结果（事件）。设试验的次数为n，在，在n次重复试验中次重复试验中A出

9、现的次数为出现的次数为nA，则事件，则事件A的频率为的频率为n通过大量观测，可以发现：随机试验的频率具有随通过大量观测，可以发现：随机试验的频率具有随试验次数增加而趋向稳定的性质，而频率的稳定值试验次数增加而趋向稳定的性质，而频率的稳定值可以用来反映事件发生的可能性大小。因此，可以可以用来反映事件发生的可能性大小。因此，可以说频率的稳定值说频率的稳定值p是事件是事件A发生的概率。即发生的概率。即P(A)=pnnAPAn)(（二）概率的性质（二）概率的性质n设事件设事件A的概率记作的概率记作P（A），则它应该具有如下性），则它应该具有如下性质：质：n性质性质1：非负性，即：非负性，即0P(A)1

10、n性质性质2：规范性，即，对于必然事件：规范性，即，对于必然事件，有，有 P()=1n性质性质3：对于随机事件：对于随机事件Ai(i=1，2，)，只要它，只要它 们两两互不相容，则有们两两互不相容，则有1)(1)(iAPiAPii（三）概率的估计和计算（三）概率的估计和计算n 1.概率的直接计算概率的直接计算 （1）古典型概率）古典型概率 如果一项随机试验的全部基本事件总数有限，并且如果一项随机试验的全部基本事件总数有限，并且各基本事件出现的可能性都相同，事件各基本事件出现的可能性都相同，事件A由若干基由若干基本事件所组成，则本事件所组成，则A的概率可用下式计算的概率可用下式计算基本事件总数所

11、含基本事件的个数AAP)(n【例【例5-1】 袋中盛有除颜色外其他完全相同的袋中盛有除颜色外其他完全相同的50个不个不同颜色的小球，其中有同颜色的小球，其中有10个白球。充分混匀后随意个白球。充分混匀后随意摸出一球。求所摸为白球的概率。摸出一球。求所摸为白球的概率。 解：记解：记A = 抽到白球抽到白球。该试验总共有。该试验总共有50个等可能的个等可能的基本事件，基本事件，A包含其中的包含其中的10个。因此个。因此 2 .05010)(APn（2）几何型概率）几何型概率 如果随机试验可模拟区域上随机投点。并且如果随机试验可模拟区域上随机投点。并且（1）这个区域有明确界限，可以作长度、面积、）这

12、个区域有明确界限，可以作长度、面积、体积的几何度量。（体积的几何度量。（2）随机点落在这个区域任）随机点落在这个区域任何一点上的可能性都相同，也就是说，对于中的何一点上的可能性都相同，也就是说，对于中的某一区域某一区域g，随机点落在，随机点落在g内的概率与内的概率与g的几何度的几何度量成正比，同它的形状以及在中的位置无关。量成正比，同它的形状以及在中的位置无关。n对于这种随机试验，如果以对于这种随机试验，如果以A表示表示随机点落在区域随机点落在区域g中中这一事件，则其概率可用下式计算这一事件，则其概率可用下式计算的几何度量的几何度量gAP)(【例【例5-2】 某农场有耕地某农场有耕地500亩，

13、其中亩，其中1号地块面积为号地块面积为8亩。向亩。向500亩耕地随机投点，随机点落在亩耕地随机投点，随机点落在500亩耕地亩耕地每一位置的可能性相等。求每一位置的可能性相等。求1号地块被抽中的概率。号地块被抽中的概率。 解：随机点落在解：随机点落在1号地块内的概率与地块的面积成正号地块内的概率与地块的面积成正比。比。1号地块的几何度量为号地块的几何度量为8亩，整个区域几何度量亩，整个区域几何度量为为500亩。记亩。记A=随机点落在随机点落在1号地块号地块=1号地块被抽号地块被抽中中，则，则016. 05008)(APn 2.用频率估计概率用频率估计概率 在最一般情况下，用事件在大量重复试验中出

14、在最一般情况下，用事件在大量重复试验中出现的频率估计其概率的值。这样做的依据是概率的现的频率估计其概率的值。这样做的依据是概率的稳定性。就这一点前面已经有所叙述。稳定性。就这一点前面已经有所叙述。n 3.主观概率主观概率 根据决策者综合各种信息，并依靠其经验和根据决策者综合各种信息，并依靠其经验和判断力对事件的概率做出估计，这种概率的估计判断力对事件的概率做出估计，这种概率的估计值被称为主观概率。主观概率不假定现象的可重值被称为主观概率。主观概率不假定现象的可重复性，甚至可以根据一次性试验做出判断。例如，复性，甚至可以根据一次性试验做出判断。例如，请资深体育评论员对即将参赛的两支足球队的胜、请

15、资深体育评论员对即将参赛的两支足球队的胜、负可能性进行估计。在对事件出现的真实可能性负可能性进行估计。在对事件出现的真实可能性缺乏有效估计时，主观概率法也可作为解决问题缺乏有效估计时，主观概率法也可作为解决问题的一种方法。不过，目前对主观概率法的应用理的一种方法。不过，目前对主观概率法的应用理论界尚存在争议。论界尚存在争议。n 4.概率的计算概率的计算 （1）概率的加法法则）概率的加法法则 任意事件的加法规则任意事件的加法规则 任意两个事件和（并）的概率，等于两事件概率的任意两个事件和（并）的概率，等于两事件概率的和再减去两事件同时发生的概率。即和再减去两事件同时发生的概率。即 )()()()

16、(ABPBPAPBAP不相容事件的加法规则不相容事件的加法规则 两个不相容事件与的和两个不相容事件与的和(并并)的概率，等于两事件概率的概率，等于两事件概率的和。即的和。即 对多个事件，这个规则也就是前面说过的概率的性对多个事件，这个规则也就是前面说过的概率的性质质3。 )()()(BPAPBAPn（2）条件概率和乘法公式）条件概率和乘法公式 在实际问题中，除了要知道事件发生概率外，在实际问题中，除了要知道事件发生概率外，有时还需要知道在有时还需要知道在“事件事件B已发生已发生”的条件下，事的条件下，事件件A发生的概率，这种概率称为条件概率，记发生的概率，这种概率称为条件概率，记作作 。)|(

17、BAPn条件概率的下列一般定义：设，条件概率的下列一般定义：设，A,B是任意两是任意两个事件，且个事件，且P(B)0，则称，则称 为为“在事件在事件B发生的条件下，事件发生的条件下，事件A发生的条发生的条件概率件概率”，简称，简称“A关于关于B的条件概率的条件概率”。n由这个定义，可得到概率的乘法公式：设由这个定义，可得到概率的乘法公式：设A与与是是B任意两个事件，且任意两个事件，且P(A)0，P(B)0，则，则 )()()|(BPABPBAP)|()(BAPBPABP)|()()(ABPAPABPn【例【例5-4】 设一批产品共设一批产品共N件，其中有件，其中有M件次品，件次品，不放回地抽取

18、两件，求事件不放回地抽取两件，求事件第一件抽到的是正品，第一件抽到的是正品，而第二件抽到的是次品而第二件抽到的是次品的概率。的概率。 解：记解：记A=第一件是正品第一件是正品，B=第二件是次品第二件是次品，所求事件为所求事件为AB。根据乘法公式，有。根据乘法公式，有 1)|()()(NMNMNABPAPABPn（3）全概率公式）全概率公式 全概率公式可表述如下：全概率公式可表述如下： 设设 为个互不相容事件，且为个互不相容事件，且 ,则任一事件的概则任一事件的概 率为率为0)(iBPnBBB,21niiB1),2,1(niniiiBAPBPAP1)()()(n（4）贝叶斯公式）贝叶斯公式n（5

19、）事件的独立性）事件的独立性 对于两个事件对于两个事件A和和B，假若事件，假若事件B的发生会对的发生会对事件事件A发生的概率产生影响，即发生的概率产生影响，即 ，称，称事件事件A与与B之间统计相依。假若事件之间统计相依。假若事件B的发生并不的发生并不影响事件影响事件A发生的概率，称事件发生的概率，称事件A与与B之间统计之间统计独立。在独立。在A与与B独立时显然有独立时显然有 ，这时，这时，乘法公式式（乘法公式式（5.9）成为）成为)()()|()()(BPAPBAPBPABP)()|(APBAP)()|(APBAP 通常把这个关系式作为事件独立性的定义。即通常把这个关系式作为事件独立性的定义。

20、即设设A与与B是任意两个事件，如果满足是任意两个事件，如果满足 则称事件则称事件A与与B独立，否则称独立，否则称A与与B相依。相依。 在实际应用中，如果两个事件相互间没有影响，在实际应用中，如果两个事件相互间没有影响，则可以认为这两个事件相互独立。则可以认为这两个事件相互独立。 )()()(BPAPABPn 应该指出，两个事件相互独立与互不相容是应该指出，两个事件相互独立与互不相容是两个不同的概念。独立性是指两个事件的发生互两个不同的概念。独立性是指两个事件的发生互不影响，互不相容是指两个事件不能同时发生。不影响，互不相容是指两个事件不能同时发生。两个不相容事件一定是统计相依的，两个独立事两个

21、不相容事件一定是统计相依的，两个独立事件一定是相容的（除非其中有一个事件的概率为件一定是相容的（除非其中有一个事件的概率为0）。）。 n【例【例5-8】 对同一目标进行对同一目标进行3次射击，第一、二、三次射击，第一、二、三次射击的命中概率分别是次射击的命中概率分别是0.3、0.4、0.6，试求在这，试求在这三次射击中恰有一次命中的概率。三次射击中恰有一次命中的概率。n解：记解：记 ， n（i=1，2，3），于是可以写出：），于是可以写出：中三次射击中恰有一次命A次射击命中第iAi中三次射击中恰有一次命A 321321321AAAPAAAPAAAPAP显然，这三个事件是两两不相容的。而 是这三

22、个事件的和。根据不相容事件的加法法则，有由于三次射击是彼此独立的，即相互独立，故有 第二节第二节 随机变量及其分布随机变量及其分布n一、随机变量的概念一、随机变量的概念n二、随机变量的概率分布二、随机变量的概率分布n三、随机变量的数字特征三、随机变量的数字特征n一、随机变量的概念一、随机变量的概念（一）什么是随机变量（一）什么是随机变量 随机变量就是随机变量就是在随机试验中被测量的量。在随机试验中被测量的量。 在在给定的条件下，这种变量取何值事先不能确定，给定的条件下，这种变量取何值事先不能确定，只能由随机试验的结果来定，并且随试验的结果只能由随机试验的结果来定，并且随试验的结果而变。而变。n

23、（二）随机变量的种类（二）随机变量的种类 如果随机变量的全体可能取值能够一一列如果随机变量的全体可能取值能够一一列举出来，这样的随机变量称作离散型随机变举出来，这样的随机变量称作离散型随机变量（如掷一枚硬币首次出现正面向上所需要量（如掷一枚硬币首次出现正面向上所需要的投掷次数）；的投掷次数）； 如果随机变量的全体可能取值不能一一如果随机变量的全体可能取值不能一一列举，其可能的取值在数轴上是连续的，则列举，其可能的取值在数轴上是连续的，则该变量称为连续型随机变量（如可能出现的该变量称为连续型随机变量（如可能出现的测量误差）测量误差）。二、随机变量的概率分布二、随机变量的概率分布n（一）概率分布的

24、概念（一）概率分布的概念 随机变量的一切可能值的集合（值域），随机变量的一切可能值的集合（值域），及其相应的概率叫做随机变量的概率分布。及其相应的概率叫做随机变量的概率分布。随机变量的统计性质可由它的概率分布来表随机变量的统计性质可由它的概率分布来表征。征。n 1.离散型随机变量的分布离散型随机变量的分布【例【例5-9】 历史上曾有不少人作过反复投掷均匀硬币的试验。现历史上曾有不少人作过反复投掷均匀硬币的试验。现在定义这样一个随机变量：在定义这样一个随机变量： 如果反面朝上如果正面朝上, 0, 1X表表5-1 投掷硬币试验结果的频率分布投掷硬币试验结果的频率分布试验结果X试验者：蒲 丰试验者：

25、皮尔逊试验者：皮尔逊频数频率频数频率频数频率1（正面）0（反面）204819920.50690.4931601959810.50160.498412012119980.50050.4995合 计40401.0000120001.0000240001.0000 综上所述，离散型随机变量综上所述，离散型随机变量X的每一个可的每一个可能的取值能的取值xi和随机变量取该值的概率和随机变量取该值的概率p（xi）之间所确立的对应关系称作这个离散型随机之间所确立的对应关系称作这个离散型随机变量的分布。变量的分布。P（xi）（）（i=1，2，3，）称作）称作随机变量随机变量X的概率分布或概率函数，它满足下的概

26、率分布或概率函数，它满足下面的关系：面的关系：p（xi）0和和 。11)(iixp 【例【例5-10】 袋中共有袋中共有50个球，其中记上个球，其中记上0号的号的5个，个，记上记上k号的分别有号的分别有k个（个（ k = 1，2，9）。现从袋）。现从袋中任取一球。试做出所得号数的分布列。中任取一球。试做出所得号数的分布列。 解：记所取之球的号数为随机变量解：记所取之球的号数为随机变量X，由古典概率的，由古典概率的计算方法可知：计算方法可知：P(x=0)=5 / 50，P(x = k) = k / 50 ( k = 1，2，9)。于是，可做出分布列（见表。于是，可做出分布列（见表4-3）。）。

27、表表4-3 离散型随机变量分布数列离散型随机变量分布数列X = xi0123456789P(xi)0.10 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18n2. 连续型随机变量的分布连续型随机变量的分布 【例【例5-11】检查了在相同条件下生产的】检查了在相同条件下生产的246件件汽车活塞，测得所切削之活塞孔对中心线的汽车活塞，测得所切削之活塞孔对中心线的偏差数据。因偏差尺寸属于连续型变量，对偏差数据。因偏差尺寸属于连续型变量，对这类变量观测数据的整理应当采用组距式分这类变量观测数据的整理应当采用组距式分组。把整理结果做成频率分布表（见表组。把整理结果

28、做成频率分布表（见表5-4）和次数分布直方图（见图和次数分布直方图（见图5-1）。）。 n表表5-4汽车活塞削孔对中心线偏差的频率分布汽车活塞削孔对中心线偏差的频率分布偏差尺寸分组（毫米）X = x频数（件）频率频率密度453535252515155 55 515 1525 2535 3545 218355450442712 40.00810.07320.14230.21950.20320.17890.10970.04880.01630.000810.007320.014230.021950.020320.017890.010970.004880.00163合 计2461.0000偏差尺寸（毫

29、米）图图5-1 活塞削孔对中心线的偏差的频率分布活塞削孔对中心线的偏差的频率分布n 综上所述，连续型随机变量综上所述，连续型随机变量X的一系列的一系列取值区间（例如，可以是由取值区间（例如，可以是由与实数轴上的与实数轴上的任意点所构成的一系列区间）和随机变量在任意点所构成的一系列区间）和随机变量在该区间取值的概率之间确立的对应关系，称该区间取值的概率之间确立的对应关系，称作这个连续型随机变量的分布。作这个连续型随机变量的分布。n 连续型随机变量的分布可以用密度函数连续型随机变量的分布可以用密度函数来描述，随机变量的密度函数记作来描述，随机变量的密度函数记作 。 )(xpn 次数分布直方图是用各

30、组的频率密度作直条的次数分布直方图是用各组的频率密度作直条的高来画图的。当分组数无穷多，而组距（即直条的高来画图的。当分组数无穷多，而组距（即直条的底边长）趋近于底边长）趋近于0时，直方图演变成平滑的曲线时，直方图演变成平滑的曲线(如如图图4-1)，这时，直条的高就成，这时，直条的高就成 为为 。n 连续型随机变量在某一数值区间内取值的概率连续型随机变量在某一数值区间内取值的概率等于竖立在该区间上的，以密度曲线为上底的曲边等于竖立在该区间上的，以密度曲线为上底的曲边梯形的面积。写作梯形的面积。写作)(xpbadxxpbXaP)()(n密度函数满足下面两个基本性质：密度函数满足下面两个基本性质：

31、（1）密度函数的函数值不会是负数，从图形看，密度）密度函数的函数值不会是负数，从图形看，密度曲线在横轴上方，以横轴为渐近线；曲线在横轴上方，以横轴为渐近线；（2）在整个实数轴上的密度函数值的和等于）在整个实数轴上的密度函数值的和等于1，从图，从图形看，密度曲线下覆盖的总面积等于形看，密度曲线下覆盖的总面积等于1。这两个性质。这两个性质用密度函数式写作用密度函数式写作0)(xp 1)(dxxp三、随机变量的数字特征三、随机变量的数字特征n（一）随机变量的数学期望（一）随机变量的数学期望 随机变量随机变量X的数学期望是的数学期望是X的一切可能值以的一切可能值以相应的概率为权数的加权算术平均数。今后

32、我们相应的概率为权数的加权算术平均数。今后我们把把X的数学期望记作的数学期望记作E(X)。n若若X是离散型随机变量，是离散型随机变量， E(X)=n若是连续型随机变量，其概率密度函数为若是连续型随机变量，其概率密度函数为p(x)，则则X的数学期望定义为的数学期望定义为 vixXPxvipxiiii11dxxxpXE)()(式中的定积分应绝对收敛。式中的定积分应绝对收敛。 数学期望有下列性质：数学期望有下列性质：n性质性质 1 E（c）=c n性质性质 2 E（X+c）=E（X）+c n性质性质 3 E（cX）= cE（X） n性质性质 4 E（XY）=E（X）E（Y） 推广推广n性质性质5 若

33、若X与与Y独立，独立，E(XY)=E（X）E（Y） 推广推广 若若X1,，Xn独立，有独立，有 E（X1X2Xn）=E（X1）（X2）E（Xn）niiniiXEXE11n（二）随机变量的方差、标准差和变异系数（二）随机变量的方差、标准差和变异系数 1.方差和标准差方差和标准差 随机变量随机变量X的方差，记作的方差，记作V(X)，是，是X与其与其数学期望的离差平方的数学期望。即数学期望的离差平方的数学期望。即V(X)=EX E( X )2 称称 为为X的标准差。的标准差。 方差还可以有下列表达式方差还可以有下列表达式 V(X)=E(X2)E( X )2 )(XVn若若X是离散型随机变量，其分布如

34、表是离散型随机变量，其分布如表4-5所示，所示，则则X的方差用下式计算。的方差用下式计算。 V( X ) =n若是连续型随机变量，其概率密度函数为，若是连续型随机变量，其概率密度函数为，则的方差用下式计算。则的方差用下式计算。vipXExii1)(2dxxpEXxXV)()(2)(n方差有下列性质：方差有下列性质： 性质性质 1 V（c）= 0 性质性质 2 V（X+c）= V（X） 性质性质 3 V（cX）= c2V（X） 性质性质 4 若若X与与Y独立，有独立，有 若若X1，Xn独立，有独立，有 性质性质 5 若若X与与Y独立，有独立，有 )()()(YVXVYXVniiniiXVXV11

35、)()()()()(YVXVYXVn2.变异系数变异系数n随机变量的变异系数是随机变量的标准差与随机变量的变异系数是随机变量的标准差与数学期望的比率。随机变量数学期望的比率。随机变量X的变异系数写作的变异系数写作 (X)= )()(XEXV四、四、 几种常用的概率分布几种常用的概率分布n（一）两点分布（一）两点分布n（二）二项分布（二）二项分布n（三）超几何分布（三）超几何分布n（四）正态分布（四）正态分布n（五）（五） 分布分布n（六）（六）F分布分布n（七）（七）t分布分布2（一）两点分布（一）两点分布n如果随机变量如果随机变量X只取只取1和和0两个值，取两个值，取1的概率是的概率是，取取

36、0的概率是的概率是1-，我们称，我们称X服从两点分布或服从两点分布或0-1分布，分布，是是X的参数。的参数。n两点分布的数字特征如下：两点分布的数字特征如下： 数学期望：数学期望：E(X)= ； 方差：方差：V(X) = ( 1)【例【例5-12】 已知在已知在20件产品中有件产品中有5件是二等品。现在件是二等品。现在从中任意抽取从中任意抽取1件（每件产品都有相等的可能性被件（每件产品都有相等的可能性被抽到），写出抽取结果（是二等品、不是二等品）抽到），写出抽取结果（是二等品、不是二等品）的分布列。的分布列。 解：用随机变量解：用随机变量X表示抽取结果。若结果是二等品，表示抽取结果。若结果是二

37、等品，记记X = 1；若结果不是二等品，记；若结果不是二等品，记X = 0。分布列如。分布列如表表4-6。表表5-6 两点分布的分布列两点分布的分布列X = x10P(X = x)0.250.75（二）二项分布（二）二项分布n如果把一个贝努里试验在完全相同的条件下如果把一个贝努里试验在完全相同的条件下独立地重复独立地重复n次，称作次，称作n重贝努里试验。重贝努里试验。n重贝重贝努里试验应符合下列三个条件：努里试验应符合下列三个条件： （1）每次试验只有）每次试验只有“成功成功”和和 “失败失败”两两种对立的结局；种对立的结局； （2）各次试验）各次试验“成功成功”的概率相同（都为）；的概率相同

38、（都为）； （3）各次试验相互独立。）各次试验相互独立。n以随机变量以随机变量X表示表示n重贝努里试验中重贝努里试验中“成功成功”的次数，的次数，它服从参数为（它服从参数为（n，）的二项分布。二项分布的概）的二项分布。二项分布的概率函数为率函数为 （k=0，1，n） 其中，其中，k是是n重贝努里试验中重贝努里试验中“成功成功”的次数。的次数。n二项分布的数字特征如下：二项分布的数字特征如下： 数学期望：数学期望：E(X)= n ； 方差：方差： V（X）= n( 1)knkknCkXP1【例【例5-13】 例例5-12中，如果以还原方式抽取中，如果以还原方式抽取4次（即次（即每次抽取后，把所抽

39、取的产品放回），写出抽到每次抽取后，把所抽取的产品放回），写出抽到二等品件数的分布列。二等品件数的分布列。 解：用随机变量解：用随机变量X表示经过表示经过4次抽取，抽到二等品次抽取，抽到二等品的件数。它可能的取值是的件数。它可能的取值是0，1，2，3，4。分布列。分布列如表如表5-7。 表表5-7 二项分布的分布列二项分布的分布列 表中，表中，X取取0，1，2，3，4各数值的概率是用式各数值的概率是用式（5.35）算出的，其中，）算出的，其中，n = 4， = 5 / 20 = 0.25， k= 0，1，2，3，4。 X = k01234P(X = k)0.31640.42190.21090.

40、04690.039（三）超几何分布（三）超几何分布n超几何分布的试验背景是：对有限总体进行不还原超几何分布的试验背景是：对有限总体进行不还原方式（每次抽取后，所抽单位不再放回，称之为不方式（每次抽取后，所抽单位不再放回，称之为不还原方式）的简单随机抽样，观察样本中具有某种还原方式）的简单随机抽样，观察样本中具有某种特征的单位数目。如果有限总体单位数目为特征的单位数目。如果有限总体单位数目为N，其，其中具有某种特征的单位数目为中具有某种特征的单位数目为M，对这个总体进行，对这个总体进行n次不还原简单随机抽样，用随机变量次不还原简单随机抽样，用随机变量X表示样本中表示样本中具有某种特征的单位的数目

41、，则具有某种特征的单位的数目，则X服从参数为（服从参数为（N，M，n）的超几何分布。超几何分布的概率函数是）的超几何分布。超几何分布的概率函数是 （k=0，1，min n，M ）其中，）其中，k是样本中具有是样本中具有某种特征的单位的数目。某种特征的单位的数目。nNknMNkMCCCkXP)(n超几何分布的数字特征如下：超几何分布的数字特征如下： 数学期望：数学期望：E(X)= n （这里，（这里， =M/N） 方差：方差： = n( 1) 1NnN)(XV【例【例5-14】例】例4-13中，如果改为不还原地抽取中，如果改为不还原地抽取4次，次，写出抽到二等品件数的分布列。写出抽到二等品件数的分布列。 解：用随机变量解：用随机变量X表示经过表示经过4次抽取，抽到二等品次抽取，抽到二等品的件数。它可能的取值是的件数。它可能的取值是0，1，2，3，4。分布列。分布列如表如表5-8。 表表5-8 超几何分布的分布列超几何分布的分布列 表中取表中取0，1，2，3，4各数值的概率是用式（各数值的概率是用式（5.36）算出的。式中，算出的。式中，N =20，M =5，n = 4。X = x01234P(X = x)0.28170.46960.21670.03100.0010（四）正态分布（四）正态分布n 令随机变量令随机