第3章多维随机变量

1、第3章 多维随机变量3.1 内容框图 多维随机变量 联合分布 边缘分布 条件分布 随机变量的独立性 3.2 基本要求(1)了解多维随机变量及其分布函数的概念，理解二维随机变量的联合分布(分布函数，概率分布，概率密度)和边缘分布的概念与性质及它们之间的关系，并会用以求解具体问题。(2)了解二维随机变量的条件分布的概念及计算，了解密度函数、边缘密度函数和条件密度函数的关系。(3)理解随机变量独立性的概念，并能熟练运用独立性解决具体问题。(4)了解二维随机变量的函数的概念，会求两个独立随机变量的常用函数的分布，记住几个常用分布的和函数的分布。3.3 内容概要1)二维随机变量的分布函数：(1) 定义：

2、二维随机变量的联合分布函数。(2) 性质：是单调不减函数:；是有界函数：01，且F(+，+)=1，F(-，-) = F(x，-)=F(-，y)=0； 是右连续的：F( x+0，y)= ，F( x，y+0)= 。 2) 二维随机变量的边缘分布：若二维随机变量的联合分布函数为，则的边缘分布函数为 。3) 二维离散型随机变量：所有可能取值为有限多对或可列无穷多对的二维随机变量称为二维离散型随机变量。(1)的联合概率分布: ，常用表格表示为： 满足：。(2)的边缘分布： (3) 的条件分布：下的条件概率分布， i = 1，2，； 下的条件概率分布，j = 1，2，。4）二维连续型随机变量(1) 定义：

3、设二维随机变量的分布函数为，若存在非负函数，使对一切实数x，y成立 则称为二维连续型随机变量，称为的联合概率密度函数。(2) 性质： 0； ；在的连续点处有为xOy平面上的区域。 (3) 边缘分布： ，。 (4) 条件分布：条件分布函数：下的条件分布函数为， 下的条件分布函数为。条件分布密度：下的条件概率密度为 ，下的条件概率密度为。5）随机变量的独立性 (1) 定义：若二维随机变量（）的联合分布函数等于边缘分布函数的乘积，即 则称与是相互独立的。同样对n维随机变量，若有 成立，则称是相互独立的。(2) 判别方法： 离散型随机变量与相互独立。 连续型随机变量与相互独立6）随机变量函数的分布 (

4、1)和的分布： 卷积公式：是连续型随机变量，其概率密度为，则的概率密度 当与相互独立时有 当与相互独立时，有下列结论： 若，则； 若，则； 若，则；更一般地，若且相互独立，是常数，则 也就是说，服从正态分布的独立随机变量的线性组合仍服从正态分布。 (2)的分布： 设相互独立，则随机变量U，V的分布函数分别为特别地，如果连续型随机变量独立同分布，的分布函数和概率密度分别设为F(x)和，则 3.4 自测题三一、判断题（对用“+”，错用“”）1. 设二维随机变量的联合分布函数为，则 。 （ ）2设二维随机变量的联合分布函数为，则 。 （ ）3. 二维连续型随机变量的边缘概率密度为，若与相互独立，则其

5、联合概率密度可分解为。 （ ）4设与的概率密度分别为，而是随机变量的概率密度，则且。（ ）5. 设随机变量与相互独立，它们的概率分布分别为 则。 （ ）6.设的概率分布为 则与相互独立。 （ ）7. 设的概率分布如上题所示，则在的条件下，的条件概率分布为 。 （ ）8. 在第6题中，的概率分布为 。 （ ）9. 在第6题中，的概率分布为 。 （ ）10. 若的联合概率密度 ，则与相互独立。 （ ）11已知独立且服从于相同的分布，若令，则。 （ ）12. 与相互独立，服从0-1分布，服从普阿松分布，则是离散型随机变量。 （ ）13. 设、是两个随机变量，则是二维随机变量。 （ ）二、填空题1.

6、设二维随机变量的联合概率分布为 则=_。2.设二维随机变量的概率密度 而的边缘密度为，则=_。 3. 设二维随机变量的概率密度为 则概率=_。4. 设二维随机变量的概率密度为 则=_，=_，=_。5.设随机变量与相互独立，其概率分布为 则_，_，_。6. 已知随机变量的联合概率分布为则当，时，相互独立。7. 设相互独立的随机变量的联合概率分布为 则。8. 若相互独立，已知，则的联合概率密度。9. 若独立同分布，已知，则的联合分布函数=_。10. 设相互独立的两个随机变量、具有同一概率分布，且的概率分布为，则的概率分布为_。 11. 设相互独立，均服从0-1分布，且，则的概率分布为_。12. 设

7、相互独立的两个随机变量与具有相同的分布，且的概率分布为 则随机变量的概率分布为_。13. 设，且相互独立，则=_。三、选择题1.设为随机变量，则事件的逆事件为( ).2. 是离散型二维随机变量的（ ）。(A)联合概率分布； (B)联合分布函数； (C)概率密度； (D)边缘概率分布.3设随机变量的分布函数为，其边缘分布函数是（ ）。4. 设随机变量的分布函数为，则A，B的值分别为（ ）。 5.设随机变量与相互独立，服从相同的0-1分布： 则下列结论正确的是（ ）。6.设二维随机变量的联合概率分布为 已知事件与事件相互独立，则a，b的值分别为（ ）。 7.随机变量与服从相同的分布，则（ ）。 （

8、A）必有=； （B）对每个实数； （C）事件不相互独立； （D）只对某些实数a，事件相互独立。8.分布如下的二维随机变量中，与不相互独立的是（ ）。 （A） ； （B） ； (C) 的联合概率密度为； （D）的联合概率密度为.9设，且与相互独立，则 ( )。（A）; （B）; （C）; （D）. 10.设与是相互独立的随机变量，且，则（ ）11. 设随机变量与相互独立，且均服从标准正态分布N(0,1)，则下列正确的是（ ）。 12.设与独立同分布，令 则（ ）。 13. 已知随机变量和相互独立，其分布函数分别为与，则随机变量的分布函数等于（ ）。（A）; （B）;（C）; （D）.3.5 自测

9、题三答案：一、1. ；2.；3.+；4. +；5.；6.；7.+；8.；9.+；10.+；11.+；12. +；13.。二、1. 0.7；2.；3. 0.3；4. ；5. 3/5, 1/3, ；6. ；7. 8.；9. ；10. ；11. ；12. ； 13. 。三、1. D；2.A；3. B；4. D；5. C ；6. C ；7. B ；8. D；9. B；10. D ；11. D；12. B ；13.B。3.6 典型例题：例1 口袋内有5个球，分别标有号码1，2，3，4，5，从这个口袋中任意取出3个球，设取出球中的最大号码，是取出球中的最小号码，求的二维联合概率分布。解 可能取的值为3，4

10、，5；可能取的值为1，2，3。 从5个球中任取3个球，共有种取法。取到球的最大号码为，最小号码为，相当于先取1个号码为的球和1个号码为的球，再从号码小于大于的个球中取1个球，有种取法。所以，的概率为 （；） 。将和代入上式，并注意到当时有，便可求得，。所以的联合概率分布为例2 设二维随机变量具有联合概率密度 。试求：（1）常数； （2）的分布函数； （3）落在图3-2中区域内的概率。 解 （1）因为 ，所以 。的联合概率密度为 。（2）的分布函数 。 （3）落在区域内的概率 。 例3 袋中有2个白球，3个红球，每次从中任取一球，共取两次。设、分别是第一次、第二次取出的白球数，即 ， 。求的联合

11、概率分布及边缘概率分布，考虑下列两种情况：（1）有放回取球（每次取球后仍放回）；（2）无放回取球（每次取球后不放回）。解 （1）有放回取球。 ， ， ， 。 的联合概率分布及边缘概率分布为0100.360.240.610.240.160.40.60.41（2）无放回取球。 ， ， ， 。 的联合概率分布及边缘概率分布为0100.30.30.610.30.10.40.60.41 在上面这个例子中，我们可以看到，“有放回取球”和“无放回取球”这两种情形，的边缘概率分布是相同的，它们的联合概率分布却是不一样的，由此可见，联合分布可以唯一地确定边缘分布，而边缘分布却不能唯一地确定联合分布，即对单个随机

12、变量，的研究，并不能代替对二维随机变量的整体研究。例4 设二维随机变量具有联合概率密度 。试求：二维随机变量的边缘概率密度和。解 ， 。 # 例3 设的概率密度为求的边缘概率密度和。解 #在上例中，可以看作是落在圆心为半径为1的圆盘中的一个点，它在该圆盘区域中服从（二维）均匀分布，即在圆盘中的概率密度为常数，在圆盘外的概率密度为。也就是说，它的概率密度可以写成下列形式： 。由（是区域的面积）可得 。 由于圆盘的面积，所以的概率密度函数为 。虽然的二维联合分布是均匀分布，但是它的边缘分布却不是均匀分布。例5 例1中，已求得的联合概率分布，容易求出它的边缘分布如下：12330.1000.140.2

13、0.100.350.30.20.10.60.60.30.11 求：（1）在条件下，的条件概率分布； （2）在条件下，的条件概率分布。解 （1） ， ， 。所以，在条件下，的条件概率分布为（2） ， ， 。 所以，在条件下，的条件概率分布为例6 设二维随机变量具有联合概率密度 。 可求得它的边缘概率密度为 ， 。求：（1）在（）条件下的条件概率密度； （2）在（）条件下的条件概率密度。解 ， 。例7 设的联合分布函数为 。问，是否相互独立？解 ， 。因为 ，所以，相互独立。 例8 例3中，对于第一次取出的白球数和第二次取出的白球数，已经求得：（1）有放回取球时，的联合概率分布和边缘概率分布为01

14、00.360.240.610.240.160.40.60.41（2）无放回取球时，的联合概率分布和边缘概率分布为0100.30.30.610.30.10.40.60.41在这两种情况下，分别考虑与是否相互独立。解 （1）有放回取球时，因为 ， ， ， ，所以，与相互独立。（2）无放回取球时，因为 ，所以，与不相互独立。 #例9 一个男孩和一个女孩约定晚上7点到8点在某地相会。设每人到达的时间是相互独立的，且到达时间服从这段时间上的均匀分布，求先到者要等待10分钟以上的概率。 解 设男孩来到的时间为7点分，女孩来到的时间为7点分，和是相互独立的随机变量，它们都服从上的均匀分布，概率密度分别为：

15、和 。因为与相互独立，所以的联合概率密度为 。 根据题意，所求概率为。由对称性可知，它等于 。 例10 设的联合概率分布为01200.20.10.110.30.20.1求它们的和的概率分布。解 的可能取值是0，1，的可能取值是0，1，2，容易看出，的可能取值是0，1，2，3。 ， ，。所以的概率分布为例11 设随机变量，相互独立，证明 。证 由于，所以，的概率分布分别为 （）和 （）。 因为，相互独立，所以由定理3.1可知，的概率分布为 （）。因此 。 例12 设随机变量，相互独立，的概率密度为 ，的概率密度为 。求的概率密度。解 因为，相互独立，由定理3.2可知，的概率密度为 。当时（这时可以同时成立和），有 ，当时（这时不可能同时成立和），有 。 即 。 # 例13 设随机变量，相互独立，且均服从。求的概率密度。解 由于，均服从，所以它们的的概率密度分别为 和 。 因为，相互独立，由定理3